21.1 一元二次方程复习讲义2024-2025学年 人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 典例分析 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 精选好题 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程至少有一个根是零的条件为（        ） A． B．且 C．且 D．， 3．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 4．已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 5．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围应满足（    ） A． B． C． D． 8．根据下表的对应值，估算一元二次方程（b，c为常数）的其中一个解的取值范围是（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，常数项为 ． 10．关于的方程的一个根是，则的值是 ． 11．已知是方程的一个根，则的值为 ． 12．若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 13．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是，则这个方程为 ． 14．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 15．若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 16．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 三、解答题 17．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 18．若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 19．若是关于x的一元二次方程，求m的值． 20．已知：是方程的一个根，求代数式的值． 21．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 22．若一元二次方程的两个根分别为和，则有和． (1)已知，，请构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数）； (2)在（1）的条件下，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A B D D B 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入原式即可求出c的值，另外注意． 【详解】解：由题意可知：，当该方程至少有一个根为0时， 将代入， ∴， 综上，一元二次方程至少有一个根是零的条件是． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入得到的值，再整体代入求值即可． 【详解】∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 5．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一般式为：， 若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不为0，可得m的取值范围． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ， ， 故选D． 8．B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用时，，而时，可判断当时，其中有一个x的值满足，即可得答案． 【详解】解：∵时， ， 时，， ∴当时，其中有一个x的值满足， 即一元二次方程其中一个解的取值范围是． 故选：B． 9． 3 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出二次项系数，常数项即可． 【详解】解：，整理得：． 其中二次项系数为∶3，常数项为：． 故答案为：；3； 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 11．2022 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故答案为：． 12．2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 13． 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1，一个根是3，另一个根是， ， 整理得， 故答案为：． 14．， 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程中的看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解． 【详解】解：由题意得：关于的方程的解为：，， 解得：，， 故答案为：，． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为，则，，，三式相加得出，即，求出，再将原式变形计算即可得出答案． 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．一般形式为，二次项系数是1，一次项系数是，常数项是4 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义．通过移项合并转化为一元二次方程的一般形式后再进行解答． 【详解】解： ， 所以一般形式为， 所以二次项系数是1，一次项系数是，常数项是4． 18． 【分析】本题考查一元二次方程的解，完全平方公式的变形，把m代入方程变形得，然后利用计算即可解题． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ， ， ，即， ，即． ． 19．4 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵ ∴且， 解得． 即m的值为4． 20．，． 【分析】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，代数式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21．(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 22．(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意得出，，构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数），即，即可作答． （2）结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根分别为和，则有和 ∴，，构造一个以，为根的一元二次方程（以为未知数），即； （2）解：由（1）得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$