5.4 一元一次方程的应用（课件）2024—2025学年冀教版（2024）数学七年级上册

5.4 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 知1-讲 知识点 建立一元一次方程模型解决实际问题 1 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 审题,设未知数; (2) 找相等关系,列方程; (3) 解方程; (4) 检验; (5) 写出答案 . 感悟新知 2. 常见的两种相等关系 (1) 总量与分量关系问题: 总量 = 各分量的和; (2) 余缺问题: 表示同一个量的两个不同的式子相等 . 知1-讲 知1-讲 特别提醒  列一元一次方程解决实际问题时需要注意以下几点: 1.恰当地设未知数可以简化运算,且单位要统一; 2. 题中的相等关系不一定只有一个,要根据具体情况选择; 3.求出方程的解后要检验所求出的解是否符合实际意义 . 知1-练 某校七年级 200 名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观, 其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2 倍少 10,求到乙纪念馆参观的学生有多少名 . 例1 知1-练 解题秘方:根据分量的和等于总量列出方程,解决问题 . 甲纪念馆参观人数+乙纪念馆 参观人数 = 参观学生总数 . 知1-练 解:设到乙纪念馆参观的学生有 x 名, 则到甲纪念馆参观的学生有(2x-10)名 . 根据题意,得 2x-10+x=200. 移项,得 2x+x=200+10. 合并同类项,得 3x=210. 系数化为 1,得 x=70. 答:到乙纪念馆参观的学生有 70 名 . 知1-练 1-1.学校从七、八、九三个年级选取学生100人担任志愿者,七年级选取了25人,九年级选取的人数是八年级选取的人数的两倍. (1) 求八年级选取的人数; 解:设八年级选取x人,则九年级选取2x人, 由题意,得25+x+2x=100,解得x=25. 答:八年级选取25人. 知1-练 (2)如果下一次学校选取志愿者,七年级的人数至少要30人,则七年级志愿者人数至少要增加百分之几? 解:(30-25) 25=20%. 答:七年级志愿者人数至少要增加20%. 知1-练 一个三角形的三边长之比为 2∶ 4∶ 5,周长为 22 cm,求该三角形最长边的长 . 例2 解题秘方:未知的量若以比例的形式出现,则解决问题的关键是求出单位量,通过设单位量表示相关的量列方程 . 知1-练 解:依题意, 设三角形的三边长分别为 2x cm, 4x cm,5x cm. 根据题意,得 2x+4x+5x=22, 合并同类项,得 11x=22. 系数化为 1,得 x=2. 所以 5x=10. 答:该三角形最长边的长是 10 cm. 遇到比例问题时,一般先设每份为未知数,再用含未知数的式子表示相关的量 . 知1-练 2-1.如图,它是淇淇用44根相同的木棒拼成的一个横放的“目”字图 形,已 知AB∶ AC=5∶ 3,每根木棒的长度为3 cm,求这个图形的面积. 知1-练 解:设AB由5x根木棒组成,则AC由3x根木棒组成, 由题意,得2 5x+4 3x=44,解得x=2. 所以AB=5 2 3=30(cm),AC=3 2 3=18(cm), 则30 18=540(cm2). 答:这个图形的面积为540 cm2. 知1-练 某新能源汽车生产车间有两条生产线,第一条生产线有20 人,第二条生产线有 28 人,根据市场需求情况,要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半,问应从第二条生产线调多少人到第一条生产线? 例3 知1-练 解:设应从第二条生产线调 x 人到第一条生产线, 根据题意得 28-x= (20+x),解得 x=12. 答: 应从第二条生产线调 12 人到第一条生产线. 解题秘方:根据“要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半”列出方程,求解即可. 知1-练 3-1. [期末 上海松江区]甲、乙两个车间工作人员的人数之比是3∶ 4,乙车间突然遇上紧急事件,急需增加人员,即刻从甲车间调出12人到乙车间,这时甲车间人数是乙车间人数的 ,甲车间原有多少人? 解:设甲车间原有3x人,则乙车间原有4x人, 由题意,得2(3x-12)=4x+12, 解得x=18,所以3x=54. 答:甲车间原有54人. 知1-练 一个两位数,十位上的数字是个位上的数字的 2 倍,如果把个位上的数字与十位上的数字对调,得到的数比原数小 36,求原来的两位数 . 例4 知1-练 解:设原来的两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为2x. 根据题意,得 10 2x+x - 36=10x+2x,即 21x - 36=12x. 解得 x=4,所以 2x=8. 答:原来的两位数是 84. 解题秘方:用各数位上的数字表示原数和新数,利用两个数之间的关系列方程 . 知1-练 4-1.若一个两位数,个位与十位上的数字之和是7,其中十位上的数字比个位上的数字的3倍少1,则这个两位数是 _. 52 知2-讲 知识点 行程问题 2 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 时间,时间 = 路程 速度, 速度 = 路程 时间 . 感悟新知 知2-讲 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系: ①若甲、乙相向而行,则相遇时,甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程;②若甲、乙同时出发,则相遇时,甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系: ①当快者追上慢者时,快者走的路程 -慢者走的路程 = 追及路程;②若同时出发,当快者追上慢者时,快者用的时间 = 慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系: 顺水(顺风)速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风)速,逆水(逆风)速度 = 静水(无风)速度 -水(风)速 . 知2-讲 特别提醒  1. 在行程问题的三个量(路程、速度、时间)中,一个量已知,另一个量设元,则第三个量用来列方程 . 2. 在相遇和追及问题中,若两者同时出发,则时间相等,利用两者路程之间的关系列方程. 3. 航行问题中涉及顺和逆的问题,只要路线相同,路程不变 . 知2-练 甲站和乙站相距 1 500 km,一列慢车从甲站开出, 速度为 60 km/h,一列快车从乙站开出,速度为 90 km/h. (1)若两车相向而行,慢车先开 30 min,快车开出几小时后两车相遇? (2)若两车同时开出,相背而行,多少小时后两车相距 1 800 km ? (3)若两车同时开出,快车在慢车后面同向而行,多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)? 例5 知2-练 解题秘方:根据相遇和追及问题中路程之间的关系列出方程 . 解:设快车开出 x h 后两车相遇 . 由题意,得 60 ( x+ )+90x=1 500.解得 x=9.8. 答:快车开出 9.8 h 后两车相遇 . (1)若两车相向而行,慢车先开 30 min,快车开出几小时后两车相遇? 也可画线段示意图: 知2-练 解: 设 y h 后两车相距 1 800km. 由题意,得 60y+90y+1 500=1 800. 解得 y=2. 答: 2 h 后两车相距 1 800 km. (2)若两车同时开出,相背而行,多少小时后两车相距1 800 km ? 也可画线段示意图: 知2-练 解: 设 z h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) . 由题意,得 60z+1 500 - 90z=1 200. 解得 z=10. 答: 10 h 后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面) . (3)若两车同时开出,快车在慢车后面同向而行,多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)? 知2-练 5-1.已知A, B两地相距500 km,甲、乙两车分别从A, B两地同时出发,相向而行.甲车的速度为60 km/h,乙车的速度为40 km/h.请按下列要求列方程解题: (1) 多少小时时甲、乙两车相遇? 解:设x小时时甲、乙两车相遇. 根据题意,得(60+40)x=500,解得x=5. 答:5小时时甲、乙两车相遇. 知2-练 (2)多少小时时甲、乙两车相距100 km ? 解:设y小时时甲、乙两车相距100 km. ①相遇前,两车相距100 km时, 根据题意,得(40+60)y=500-100,解得y=4; ②相遇后,两车相距100 km时, 根据题意,得(40+60)y=500+100,解得y=6. 答:4小时或6小时时甲、乙两车相距100 km. 知2-练 小明和哥哥早晨起来沿长为 400 m 的环形跑道练习跑 步,小明跑 2 圈用的时间和哥哥跑 3 圈用的时间相等 . 两人同时同地同向出发,结果经过 2 min 40 s 第一次相遇 . 若两人同时同地反向出发,则经过多少秒第一次相遇? 例6 知2-练 解题秘方:可将环形的相遇或追及问题转化为直线形的相遇或追及问题 . 知2-练 解:设小明的速度为 x m/s,则哥哥的速度为 x m/s. 2 min 40 s=160 s. 由题意,得 160x=160 x - 400. 解得 x=5. 则哥哥的速度为 5 =7.5(m/s) . 设经过 y s 第一次相遇 . 由题意,得 5y+7.5y=400. 解得 y=32. 答:经过 32 s 第一次相遇 . 知2-练 6-1.有甲、乙,丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙相背而行,甲每分钟走40 m,乙每分钟走38 m,丙每分钟走35 m.在途中,甲和乙相遇后3 min和丙相遇.问:这个花圃的周长是多少米? 知2-练 一列火车匀速行驶经过一座桥,火车完全通过桥共用了50 s,整列火车在桥上的时间为 30 s,已知桥长 1 200 m,求火车的长度和速度 . 例7 知2-练 火车“完全通过桥”是指从火车头上桥到火车尾离桥,“整列火车在桥上” 是指火车尾上桥到火车头离桥. 解题秘方:理解“完全通过桥”和“整列火车在桥上”所指的火车的运动过程,根据火车行驶的速度不变列方程 . 知2-练 解:设火车的长度为 x m. 列表如下: 路程 /m 时间 /s 速度 /(m/s) 完全通过桥 1 200+x 50 整列火车在桥上 1 200-x 30 知2-练 根据题意,得 = . 解得 x=300. 所以火车的速度为 =30(m/s) . 答:火车的长度为 300 m,速度为 30 m/s. 知2-练 拓展:两列火车错车问题的相等关系: 相向:两列火车所行路程的和 = 两列火车车身长的和; 同向:两列火车所行路程的差 = 两列火车车身长的和 . 知2-练 7-1.一列火车匀速行驶,经过一条长800 m的隧道,从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50 s的时间,在隧道中央的顶部有一盏灯,垂直向下发光照在火车上的时间是18 s,求火车的长度. 知2-练 [母题教材P175观察与思考 ]近年来,跑步运动已经成为全民参与的重要体育活动,越来越多的人加入到跑步运动中 . 某跑步爱好者在一次跑步中,先按原计划 10 km / h 的平均速度跑了一半的路程,后受各种因素影响,平均速度下降了 20%,并以此速度跑 完了后半程 . 这样总用时比原计划多了 15 min,求他此次跑步的总路程 . 例8 知2-练 解题秘方:(解法一) 设他此次跑步原计划用 x h,根据总路程不变列出方程即可; 解:(解法一)设他此次跑步原计划用 x h. 由题意得10 +10 (1-20%)( + )=10x,解得x=2. 所以总路程为 2 10=20(km). 答:他此次跑步的总路程为 20 km. 知2-练 解题秘方:(解法二)设他此次跑步的总路程为 x km,根据实际用时比原计划多用了 15 min 列出方程即可. 解: (解法二) 设他此次跑步的总路程为 x km. 由题意得 + =+,解得 x=20. 答:他此次跑步的总路程为 20 km. 知2-练 8-1.甲、乙两港口相距80 km,一艘轮船从甲港口逆流向乙港口航行的速度为48 km/h,水流速度为2 km / h,现计划在甲、乙两港口之间修建一个丙港口,若该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间与从乙港口航行到丙港口所用时间相同,求甲港口到丙港口之间的距离. 知2-练 解:设这个花圃的周长是x m, 根据题意,得-=3,解得x=5 850. 答:这个花圃的周长是5 850 m. 解:设该火车的长度为x m, 依题意,得=,解得x=450. 答:火车的长度为450 m. 解:解法一:设甲港口到丙港口之间的距离为x km, 由题意,得=,解得x=38.4. 答:甲港口到丙港口之间的距离为38.4 km. 解法二:设该轮船从甲港口航行到丙港口所用时间为y h, 由题意,得48y+(48+2+2)y=80, 解得y=0.8,所以48y=48 0.8=38.4. 答:甲港口到丙港口之间的距离为38.4 km. $$