5.1基本计数原理（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

5.1基本计数原理 题型一：分类加法计数原理 1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 2．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理可求结果. 【详解】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次， 则由分类加法计数原理可得共有种不同走法. 故选：B. 3．一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10 4．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 【答案】21种 【分析】由树状图直接表示. 【详解】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法． 说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象． 解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法； 爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）； 同理，爬到3号蜂房有种爬法； 爬到4号蜂房有种爬法； 爬到5号蜂房有种爬法； 爬到6号蜂房有种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法． 题型二：分步乘法计数原理及简单应用 1．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 2．已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出四个不同的小球放入四个不同的盒子的方法总数以及小球A，B放入到同一个盒子中的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案. 【详解】根据题意得四个不同的小球A，B，C，D放入四个不同的盒子中的全部情况有种， 而满足小球A，B放入到同一个盒子中的情况有种， 所以小球A，B放入到同一个盒子中的概率为. 故选：B. 3．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 【答案】C 【分析】根据乘法原理，即可得出结论． 【详解】解： 故选：C． 4．（多选）有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（    ）． A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 【答案】AC 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法， 后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误； 对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择， 第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择， 根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误． 故选：AC. 题型三：实际问题中的计数问题 1．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。 故选：C 2．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 【答案】50 【分析】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法， 第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 3．2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有 种． 【答案】 【分析】明确各选出1条生态沟域廊道和1条生态沟域农文体康旅体验湾的方法数，再直接利用分布乘法计数原理直接计算即可得解. 【详解】由题选出1条生态沟域廊道有9种不同选法， 选出1条生态沟域农文体康旅体验湾有18种不同选法， 故选出一沟一湾去旅游则不同的选法有种. 故答案为：162. 4．某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人．从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 【详解】由题意，从中任选1名学生去献血，有种选法. 题型四：代数中的计数问题 1．方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 【答案】A 【分析】将分解质因数，即可求出的因数的个数，从而得解. 【详解】因为，所以的因数有个， 故方程的非负整数解的组数为40． 故选：A 2．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 3．从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种. 【答案】 8 7 【分析】利用组合公式可求得总的取法数，进而确定不同的乘积结果的方法数与乘积为偶数的方法数即可. 【详解】从五个不同的数中任取两个数共有种不同的取法， 不同的乘积结果有， 所以不同的乘积结果有8种，其中乘积为偶数的有共7种. 故答案为：①8；②7. 4．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种. 【答案】 【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数. 【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个， 在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取， 然后在剩余个奇数中任选一个即可， 所以，不同的取法种数为种. 故答案为：. 题型五：几何计数问题 1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 2．记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分两种情况：与平面平行、经过△中位线分别求出它们满足要求的个数，加总即可. 【详解】当与平面平行时，如下图存在2种情况. 当经过△中位线时，如下图其中一条中位线有2种情况，故三条中位线，共有6种情况. 综上，共有2+6=8种情况. 故选：C. 3．已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 【答案】11 【分析】设倾斜角为，由，对分情况讨论，利用计数原理计算即可． 【详解】设倾斜角为，，则，不妨设，则， 若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条； 若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条， 从而，符合要求的直线有条． 故答案为：11． 4．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    【答案】24 【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解. 【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，    若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个）， 若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个）， 所以梯形的个数是（个）． 故答案为：24 题型六：数字排列问题 1．数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 2．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（    ） A．48个 B．24个 C．18个 D．12个 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析三位数的个位、百位、十位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况， 百位数字不能为0，有3种情况， 十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况， 则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数． 故选：C． 3．人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个． 【答案】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排千位，有8种选择， 再排百位，有8种选择， 最后排十位，有7种选择， 故共有， 故答案为： 4．用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 【详解】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）； 所以小于500的三位奇数有． 题型七：涂色问题 1．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 2．对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有 种（用数字作答）． 【答案】420 【分析】依题意按照分类分步计数原理直接计算可得结果. 【详解】根据题意可知，需分五步进行着色， 在四棱锥中，如下图所示：    按照的顺序进行着色，则点有5种颜色可选，点有4种颜色可选； 点有3种颜色可选， 若点颜色与点相同，则点有3种颜色可选； 若点颜色与点不同，则点有2种颜色可选，此时点有2种颜色可选； 所以共有种. 故答案为：420 3．“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法? 【答案】180 【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】当②、④不同色时，有种涂色方案； 当②、④同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 4．如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    【答案】 1200 960 【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解. 【详解】 第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有1200种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种. 若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有960种不同的涂色方法. 故答案为：1200，960. 题型八：其他计数模型 1．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8. 现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列出能构成等比数列的数组，然后可得答案. 【详解】正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9. 其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横 故选：D 2．已知有红绿黄蓝4个不同颜色的球及红绿黄蓝4个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确保4个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种. 【答案】9 【分析】将所有情况进行一一列举出数数即可. 【详解】解:记为红绿黄蓝4个不同颜色的球,将四个盒子按红绿黄蓝顺序放好, 将表示放入四个盒子的球的颜色, 则所有的结果为: 共9种. 故答案为:9 3．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 . 【答案】45 【分析】先选出一个球的编号与盒子的编号相同，再用列举法求出另外4个球的编号与盒子的编号不同的投放种数，再用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况， 例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种， 故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种， 故答案为：45. 4．位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁，假设甲拿了乙的帽子，利用列举法结合分类计数原理可得结果. 【详解】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁. 假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子. 若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种. 综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为. 故答案为：. 1．5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理即可计算． 【详解】因为每名同学都有4种选择， 所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：． 故选：D. 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 4．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 5．九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照分步乘法计数原理求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有2种情况，所以一共有种情况， 他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为. 故选：B. 6．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 【答案】D 【分析】运用分类加法原理计算即可. 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 故选：D. 7．从集合中任取2个不同的数，作为直线的系数，则形成的不同的直线有（    ） A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 【答案】A 【分析】按照分步计数原理，再减去重复的直线，即可求解. 【详解】第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当，时，与当，时所得直线是相同的； 当，时，与当，时所得直线是相同的， 故共有（条）不同的直线． 故选：A 8．2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 【答案】B 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 9．（多选）某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（    ） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C．若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 【答案】AC 【分析】全排列可得A正确；利用先特殊后一般，先组合后排列，得出结果判断其余选项； 【详解】某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区． 对于选项A，若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，即选项A正确； 对于选项B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法；即选项B错误； 对于选项C，若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项C正确； 对于选项D，若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有种不同的安排方法，即选项D错误． 故选：AC． 10．（多选）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 【答案】BCD 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种， 同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种， 共有27种，C正确. 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确. 故选：BCD 11．（多选）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【答案】ACD 【分析】根据已知，结合分步乘法计数原理，求解即可得出答案. 【详解】对于A、B项， 按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故A正确、B错误； 对于C项，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故C正确； 对于D项，根据3个智力竞赛项目，分为3步. 第1步，6种选择；第2步，5种选择；第3步，4种选择. 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故D正确. 故选：ACD. 12．某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有 种不同走法． 【答案】4 【分析】利用分步计数原理，即可求解. 【详解】由分步乘法计数原理得，共有（种）不同走法． 故答案为：4 13．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 【答案】120 【分析】由分步乘法计数原理可得. 【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤： 第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法； 第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法； 第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法； 而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位. 故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有个. 故答案为：120. 14．集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【答案】 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 15．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 【答案】(1)27 (2)37 【分析】（1）由分步乘法计数原理可直接求出答案； （2）分1号盒中有一个球、1号盒中有两个球、1号盒中有三个球3种情况进行讨论，再根据分类计数原理得到结果． 【详解】（1）1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有（种）放法． （2）1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有（种）放法，一类是1号盒中有两个球，共有（种）放法，一类是1号盒中有三个球，有1种放法． 共有（种）放法． 16．在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 【答案】(1)105 (2)231 (3)231 (4)126 【分析】（1）利用组合法进行求解； （2）利用分类讨论思想进行求解； （3）利用间接法进行求解； （4）利用分类讨论思想进行求解； 【详解】（1）恰有2件次品的抽法有种. （2）若一件次品都没有则， 若只有1件次品，有， 恰有2件次品的抽法有种， 则至多有2件次品的抽法有种. （3）若一件次品都没有，则， 则至少有1件次品的抽法有种. （4）若恰有2件次品的抽法有种， 若恰有3件次品的抽法有种， 则至少有2件次品，2件正品的抽法有种. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1基本计数原理 题型一：分类加法计数原理 1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 2．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 3．一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 4．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 题型二：分步乘法计数原理及简单应用 1．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 2．已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 3．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（    ） A．11 B．12 C．30 D．36 4．（多选）有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（    ）． A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 题型三：实际问题中的计数问题 1．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 2．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种． 3．2023年起延庆区将利用三年时间重点打造“延庆东南山·九沟十八湾”乡村振兴品牌，旨在借助延庆区东南部浅山区和山区的沟域空间结构、功能布局及秀美山水，构建9条各具特色的生态沟域廊道、18条生态沟域农文体康旅体验湾，全面推动延庆区乡村振兴，打造新时代首都生态沟域绿色发展新典范. 小明打算从九沟十八湾中选出一沟一湾去旅游，则不同的选法有 种． 4．某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人．从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 题型四：代数中的计数问题 1．方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 2．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有 种，乘积为偶数的取法有 种. 4．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种. 题型五：几何计数问题 1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 2．记为点到平面α的距离，给定四面体，则满足（i=2，3，4）的平面的个数为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 3．已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 4．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．    题型六：数字排列问题 1．数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 2．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（    ） A．48个 B．24个 C．18个 D．12个 3．人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个． 4．用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 题型七：涂色问题 1．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 2．对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有 种（用数字作答）． 3．“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法? 4．如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    题型八：其他计数模型 1．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8. 现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知有红绿黄蓝4个不同颜色的球及红绿黄蓝4个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确保4个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种. 3．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 . 4．位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为 .（用数字作答） 1．5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（    ） A．9 B．20 C． D． 2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 4．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 5．九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（    ） A． B． C． D． 6．定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 7．从集合中任取2个不同的数，作为直线的系数，则形成的不同的直线有（    ） A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 8．2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 9．（多选）某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（    ） A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B．若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C．若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D．若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 10．（多选）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 11．（多选）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 12．某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有 种不同走法． 13．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个. 14．集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 15．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 16．在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$