精品解析：四川省南充市高坪职业高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024年秋中职数学高三入学考试题 一 选择题（共12个小题，共计60分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若，则x的值为（    ） A. 2 B. 4 C. 4或2 D. 3 3. 七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（    ） A. 84，85 B. 84，84 C. 85，84 D. 85，85 4. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 5. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A. B. C. D. 6. 已知三点共线，则的值为（    ） A. B. 5 C. D. 3 7. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（    ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 8. 已知等比数列满足，，则等于（    ） A. B. C. D. 9. 已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A. 若、，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 已知是的中线，，则（    ） A. B. C. D. 11. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A. B. C. 或 D. 或 12. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 25 13. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 14. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知偶函数的定义域为，，且当时，，则（    ） A. B. C. D. 二 填空题（共5个小题，共计20分） 16. 直线过点，若的斜率为3，则直线的一般式方程为_________． 17. 的展开式中的系数为______（用数字作答）． 18. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 19. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为________. 20. 已知函数的定义域为，且，，则 ________． 三 解答题（共6个大题，共计70分） 21. 记的内角的对边分别为，已知． （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值． 22. 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求数列的前n项和． 23. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若M是AB的中点，证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 24. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； 25. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 26. 定义在上的增函数对任意都有，则 （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋中职数学高三入学考试题 一 选择题（共12个小题，共计60分） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 若，则x的值为（    ） A. 2 B. 4 C. 4或2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数性质计算即可求解. 【详解】由题意得，当时，满足题意；当，即时，满足题意. 综上，则或4. 故选：C. 3. 七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（    ） A. 84，85 B. 84，84 C. 85，84 D. 85，85 【答案】B 【解析】 【分析】利用中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据按从小到大的顺序排一列：. 所以这组分数的中位数和众数分别是. 故选：B. 4. 抛物线的焦点坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程，即可求解． 【详解】由题意得，抛物线的标准方程为，则，解得. 所以焦点坐标为. 故选：A. 5. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分母构成等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列. 则通项公式为，所以. 故选：C. 6. 已知三点共线，则的值为（    ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将三点共线转化为两向量的共线问题，通过向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】∵， ∴， ∵三点共线，故， 即，解得. 故选：D 7. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（    ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数法和排列的基本概念计算. 【详解】将“土、水”绑在一起，当做一个整体，有种排法， 将该整体与“金、木、火”全排列，共有种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 8. 已知等比数列满足，，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得公比，进而计算即可得解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得， 故. 故选：D. 9. 已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A. 若、，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关定理对选项逐一分析即可求解. 【详解】对A，当时，过n作平面，使，则，因为，， 所以，所以，故A正确； 对B，当，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对C，因为，，所以，又，所以，故C正确； 对D，当，时，可能在平面内，故D错误． 故选：D． 10. 已知是的中线，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：D. 11. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴两种情况，结合椭圆的离心率，求解参数，即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得. 则焦距. 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得. 则焦距. 综上，该椭圆的焦距为或. 故选：D 12. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与前n项和公式即可求解． 【详解】由题意得，在等差数列中，∵，∴. 又，∴，∴． 故选：D． 13. 已知，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数平方关系求出，再根据差角的余弦公式利用列式计算即得. 【详解】由，得，由，得， 由，得， 所以. 故选：B. 14. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短易得答案. 【详解】因为圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短， 此时， 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 15. 已知偶函数的定义域为，，且当时，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用为偶函数及两个条件来判断函数周期，将转化为时代入函数，即可求解. 【详解】因为是偶函数， 所以， 所以，即， 又， 故，即①， 用代替得②， 由①②得， 故的周期为6， 故， 又由已知得. 因为当时，， 所以， 故. 故选：D 二 填空题（共5个小题，共计20分） 16. 直线过点，若的斜率为3，则直线的一般式方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题目条件用点斜式写出直线方程，再化成一般式方程即可. 【详解】因为直线过点，的斜率为3， 所以直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 故答案为：. 17. 的展开式中的系数为______（用数字作答）． 【答案】80 【解析】 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，则，有. 故答案为：. 18. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 19. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据正弦定理的边角变换，结合三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，所以. 则，即，解得或. 因为，所以，则，即. 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形. 20. 已知函数的定义域为，且，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用赋值法即可求解. 【详解】因为，令，， 则，所以. 令，则，解得. 故答案为：． 三 解答题（共6个大题，共计70分） 21. 记的内角的对边分别为，已知． （1）试判断的形状； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和余弦定理易得答案； （2）根据正弦定理将边转化成三角函数，再利用辅助角公式化简结合正弦函数图像易得答案. 【小问1详解】 由，和余弦定理得，即， 因为，所以．所以是直角三角形． 【小问2详解】 因为是直角三角形，且，因为，可得， 所以周长为， 所以当时，即为等腰直角三角形，所以周长有最大值为． 22. 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和题设条件，求得首项和公差，即可得到通项公式化. （2）根据等差数列的通项得到等比数列的项，求得首项和公比，再根据等比数列求和公式求解. 【小问1详解】 因为是等差数列，设数列的公差为， 由，得，解得，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 又是等比数列， 则的公比，所以， 所以数列的前n项和． 23. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若M是AB的中点，证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的结构特征结合线面平行的判定定理即可求解. （2）根据线面垂直证明线线垂直，即可证明面面垂直. （3）先找到，结合正方体的结构特征，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 在正方体中，，平面， 平面，平面. 【小问2详解】 在正方体中，，M是AB中点，. 平面ABC，平面ABC，则. 平面，平面，且， 平面，平面，∴平面平面. 【小问3详解】 由（1）得，平面，点， 所以点M，点A到平面的距离相等. 故． 24. 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， （1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解. （2）根据题意得出的取值，结合古典概型的概率公式求得概率，得出分布列，通过数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A， 所以． 【小问2详解】 因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人， 则X的所有可能取值为0，1，2，3. 则，， ，. 所以分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为． 25. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义即可求解. （2）根据（1）可得抛物线焦点坐标，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得，当轴时，两点的横坐标为. 当时，，解得，，解得. 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得抛物线的方程为，所以， 由题意可得，直线的斜率存在，设，，且. 则，，，即. 线段的中点的纵坐标为，，即. ，即直线的斜率. 直线的方程为，即． 经检验，直线满足题意. 所以直线的方程为. 26. 定义在上的增函数对任意都有，则 （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）采用赋值法，根据题设条件即可求解. （2）根据奇偶性的定义证明. （3）利用函数的单调性和奇偶性，得到含参数的不等式，再根据基本不等式求得最值，即可得到参数范围. 【小问1详解】 在中， 令可得，，则. 【小问2详解】 因为， 令，得， 又，则有， 又函数定义域为，即可证得为奇函数. 【小问3详解】 因为在上是增函数，又由（2）知是奇函数， 依题意，， 即， 得到， 得， 又有，当且仅当，即时，等号成立.. 即有最小值， 所以要使恒成立，只要使即可， 故k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $