第三单元小数乘法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

第三单元小数乘法（讲义） 五年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一: 除数是整数的小数除法 1.除数是整数的小数除法的计算方法 小数除以整数时,按照整数除法的法则去除,商的小数点要与被除数的小数点对齐。除到被除数 的哪一位,商就写在那一位上面。 2.除数是整数的小数除法(除到被除数的末尾有余数) 计算除数是整数的除法，要注意: (1)按整数除法的方法去除。 (2)商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (3)如果有余数，要添0继续除。 3.除数是整数的小数整数部分不够商“1” 的小数除法，在计算时，要在商的相应的数位上写“0”占位。 知识点二: 一个数除以小数 1.一个数除以小数的计算方法 一个数除以小数,先去掉除数的小数点,看除数有几位小数,被除数的小数点就向右移动几位, 再按照除数是整数的计算法则计算。 2.一个数除以小数(被除数的小数位数比除数少) 计算被除数的小数位数比除数少的小数除法时,将除数和被除数的小数点向右移动相同的位 数,被除数的位数不够,少几位就在被除数末尾补几个“0” 知识点三: 商的近似数 看:需要保留几位小数或整数 除:除到比需要保留的小数位数多一位 取:用“四舍五入”法取商的近似数 知识点四: 循环小数 1.认识循环小数 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2.认识循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3.循环小数的表示方法 (1)写循环小数时，写出至少两个循环节后用一半的省略号表示以后的循环节, (2)写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一 个圆点。 4. 有限小数和无限小数 小数部分的位数有限的小数是有限小数;小数部分的位数无限的小数是无限小数。 5.用计算器探索规律 (1)运用计算器计算，发现算式的规律。 (2)能运用规律直接写出商。 精讲例题 【例题一】． 32．下列各式中，商小于1的是（    ）。 A．5.02÷6 B．53÷47 C．3.82÷2.7 【答案】．A 【分析】根据小数除法的计算方法，分别求出各项的结果，然后与1对比即可。 【详解】A．5.02÷6＝＜1； B．53÷47≈1.13＞1； C．3.82÷2.7≈1.41＞1。 故答案为：A 【点睛】本题考查小数除法，明确小数除法的计算方法是解题的关键。 【例题二】．在一次马拉松长跑比赛中，一位运动员跑完全程用了2.6小时，这位运动员平均每小时跑多少千米？（得数保留整数） 【答案】．17千米 【分析】根据速度＝距离÷时间，用马拉松全长除以运动员跑完全程的时间，即45÷2.6；保留整数，就看十分位，再根据“四舍五入”进行解答。 【详解】45÷2.6≈17（千米） 答：这位运动员平均每小时跑17千米。 【点睛】根据小数除法的计算进行解答。 【例题三】．一个玩具厂做一套塑料积木车原来需要7.6元的材料。后来改进了制作方法，每套只需材料费7.2元。原来准备做270套积木车的材料，现在可以做多少套？ 【答案】．285套 【分析】先用乘法表示出原来做270套积木车需要的材料费，即270×7.6，再用一共的材料费除以现在每套积木车需要的材料费，求出现在可以做积木车的数量，即270×7.6÷7.2，据此解答。 【详解】270×7.6÷7.2 ＝2052÷7.2 ＝285（套） 答：现在可以做285套。 【点睛】本题主要考查小数乘除法的应用，用小数乘法表示出原来做270套积木车需要的材料费是解答题目的关键。 专项练习 一、选择题 1．两个数相除的商是1.2，被除数和除数同时扩大6倍，商是（      ）． A．7.2 B．0.2 C．1.2 2．下面哪个算式的商小于1？（    ） A． B． C． D． 3．一辆货车在高速公路上4.5小时行驶472.5千米，用同样的速度行驶5.6小时，可以行驶（    ）千米。 A．588 B．2646 C．25.2 4．买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（    ）元。 A．11.475 B．11.48 C．11.4 5．小丽在计算一道小数乘法算式时，误将一个一位小数当成了整数，算出结果为6.28，这个算式正确的结果应该是（    ）。 A．62.8 B．628 C．0.0628 D．0.628 6．下列算式中与455÷0.25结果相等的式子是（    ）。 A．45.5÷2.5 B．4550÷25 C．45.5÷0.025 二、填空题 7．根据18×6＝108，直接写出下面各算式的得数。 1.8×0.6＝( )        10.8÷6＝( ) 1.8×0.06＝( )        1.08÷0.6＝( ) 8．已知两个因数的积是25.8，其中的一个因数是1.5，另一个因数是( )。 9．在括号填上“＜”“＞”或“＝”。 9.64×0.19( )9.64                   5.17÷1.8( )5.17 4.96÷0.9( )4.96×0.9               450÷100( )450×0.01 10．制作一个杯子蛋糕需要0.12kg面粉，余师傅用4kg面粉最多可以做( )个。每个盒子里可以装6个杯子蛋糕，那么余师傅至少需要准备( )个盒子装这些蛋糕。 11．百合花每枝9.8元，妈妈花100元最多可以买( )枝。有56个苹果，每个盒子最多可以装12个，至少需要( )个同样的盒子才能装完。 12．甲数除以乙数的商是3.46，如果甲数的小数点向左移动一位，乙数的小数点也向左移动一位，则商为( )。 13．保留两位小数约是( )，精确到千分位约是( )。 14．做一套衣服用布2.6米，25米布最多可以做( )套衣服。 15．一支香烟中所含的尼古丁为2.5毫克，如果健康人体内注入尼古丁50～70毫克就会危及生命，那么至少( )支香烟中的尼古丁可以危及健康人的生命。 16．王师傅要运送58吨货物，每次运2.3吨，需要运( )次。 三、判断题 17．一个不等于0的数除以一个比1小的数，所得的商一定比被除数大。( ) 18．循环小数一定是无限小数。( ) 19．3.626262是循环小数．    ( ) 20．1.45÷2.7的商保留两位小数是0.54。( ) 21．两个数相除的商是0.07，如果被除数扩大10倍，除数不变，则商是0.7。( ) 四、计算题 22．直接写出得数 0.9×2＝    7.2÷0.9＝    3.5÷0.25＝    4.3×1.1＝ 0.8×0.25＝    5.8÷0.2＝    2.5×0.4＝    9.7+0.03＝ 0.56÷0.04＝    1.4×5＝    0.42÷0.7＝    1÷0.8＝ 23．列竖式计算下面各题．  4.08×7.5= 10.8÷0.45= 7.9÷0.35≈  （得数保留两位小数） 五、解答题 24．小明在写一个两位小数时，不小心把小数点漏了，结果得到的数比原数大72.27，那么这个两位小数是多少？ 25．何老师去商店买文具，他带的钱如果买每支8.6元的中性笔正好可以买8支，如果用这些钱买钢笔正好能买5支，每支钢笔多少元？ 26．学校买24支钢笔共用了132元，买48支圆珠笔共用了105.6元．平均每支钢笔比每支圆珠笔贵多少元? 27．已知正方形ABCD的边长是7厘米，E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，求正方形EFGH的面积． 28．食品店分装糖果，每袋装0.14千克的酥糖和0.25千克的水果糖。当水果糖用去3.5千克时，酥糖用去多少千克？ 29．口罩在新冠肺炎疫情防控工作中发挥了重要作用。张阿姨要买一些一次性口罩备用，她在一家药店发现有3种一次性口罩可以选用。甲口罩5个7元，乙口罩3个4元，丙口罩7个9元，哪种口罩最便宜？ 30．2台同样的抽水机，3小时可以浇地1.2公顷，照这样计算，一台抽水机每小时可以浇地多少公顷？ 31． 为“保护地球，关爱环境”，五（1）班开展收集废报纸活动。全班分为6个小组，每个小组有8人，共收集了129.6千克。平均每人收集了多少千克废报纸？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 32 答案 C C A B D C A 1．C 【分析】假设被除数是1.2，除数是1，分别把被除数、除数扩大6倍，计算扩大后的商。 【详解】举例子求解： 商仍为1.2，故答案选C。 【点睛】商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 2．C 【分析】被除数大于除数，商大于1；被除数等于除数，商等于1；被除数小于除数，商小于1。根据被除数与除数的大小关系，判断商与1的大小关系即可。 【详解】A．因为50.4＞6，所以50.4÷6＞1。     B．因为76.5＞45，所以76.5÷45＞1。     C．因为0.84＜28，所以0.84÷28＜1。     D．因为45＞36，所以45÷36＞1。     故答案为：C 【点睛】判断除法算式的商与1的大小关系，关键是看被除数与除数的大小关系。 3．A 【分析】先求出货车的速度，利用速度＝路程÷时间，计算出货车的速度，再利用路程＝速度×时间，计算出5.6小时所行驶的千米数。 【详解】472.5÷4.5＝105（千米/时） 105×5.6＝588（千米） 故答案为：A 【点睛】此题的解题关键是掌握路程、时间、速度三者之间的关系，利用小数乘除法求出结果。 4．B 【分析】根据总价÷数量＝单价，即用25.5除以10即可得到大米的单价，再根据单价×数量＝总价，用大米的单价乘4.5进行计算，其结果根据实际情况保留两位小数即可。 【详解】25.5÷10×4.5 ＝2.55×4.5 ＝11.475 ≈11.48（元） 则买4.5千克大米用11.48元。 故答案为：B 5．D 【分析】误将一个一位小数当成了整数，也就是一个因数由一位小数变成了整数，扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的10倍，要求原来的积，应该用现在的积除以10，据此解答。 【详解】6.28÷10＝0.628 因此这个算式正确的结果应该是0.628。 故答案为：D 6．C 【分析】商的变化规律：①被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；②除数不变，被除数乘几，商就乘几；被除数除以几，商就除以几；③被除数不变，除数乘几，商反而除以几；除数除以几，商反而乘几；据此解答。 【详解】A．45.5÷2.5，相当于455÷0.25中的455÷10，0.25×10，则商÷10÷10，结果与原式不相等； B．4550÷25，相当于455÷0.25中的455×10，0.25×100，则商×10÷100，结果与原式不相等； C．45.5÷0.025，相当于455÷0.25中的455÷10，0.25÷10，则商÷10×10，商不变，结果与原式相等。 故答案为：C 【点睛】掌握商的变化规律是解题的关键。 7． 1.08 1.8 0.108 1.8 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。据此得出小数乘法算式的结果。 根据积÷因数＝另一个因数，可得108÷6＝18，根据除数不变，被除数除以几商也除以几；除数除以几，商反而乘几，得出除法算式的结果。 【详解】根据18×6＝108，可得108÷6＝18 1.8×0.6＝1.08        10.8÷6＝1.8 1.8×0.06＝0.108       1.08÷0.6＝1.8 8．17.2 【分析】根据乘法算式各部分之间的关系可知：一个因数×另一个因数＝积，所以用积除以其中一个因数，就能求出另一个因数，因此代入数据即可得解。 【详解】25.8÷1.5＝17.2 另一个因数是17.2。 【点睛】此题主要考查乘法算式各部分之间的关系以及小数除法的计算法则。 9． ＜ ＜ ＞ ＝ 【分析】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小；一个大于0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数；被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数，据此解答。 【详解】（1）因为0.19＜1，所以9.64×0.19＜9.64； （2）因为1.8＞1，所以5.17÷1.8＜5.17； （3）因为0.9＜1，则4.96÷0.9＞4.96，4.96×0.9＜4.96，所以4.96÷0.9＞4.96×0.9； （4）450÷100＝4.5，450×0.01＝4.5，所以450÷100＝450×0.01。 由上可知，9.64×0.19＜9.64，5.17÷1.8＜5.17，4.96÷0.9＞4.96×0.9，450÷100＝450×0.01。 【点睛】掌握积和乘数、商和被除数的关系是解答题目的关键。 10． 33 6 【分析】①根据除法的意义，用4÷0.12进行计算，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数，从而得到杯子蛋糕的数量；②同样根据除法的意义，用杯子蛋糕的数量6进行计算，结果根据实际情况运用“进一法”，即用商＋1，得到盒子的个数。 【详解】①（个） ②（个）⋯⋯3（个） （个） 因此，余师傅用4kg面粉最多可以做33个杯子蛋糕；至少需要准备6个盒子装这些蛋糕。 11． 10 5 【分析】一枝百合花9.8元，求100元可以买多少枝百合花，就是求100里面有几个9.8元，用100除以9.8即可；用苹果的总数量除以每盒可以装的数量，求出商和余数，商再加上1盒就是需要的盒子的总数量。 【详解】100÷9.8≈10（枝） 56÷12＝4（个）…8（个） 余下的8个还需要1个盒子 4＋1＝5（个） 【点睛】此题应根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答，应结合实际，看用“进一法”还是“去尾法”求近似值。 12．3.46 【分析】由于甲数的小数点向左移动一位，相当于甲数除以10，乙数的小数点也向左移动一位，也相当于除以10，根据商不变的性质：被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外）商不变，由此即可解答。 【详解】由分析可知，如果甲数的小数点向左移动一位，乙数的小数点也向左移动一位，商为3.46 【点睛】本题主要考查商不变的性质，熟练掌握商不变的性质并灵活运用。 13． 8.60 8.596 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；根据求一个小数的近似数，要看精确到哪一位，就从它的下一位运用“四舍五入”取得近似值进行解答即可。 【详解】保留两位小数约是8.60，精确到千分位约是8.596。 【点睛】此题属于易错题，解答此题的关键：要看清精确到的位数，进而用“四舍五入法”进行解答。 14．9 【分析】可依据数量关系式：布的米数÷每套衣服用布的米数＝可以做成的衣服套数，来解答。 【详解】25÷2.6≈9（套） 【点睛】本题的结果是采用“去尾法”来取近似数的，因为衣服没有半套的，所以应该将余数舍去，保留整数。 15．20 【分析】求至少多少支香烟中的尼古丁可以危及健康人的生命，已知2.5毫克就是一支香烟，就是求50毫克是几支香烟，就是求50里面有几个2.5用除法解答即可。 【详解】50÷2.5＝20（支） 【点睛】本题考查了小数除法的意义和计算方法的应用。 16．25 【分析】用货物的总吨数除以每次运的吨数，即可得知需要用几次。 【详解】58÷2.3≈25（次） 需要运25次。 【点睛】对于这类题目，可以先进行计算，不论算出的结果小数点后面的数大小，都要用进一法。 17．√ 【解析】略 18．√ 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，据此解答。 【详解】分析可知，像5.333…和7.14545…都是循环小数，循环小数一定是无限小数。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查循环小数的认识，掌握循环小数的意义是解答题目的关键。 19．错误 【详解】一个无限小数的小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现，这个就是就是循环小数． 20．√ 【分析】商保留两位小数时，需要除到小数点后面第三位，最后根据“四舍五入”取近似值即可。 【详解】1.45÷2.7的商的小数点后面第三位是数字7需向前一位进一，则1.45÷2.7≈0.54。 故答案为：√ 【点睛】掌握除数是小数的小数除法的计算方法是解答题目的关键。 21．√ 【分析】在除法算式中，除数不变，被除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），商也扩大相同的倍数（或缩小到原来的几分之一），由此解答即可。 【详解】两个数相除的商是0.07，如果被除数扩大10倍，除数不变，则商是0.7，说法正确； 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。 22．1.8;8;14;4.73; 0.2;29;1;9.73; 14;7;0.6;1.25 【解析】略 23．解：4.08×7.5=30.6 10.8÷0.45=24 7.9÷0.35≈22.57 【详解】根据小数乘除法的竖式计算方法进行解答即可．根据四舍五入法保留到第二位． 24．0.73 【分析】两位小数去掉小数点后扩大到原来的100倍，得到的数比原数大72.27，根据差倍公式：差÷倍数差＝较小数，即可求得原数。 【详解】这个两位小数漏掉小数点后扩大到原来的100倍。 72.27÷（100－1） ＝72.27÷99 ＝0.73 答：原数是0.73。 【点睛】熟练运用差倍公式是解答题目的关键。 25．13.76元 【分析】已知买每支8.6元的中性笔正好可以买8支，根据“总价＝单价×数量”求出何老师带的钱数； 如果用这些钱买钢笔正好能买5支，根据“单价＝总价÷数量”求出每支钢笔的价钱。 【详解】8.6×8＝68.8（元） 68.8÷5＝13.76（元） 答：每支钢笔13.76元。 26．3.3元 【详解】132÷24-105.6÷48＝3.3(元) 27．24.5平方厘米 【详解】试题分析：如下图：连接EG、HF，根据题意及正方形的特点，得出正方形EFGH的面积是正方形ABCD的面积的一半，由此根据正方形的面积公式S=a×a求出正方形ABCD的面积，进而求出正方形EFGH的面积． 解：7×7÷2， =49÷2， =24.5（平方厘米）， 答：正方形EFGH的面积是24.5平方厘米． 点评：本题主要是利用正方形的特点和正方形的面积公式S=a×a解决问题． 28．1.96千克 【分析】先依据袋数＝用去水果糖重量÷每袋需要水果糖重量，求出分装袋数，再根据酥糖用去重量＝袋数×每袋需要酥糖重量即可解答． 【详解】3.5÷0.25×0.14 ＝14×0.14 ＝1.96（千克） 答：酥糖用去1.96千克。 【点睛】求出分装袋数，是解答本题的关键。 29．丙 【分析】已知三种口罩的购买的数量和总价，根据“单价＝总价÷数量”，分别求出三种口罩的单价，再比较大小，单价最低的口罩最便宜。 【详解】甲：7÷5＝1.4（元） 乙：4÷3≈1.33（元） 丙：9÷7≈1.29（元） 1.29＜1.33＜1.4 答：丙口罩最便宜。 【点睛】本题考查小数除法的应用，掌握单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 30．0.2公顷 【分析】用1.2÷2求出 1台抽水机3小时可以浇地多少公顷，再除以3即可求出一台抽水机每小时可以浇地多少公顷。 【详解】1.2÷2÷3 ＝0.6÷3 ＝0.2（公顷）； 答：一台抽水机每小时可以浇地0.2公顷。 【点睛】解答本题也可以先求出2台抽水机1小时可以浇地多少公顷，再除以2即可求出一台抽水机每小时可以浇地多少公顷。 31．2.7千克 【分析】根据题意，先用全班收集废报纸的总质量除以6，求出平均每个小组收集废报纸的质量，再除以8，即可求出平均每人收集废报纸的质量。 【详解】129.6÷6÷8 ＝21.6÷8 ＝2.7（千克） 答：平均每人收集了2.7千克废报纸。 【点睛】本题考查小数除法的意义及应用，也可以先求出总人数，再用收集废报纸的总质量除以总人数解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$