22.1二次函数的图像和性质预习讲义　-2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图像和性质预习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 典例分析 1．已知抛物线经过． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为； (2) (3)m的值为5 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）把点代入解方程组即可得到结论； （2）把代入得到，于是得到，即可得到结论； （3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得：； ∴函数解析式为， ∴对称轴为 （2）解：由（1）得函数解析式为， 把代入得，， ∵ ∴ ∵是抛物线上不同的两点， ∴关于对称轴的对称， ∴． ∴． （3）解：由（1）得函数解析式为， ∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度， 当向左平移时，平移后的解析式为， ∴对称轴为， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意； 当，时，当时y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值7，即， 解得，（舍去）， 综上所述，m的值为5． 2．已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点坐标代入后即可得到二次函数解析式，并由此得到点和点坐标后代入后可得一次函数解析式； （2）根据二次函数的对称轴找到点的横坐标，由题意得存在两种情况：与交点分别为线段三等分点中靠近点或靠近点的点，分情况求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：点在抛物线 上， ， 二次函数的解析式为， 点的坐标为，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 由 解得 ， 直线的解析式为， 即二次函数的解析式为，一次函数的解析式是． （2）解：由题得，二次函数对称轴为， 直线将分成面积比为的两部分，，，点的横坐标为， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为，即点， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为， 设直线为，将、代入， 则得， 故直线为， 当时，，即此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数图象点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 精选好题 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．32 B．18 C．16 D．以上都不对 6．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A． B． C． D． 7．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．6 C．4 D． 二、填空题 9．当 时是二次函数 10．抛物线的开口 （填“向上”或“向下”）． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线＝ 对称． 12．二次函数的最小值是 ． 13．已知一次函数与二次函数的图象交于轴上的点，则的值是 ． 14．已知抛物线中的x与y满足下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴是y轴；④图象经过点．其中正确的是 ． 15．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象（包括E，F两点）图象上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为 ． 16．如图，以/的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球飞出 时，达到最大高度． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标． 18．直线与抛物线交于点． (1)求a和n的值； (2)对于二次函数，当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围． 19．把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． (1)写出平移后的抛物线的解析式； (2)指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 21．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 22．如图，已知二次函数的图像经过、两点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图像的对称轴与轴交于点，连接、，求的面积和周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C B A A B 1．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵，即开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵二次函数有最小值为， ∴，解得：； 故选． 3．D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．设，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可． 【详解】解： ∵， ∴四边形的面积； 设， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 当时，四边形的面积最大：18， ∴四边形的最大面积是：18； 故选B． 6．A 【分析】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据二次函数的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 则新的函数解析式为：． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数 图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，通过解直角三角形求出点中边上的高是解题的关键. 将抛物线解析式变形为顶点式，即可找出点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，过点作直线于点，延长交直线 于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求出的长度，同理可求出的长度，进而可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】解：， ∴点的坐标为 ∴点在直线 上. ∵直线与坐标轴分别交于点两点， ∴点的坐标为点的坐标. 过点作直线于点，延长交直线 于点，如图所示. ∵点的坐标为, 点B的坐标, ， ， 同理，可求出： ， ，                故选: B. 9．0 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数定义求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 10．向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可解答；掌握，当，抛物线开口方向向下是解题的关键． 【详解】解：在抛物线中，， 则抛物线的开口向下， 故答案为：向下． 11．5 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．其顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴二次函数的图象关于直线对称． 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，将解析式配成顶点式，根据函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 13．1 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式是解题的关键． 一次函数的图像与轴的交点为，可求出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数即可求解． 【详解】解：根据题意得，当时，， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象过点，得， ∴， ∴， 故答案为：1 14．①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式和函数值，根据表格中的数据可判断①；根据当和的函数值相同，可求出对称轴，即可判断②；根据当时的函数值小于的函数值，可得增减性，即可判断③；利用待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴该抛物线图象经过原点，故①正确； ∵当和的函数值相同， ∴对称轴为直线，即对称轴为y轴，故③正确， ∵当时的函数值小于的函数值， ∴在对称轴左边，y随x增大而增大， ∴图象开口向下，故②正确； 设抛物线解析式为， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴图象经过点，故④正确； 故答案为：①②③④． 15．或7 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质，根据题意得出，，进而根据的取值范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，，抛物线对称轴为轴，顶点为，即最小值为， ∵图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况： 如图，当，即时，的值随的值的增大而减小， ，，即， 解得：； 如图，当，即时， ，，即， 解得：（舍去）； 如图，当，即时， ，，即， 解得：（舍去）； 如图，当时， ，，即， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，把二次函数化为顶点式即可得解． 【详解】解：， 小球飞出时，达到最大高度．最大高度． 故答案为：． 17．解析式为，其顶点坐标为 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由抛物线可配方为，结合题意可得，再进一步可得答案． 【详解】解：抛物线可配方为． ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把代入可以求出的值，再把代入即可求出的值； （2）根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 解得：， ∴，； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴当y随x的增大而增大时，． 19．(1) (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题： （1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为； （2）解：∵平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵平移后的抛物线解析式开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小， 又∵对称轴为直线， ∴当y随x 的增大而减小时，． 20．(1)是“邻近根方程” (2)当时，有最大值，最大值为48． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了配方法的应用． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）， ， ，， ， 方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值，最大值为48． 21．(1)，，； (2)存在，，，，； (3)存在点M使最小， 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； （2）解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； （3）解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 22．(1)； (2)面积为，周长为． 【分析】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，熟练掌握点的坐标与线段长度之间的转换是解题的关键． （1）将点及点的坐标代入即可得出、的值，从而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出的长度，根据可以求得的面积，再根据，，坐标，进而求得的周长． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：； （2）二次函数的解析式为：， 二次函数的对称轴为， 点，即， ， ， 点、、点， ，，， 在中，， 在中，， 的周长    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$