5.4 一元一次方程的应用2 课件 2024-2025学年冀教版（2024）数学七年级上册

5.4 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 知3－讲 知识点 工程问题 3 1. 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 = ，工作效率 = . 感悟新知 知3－讲 2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 . 知3－讲 特别提醒  1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看成整体 1. 2.常见的相等关系：     总工作量 = 各部分工作量之和 . 知3－练 某市为打造引江枢纽风光带，将一段长为 1 200 米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时 60 天 . 已知甲队每天整治 24 米，乙队每天整治 16 米，求甲、乙两队分别整治河道多少米 . 例9 知3－练 解题秘方：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，已知一个量，设另一个量，用第三个量列方程求解 . 知3－练 解：设甲队整治河道 x 米， 则乙队整治河道(1 200 － x)米， 根据题意列方程，得 + =60， 去分母，得 2x+3(1 200－x) =2 880， 移项、合并同类项，得 －x=－720， 系数化为 1，得 x=720. 1 200－x=480. 答：甲队整治河道 720 米，乙队整治河道 480 米 . 知3－练 9-1.甲、乙两人合作清理400米环形跑道，两人同时从同一地点背向而行，各自进行工作，最初甲清理的速度比乙快 ，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高一倍，结果从开始工作算起，经过1小时，完成了清理任务，并且两人清理的道路也正好相等，问乙换工具后又工作了多少时间？ 知3－练 知3－练 检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需 14 天，乙单独完成需 18 天，丙单独完成需 12 天，前 7 天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后 2 天由乙、丙两人合作完成，那么乙中途离开了几天？ 例10 知3－练 解题秘方：工作量分三部分：甲 7 天的工作量，乙(7 －离开的天数)天的工作量，乙、丙合作 2 天的工作量 . 知3－练 解：设乙中途离开了 x 天，根据题意得 × 7+ (7 － x) + + × 2=1. 解得 x=3. 答：乙中途离开了 3 天 . 当总工作量未知时，一般把总工作 量看成整体1，则工作效率为单独 完成总工作量所用时间的倒数 . 知3－练 10-1.整理一批图书，一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人先做4小时？ 知4－讲 知识点 百分率问题 4 1. 百分率问题主要有三类，分别为增长率问题、利润率问题和储蓄利率问题． 2. 储蓄问题中的几个概念 顾客存入银行的钱叫本金；银行付给顾客的酬金叫利息；本金和利息的和叫本息和；存入银行的时间叫期数 . 感悟新知 知4－讲 3. 相关的相等关系 (1) 增长率问题中的等量关系式： ①增长率 = ； ②增长后的量 = 增长前的量 ×(1+ 增长率)； ③亏损后的量 = 亏损前的量 ×(1－亏损率) . 知4－讲 (2)利润率问题中的等量关系式： ①售价 = 标价 × 折扣； ②利润 = 总收入－总成本 = 单价 × 销量－ 总成本； ③利润率 = × 100%= × 100%； ④单价(售价) = 进价 + 利润 =(1+ 利润率) × 进价 . (3) 储蓄利率问题中的等量关系式： ①本息和 = 本金 + 利息；②利息 = 本金 × 利率 × 期数 . 知4－讲 知识储备 ●利润率是相对于进价而言的，是利润与进价的商，再化成百分数； ●在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几 . 知4－练 合肥园博园汇聚了 31 个国内展园和 7 个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术 . 自开园以来，受到广大市民和全国游客的青睐，成为又一打卡地 . 据统计，某日 A 入口比 B 入口入园游客多 1.2 万人 . 第二天 A 入口入园游客增加了 10%， B 入口入园游客减少了 10%，当天 A， B 入口入园游客总人数增加了 3%，试求第二天 A， B 入口入园的游客人数各是多少万人？ 例11 知4－练 解题秘方：设某日 A 入口入园游客有 x 万人，根据题意表示出其他几个人数，列出方程求解即可． 知4－练 解：设某日 A 入口入园游客有 x 万人，则 B 入口入园游客有(x－1.2)万人，第二天 A 入口入园游客有(1+10%) x 万人，B 入口入园游客有(1－10%)(x－1.2)万人， 根 据 题 意 得(1+10%) x+(1－10%)(x－1.2) =(1+3%) [x+(x－1.2) ]， 整理得 2x－1.08=2.06x－1.236，解得 x=2.6， 则(1 + 10%) × 2.6=2.86(万人)， (1－10%) ×(2.6 －1.2) =1.26(万人)． 答：第二天 A 入口入园的游客人数为 2.86 万人， B 入口入园的游客人数为 1.26 万人． 知4－练 11-1.某快餐店支持线上和线下两种消费方 式． 2024年第 一季度，该快餐店的收入总额 达50万 元，线 上 收入与线下收入的比是2∶ 3．第二季度该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与第一季度相比，收入总额增长了20%，其中线上收入增长了35%．求该快餐店第二季度的线下收入的增长率． 知4－练 解：设第一季度线上收入2x万元，线下收入3x万元， 则2x＋3x＝50，解得x＝10， 则2x＝20，3x＝30， 即第一季度线上收入20万元，线下收入30万元． 设该快餐店第二季度的线下收入的增长率为a， 则20×(1＋35%)＋30(1＋a)＝50×(1＋20%)， 解得a＝10%. 答：该快餐店第二季度的线下收入的增长率为10%. 知4－练 某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共 1 200 只， 这两种型号节能灯的进货单价、销售单价如下表： 例12 类型 进货单价 / 元 销售单价 / 元 甲型 25 30 乙型 45 60 知4－练 (1)如果进货款恰好为 46 000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)该超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？ 知4－练 解题秘方：根据甲、乙两种灯的总进价为 46 000 元列出一元一次方程，解方程即可； 解： 设购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯(1 200－x)只． 由题意，得 25x+45(1 200－x) =46 000，解得 x=400． 答：可以购进甲型节能灯 400 只． (1)如果进货款恰好为 46 000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ 知4－练 解题秘方：根据售价－进价=进价× 利润率，列出一元一次方程，解方程即可 . 解：设乙型节能灯需打 a 折， 则 0.1× 60a－45=45× 20%，解得 a=9． 答：乙型节能灯需打九折． (2)该超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？ 知4－练 12-1. [期末·保定竞秀区]一商场经销的A，B两种商品， A种商品每件进价40元，利润率为50%； B种商品每件进价50元，售价80元． (1)A种商品每件售价为 _______元. 60 知4－练 (2) 若该商场同时购进A，B两种商品共100件，恰好总进价为4 700元，求购进A， B两种商品各多少件. 解：设购进A种商品x件，则购进B种商品(100－x)件， 由题意，得40x＋50(100－x)＝4 700， 解得x＝30，故100－x＝70. 答：购进A种商品30件，B种商品70件． 知4－练 (3) 元旦期间，该商场对A， B两种商品进行 优 惠 促 销活动：如果购买A， B两种商品超过600元，那么超过600元 的部分打折优惠．琪琪购买了总价值为800元的A， B两种商品，享受优惠后，实际共付款720元，直接写出该商场超过600元的部分是打几折销售的？ 该商场超过600元的部分是打六折销售的． 知4－练 为了准备小颖六年后上大学的学费 15 000 元，她的父 亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式： (1)先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； (2)直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始需存入的本金比较少？ 例13 期数 教育储蓄年利率 /% 一年 2.25 三年 3.24 六年 3.60 知4－练 解题秘方：根据公式“本息和=本金×(1+年利率× 期数)” 列方程求解即可． 解：设开始需存入的本金为 x 元． 若按照第一种储蓄方式， 则 x(1+3.24%× 3)(1+3.24%× 3) =15 000，解得 x ≈ 12 460； 若按第二种储蓄方式， 则 x(1+3.6%× 6) =15 000，解得 x ≈ 12 336． 因为 12 460>12 336， 因此，按第二种储蓄方式开始需存入的本金少． 知4－练 13-1.一种节能型冰箱，商家计划按进价加价20%作为售价，为了促销，商家现在按原售价的九折出售了40台，降价后的新售价是每台2 430元. (1)按照新售价出售，商家每台冰箱还可盈利多少元？ 解：设这种节能型冰箱的进价是每台x元， 根据题意，得(1＋20%)x×90%＝2 430， 解得x＝2 250，2 430－2 250＝180(元)． 答：按照新售价出售，商家每台冰箱还可盈利180元． 知4－练 (2)售完这批冰箱后，商家将购进40台冰箱的进货款存入银行，存期一年，不扣利息税，到期可得人民币92 025元，求这项储蓄的年利率是多少？ 解：设这项储蓄的年利率是m， 根据题意，得2 250×40＋(2 250×40)m＝92 025， 整理得90 000×(1＋m)＝92 025， 解得m＝0.022 5＝2.25%. 答：这项储蓄的年利率是2.25%. 知5－讲 知识点 图形问题 5 用一元一次方程解决图形相关问题用到的公式一般为 长方形的周长和面积公式、长方体的体积公式、圆柱的表面 积和体积公式． 常见的等量关系： (1)形变体积(周长)不变； (2) 形变体积也变，但质量不变． 感悟新知 知5－讲 特别解读      用一元一次方程解决图形问题的关键是找到不变的量或相等的量，可以是变化前后的两个相等的量，也可以是一条边长的两种不同表示方法. 知5－练 [母题教材P180练习T1 ]把直径为 6 cm，长为 16 cm 的圆钢锻造成半径为 4 cm 的圆钢，则锻造后圆钢的长是 ______cm． 例14 9 知5－练 解题秘方：根据锻造后的圆钢与锻造前的圆钢的体积相同，列方程求解即可． 解：设锻造后的圆钢的长为 x cm， 则 π· 3 2× 16=π· 4 2· x， 解得 x=9． 知5－练 14-1.用五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32 cm，则小长方形的面积是________ . 12 cm2 知6－讲 知识点 建立一元一次方程模型解决分段计费问题 6 分段计费问题主要分为两类，一类是出租车付费问题，另一类是阶梯水电价问题． 运用一元一次方程模型解决水费、电费、出租车费、电话费、煤气费等日常生活所产生的费用时，注意分段收费的收费标准以及分的段数，找准等量关系，列方程即可． 感悟新知 知6－讲 特别提醒      建立一元一次方程模型解决分段计费问题，可以画线段图，在线段图上可以清楚直观地看到不同段的收费标准 . 知6－练 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认 识到节水的重要性 . 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用了阶梯价格的调控手段 . 该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算). (1)若某户居民 2 月份用水 10.5 m3，应交水费多少元？ 例15 知6－练 (2)若该户居民 3， 4 月份共用水 16 m3( 4 月份用水量超过3 月份)，共交水费 46 元，则该户居民 3， 4 月份各用水多少立方米？ 价目表 每月用水量 价格 不超出 6 m3 的部分 2 元 /m3 超出 6 m3 但不超出 10 m3 的部分 4 元 /m3 超出 10 m3 的部分 8 元 /m3 知6－练 解题秘方：根据价目表中的每月用水量与价格之间的对应关系求解 . 解：由题意， 得 2× 6+4×(10－6) +8×(10.5－10) =32(元)， 所以应交水费 32 元 . 知6－练 解： 设 3 月份用水 x m 3，则 4 月份用水(16－x) m3. 分三种情况： ①当 x ≤ 6 时， 16－x ≥ 10， 依题意，得 2x+2× 6+4× 4+8(16－x－10) =46. 整理，得 6x=30，所以 x=5， 此时 16－x=11，符合题意 . 知6－练 ②当 6<x ≤ 10 时， 6 ≤ 16－x<10， 依题意，得 2× 6+4(x－6) +2× 6+4(16－x－6) =46. 整理，得 40=46，故此方程无解 . 所以 6<x ≤ 10 不符合题意 . ③因为 4 月份用水量超过 3 月份， 所以 x 不可能大于 10. 综上所述， 3 月份用水 5 m 3， 4 月份用水 11 m 3. 知6－练 15-1.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格 /(元 /千瓦时) 不超过 150 千瓦时的部分 a 超过 150 千瓦时，但不超过300 千瓦时的部分 b 超过 300 千瓦时的部分 a+0.3 知6－练 5月份，该市甲户居民用电100千瓦时，交电费50元；乙户居民用电200千瓦时，交电费105元． (1) 上表中 a=_____ ，b=_______ ； (2)实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月交电费285元？ 0.5 0.6 知6－练 解：由题意可知，若月用电300千瓦时，则交电费 0.5×150＋0.6×150＝165(元)，因为165<285， 所以该户居民月用电超过了300千瓦时，设月用电x千瓦时，则0.5×150＋0.6×150＋(0.5＋0.3)(x－300)＝285， 整理得0.8x＝360，解得x＝450. 答：该户居民月用电450千瓦时时，其当月交电费285元． 一元一次方程的应用 销售问题 配套问题 实际问题 行程问题 工程问题 建立一元一次 方程模型解决 课堂小结 解：设乙换工具后又工作了x分钟，乙换工具前的速度为v， 则甲的速度为v×＝v， 根据题意，得v×60＝200，解得v＝2.5， 所以2.5×(60－10－x)＋2×2.5x＝200，解得x＝30. 答：乙换取工具后又工作了30分钟． 解：设应安排x人先做4小时， 依题意得4××x＋(x＋2)××8＝1，解得x＝2. 答：应安排2人先做4小时． $$