第1单元：长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册苏教版

长方体和正方体 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【长方体的特征】 1、长方体相邻的两条棱互相垂直． 2、长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 3、长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 4、长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 【正方体的特征】 1、相邻的两条棱互相垂直． 2、8个顶点． 3、12条棱，每条棱长度相等． 【正方体的展开图】 1、正方体展开图形如下情况： 【表面积的认识】 表面积是物体外表面所有的面积之和”，而不是某一个面的面积。当然，在现实生活中要根据实际情况来判断需要计算哪些面的面积之和。 【长方体和正方体的表面积】 1、长方体表面积：六个面积之和： 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和： 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【容积的认识】 1、 容积是一个汉语词汇，指箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。通常叫做它们的容积。 2、 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水，油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。 【体积的认识】 1、 概念：物体所占空间的大小叫做该物体的体积 2、常用体积单位： 立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米 【长方体和正方体的体积】 1、长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 【典例1】一块长方形铁皮，长40cm，宽35cm。从四个角各切掉边长为5cm的正方形，然后折成一个盒子，这个盒子的容积是多少毫升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】3750毫升 【思路分析】折成的这个长方体的高是5厘米，长是30厘米，宽是25厘米。据此利用长方体的体积公式，直接列式计算出这个盒子的容积即可。 【详解】（40－5×2）×（35－5×2）×5 ＝30×25×5 ＝3750（立方厘米） 3750立方厘米＝3750毫升 答：这个盒子的容积是3750毫升。 【名师点评】本题考查了长方体的体积，长方体的体积等于长乘宽乘高。 【典例2】健身中心新建一个游泳池，该游泳池长50米，宽20米，深2.5米。现在要在池的四周和底面都贴上瓷砖，有50cm×50cm和30cm×30cm两种规格的瓷砖。从节约材料的角度考虑，应选哪一种比较合适？（用文字叙述理由）选好后算一算一共需要多少块这种规格的瓷砖？ 【答案】（1）见详解；（2）5400块 【思路分析】根据题意可知：从节约材料的角度考虑，应选50cm×50cm的那种比较合适，因为50厘米能被各边整除，即所用块数正好； 然后根据“长方体的水池的5个面积的面积（四周和底面）＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”计算出铺方砖的面积，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出每块方砖的面积，然后根据“铺方砖的面积÷一块的砖的面积＝所需块数”进行解答即可。 【详解】（1）50米＝5000厘米，20米＝2000厘米，2.5米＝250厘米，因为5000、2000和250都能被50整除，所以用50cm×50cm的那种方砖比较合适； （2）（50×20＋50×2.5×2＋20×2.5×2）÷（0.5×0.5） ＝（1000＋250＋100）÷0.25 ＝1350÷0.25 ＝5400（块）； 答：一共需要5400块这种规格的瓷砖。 【名师点评】解答此题应先根据题中给出的数据，进行选择，选择出需要的方砖的规格，进而根据铺方砖的面积、一块的砖的面积和所需块数的关系进行解答即可。 【典例3】一个长方体玻璃鱼缸，长6dm，宽4.5dm，高3.8dm，鱼缸的容积是多少升？它的下面和右面的玻璃被打碎了，要修好这个鱼缸，需要配多少平方分米的玻璃？ 【答案】102.6升；44.1平方分米 【思路分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积；长方体的长×宽＝下面面积，宽×高＝右面面积，据此求出两块玻璃面积，相加即可。 【详解】6×4.5×3.8＝102.6（立方分米）＝102.6（升） 6×4.5＋4.5×3.8 ＝27＋17.1 ＝44.1（平方分米） 答：鱼缸的容积是102.6升，需要配44.1平方分米的玻璃。 【名师点评】关键是掌握长方体体积公式，会计算长方体各面面积。 【典例4】一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     【答案】40升 【思路分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 【详解】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 【名师点评】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【典例5】乐乐为了计算一块石头的体积，按下面的过程进行了操作，同学们请你根据下面的信息，算出这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】400立方厘米 【思路分析】根据图意，棱长1分米的正方体水缸注满水，根据正方体的体积公式V＝a3，求出水缸住满水时水的体积； 把原来水的体积看作单位“1”，往缸里放一块石头，拿出石头后缸里的水还剩，则无水部分的体积是原来水的体积的（1－），单位“1”已知，用原来水的体积乘（1－），求出无水部分的体积，也就是这块石头的体积。 【详解】1分米＝10厘米 10×10×10＝1000（立方厘米） 1000×（1－） ＝1000× ＝400（立方厘米） 答：石头的体积是400立方厘米。 1．学校要在操场上挖一个长5米、宽3米、深0.4米的沙坑。 （1）这个沙坑的占地面积是多少平方米？ （2）往这个沙坑填沙子，每立方米沙子是160元，填满沙子需要多少钱？ 2．李伯伯用一种背负式喷雾器给果树喷洒农药。药箱是长为2分米，宽为1.5分米，高为5分米的长方体，如果每分钟喷出农药600毫升，喷完一箱药液需要多少分钟？ 3．一种饮料用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量，纸盒长6厘米，宽4厘米，高10厘米。纸盒的表面注明饮料的净含量是240毫升。请分析说明是否真实。 4．淘气的房间长5米，宽是3米，高是2.4米。除去门窗的面积是3.6平方米不贴墙纸外，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸。如果每平方米的墙纸80元，淘气的房间贴墙纸共花多少元？ 5．一个长方形的游泳池，长50米，宽25米，用水泵向池中注水，如果每分钟可注水5立方米，要使水深为1.2米，水泵需要注水多少小时？ 6．有一个棱长是100厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面是边长为50厘米的正方形的长方体铁块，这个长方体铁块的长是多少厘米？ 7．小华家要砌一道长20米，厚0.24米，高2.5米的长方体砖墙。每立方米要用砖520块，砌这道墙一共要用多少块砖？ 8．一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解） 9．2021年11月。迎泽大街东延段正式通车。在施工的过程中，一个施工队要在一块长120米，宽30米的长方形路面上铺设0.2米厚的水稳层（水泥沙石的混合体），铺设的水稳层的体积是多少立方米？ 10．一个长方体的无盖铁皮水箱，长6分米，宽4.5分米，高3分米。做这个水箱至少需要铁皮多少平方米？如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水多少千克？（铁皮厚度忽略不计） 11．有一个花坛，高0.5米，底面是边长1.8米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.3米，中间填满泥土。花坛里大约有泥土多少立方米？ 12．建造一个长80米、宽40米、深2米的长方体游泳池。 （1）这个游泳池占地多少平方米？ （2）绕着游泳池走一圈，至少要走多少米？ （3）如果在游泳池的四壁和底面贴上边长2分米的正方形瓷砖，需要贴多少块？ 13．学校要做一个长为3分米，宽为0.8分米，高为4分米的文化宣传手提袋（如图）。制作一个这样的手提袋至少需要多少平方分米硬纸板？ 14．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原正方体的表面积增加了64平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？ 15．把一根长1.4米的长方体钢材（横截面是正方形）全部锯成长0.35米的小段，表面积比原来增加了6平方分米，如果每平方分米钢材重7.8千克，原来这根钢材重多少千克？ 16．一个无盖的长方体鱼缸，长12分米，宽8分米，高5分米，做这个鱼缸需要玻璃多少平方分米？鱼缸可以装水多少升？ 17．一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内的水面高35厘米，现将一根长60厘米、横截面的面积是400平方厘米的长方体铁棒垂直插入水中，会溢出多少升水？ 18．一间教室长8米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶和四周墙壁，除去门窗面积22平方米，粉刷面积是多少平方米？如果每千克涂料可以涂4平方米，一共要用涂料多少千克？ 19．在一个长25厘米、宽20厘米的长方体玻璃缸中，有一个棱长10厘米的正方体铁块，这时水深15厘米，把这个铁块从玻璃缸中取出，玻璃缸内水深多少厘米？ 20．有一张长24厘米、宽18厘米的长方形硬纸板，从它的四个角上分别剪去一个边长为3厘米的正方形后做成一个长方体纸盒，这个纸盒的容积是多少立方厘米？（不考虑纸板厚度） 21．在长10厘米、宽7厘米、高5厘米的长方体的一个顶点处截下一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 22．航空公司规定：尺寸超过20厘米×40厘米×55厘米或质量超过5千克的行李，需要将其托运。萧阿姨带了一个长38厘米、宽15厘米、体积是34.2立方分米、质量为4.6千克的礼盒，这个礼盒需要托运吗？ 23．在一个长40厘米、宽20厘米、高25厘米、水深18厘米的长方体水槽内浸没着一个马铃薯，将马铃薯取出后，水深17.2厘米。这个马铃薯的体积是多少立方厘米？水槽内水与水槽接触的面积减少了多少平方厘米？ 24．李老师的卧室长5米，宽4米，高2.8米，门面积共6平方米。 （1）李老师的卧室空间是多少立方米？ （2）如果在四壁贴上壁纸，每平方米壁纸的价格为28元，那么贴壁纸至少需要花多少元？ 25．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 26．一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 27．一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成了一个正方体，表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 28．有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆一道，竖着捆两道（如图），打结处共用2分米。一共要用绳子多少分米？ 29．一颗钢珠的体积是10cm3，小明有5颗这样的钢珠，他把这5颗钢珠放在一个杯子中，又倒入350mL的水，正好盛满这个杯子，这个杯子的容积是多少升？ 30．教学楼门前有一根长方体柱子，高3.6m，底面是边长0.4m的正方形。如果要给这根柱子的四周刷油漆，每平方米需要油漆0.3kg，一共需要油漆多少千克？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．（1）15平方米   （2）960元 【思路分析】（1）沙坑的占地面积是沙坑与地面接触的面积，与地面接触是一个长是5米，宽3米的长方形，长方形的面积＝长×宽，代入数据即可。 （2）每立方米沙子是160元，求这个山坑填满需要多少钱，先求出这个沙坑的容积，这个沙坑是一个长5米、宽3米、深0.4米的长方体，根据，代入数据计算即可，再乘每立方米的所需要的钱得出这个山坑填满需要的钱。 【详解】（1）5×3＝15（平方米） 答：这个沙坑的占地面积是15平方米。 （2）5×3×0.4＝6（立方米） 6×160＝960（元） 答：填满沙子需要960元。 2．25分钟 【思路分析】根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个药箱的容积，再用药箱的容积除以每分钟喷出农药的容积，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】2×1.5×5 ＝3×5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15000毫升 15000÷600＝25（分钟） 答：喷完一箱药液需要25分钟。 3．不真实 【思路分析】净含量比长方体的体积小一些。长方体的体积＝长×宽×高。据此解答。 【详解】长方体塑封纸盒体积： 6×4×10 ＝24×10 ＝240（立方厘米） ＝240（毫升） 答：因为盒子的体积是240毫升，而净含量也为240毫升，所以不真实。 【名师点评】本题是一道有关长方体、正方体体积的计算、体积与容积的题目。 4．3984元 【思路分析】把淘气的房间看成一个长方体，房间的地面不贴墙纸，实际是求这个长方体的4个侧面和1个上底面共5个面的表面积，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要贴墙纸的面积，再用贴墙纸的面积乘每平方米墙纸的费用就是贴墙纸需要花费的钱数。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝53.4（平方米） （平方米） （元） 答：淘气的房间贴墙纸共花3984元。 【名师点评】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 5．5小时 【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入求出水深1.2米时水的体积，再除以每分钟注水的体积，求出水泵需要注水的时间，最后换算单位即可。 【详解】50×25×1.2÷5 ＝1250×1.2÷5 ＝300（分钟） 300分钟＝5小时 答：水泵需要注水5小时。 【名师点评】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式解决实际的问题。 6．400厘米 【思路分析】正方体铁块熔铸成长方体铁块后体积不变，据此解答。 【详解】100×100×100÷（50×50） ＝1000000÷2500 ＝400（厘米） 答：这个长方体铁块的长是400厘米。 【名师点评】本题主要考查的是长方体的体积和正方体体积公式的应用。 7．6240块 【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入长、宽、高的数据，求出长方体砖墙的体积，再乘每立方米用砖的数量，即可求出砌这道墙一共用砖的数量。 【详解】20×0.24×2.5×520 ＝4.8×2.5×520 ＝6240（块） 答：砌这道墙一共要用6240块砖。 【名师点评】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式解决实际的问题。 8．540立方厘米 【思路分析】如图，由题意可知，这是一个上、下面为正方形的长方体，从上部和下部分别截去高为4厘米和5厘米的长方体后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一个展开后长为上、下底边长4倍，宽为（4＋5）厘米的长方形；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的长，长方形的长除以4就是中间剩下的正方体的棱长，即原长方体的长、宽，高是长加上（4＋5）厘米；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出原长方体的体积 【详解】如图： 根据分析得： 216÷（4＋5）÷4 ＝216÷9÷4 ＝6（厘米） 6×6×（6＋4＋5） ＝36×15 ＝540（立方厘米） 答：原来长方体的体积是540立方厘米。 【名师点评】解答此题的关键，也是难点是求出中间所剩正方体的棱长，也就是原长方体的长、宽。 9．720立方米 【思路分析】水稳层的体积＝长×宽×水稳层的厚度，代入数据计算即可。 【详解】120×30×0.2 ＝3600×0.2 ＝720（立方米） 答：铺设的水稳层的体积是720立方米。 【名师点评】此题考查了长方体的体积计算，需牢记公式并能灵活运用。 10．0.9平方米，81千克 【思路分析】铁皮的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算即可；水的体积＝长×宽×高，再乘每升水的质量即可。 【详解】（6×3＋4.5×3）×2＋6×4.5 ＝（18＋13.5）×2＋27 ＝63＋27 ＝90（平方分米） ＝0.9（平方米）； 6×4.5×3 ＝27×3 ＝81（立方分米） ＝81（升） 81×1＝81（千克） 答：做这个水箱至少需要铁皮0.9平方米，这个水箱最多能装水81千克。 【名师点评】此题考查了长方体表面积和体积的综合应用，需牢记公式认真计算，注意单位换算。 11．0.72立方米 【思路分析】求花坛里大约有多少立方米的泥土，就是求它的容积，关键是理解四周用砖砌成，厚度是0.3米，也就是花坛里面的边长是（1.8－0.3×2）米，再根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1.8－0.3×2）×（1.8－0.3×2）×0.5 ＝（1.8－0.6）×（1.8－0.6）×0.5 ＝1.2×1.2×0.5 ＝1.44×0.5 ＝0.72（立方米） 答：花坛里大约有泥土0.72立方米。 【名师点评】本题主要考查长方体的体积的计算，解答关键是理解花坛里的正方形的边长要减去两个0.3米，根据长方体体积公式进行解答。 12．（1）3200平方米；（2）240米；（3）92000块 【思路分析】（1）占地面积也就是底面积，底面积＝长×宽，代入数据计算即可； （2）绕着游泳池走一圈，也就是求底面周长，用（长＋宽）×2，来计算； （3）需要贴砖的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，求出贴砖的面积，再除以每块瓷砖的面积即可。 【详解】（1）80×40＝3200（平方米） 答：这个游泳池占地3200平方米。 （2）（80＋40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 答：至少要走240米。 （3）（80×2＋40×2）×2＋80×40 ＝（160＋80）×2＋3200 ＝480＋3200 ＝3680（平方米） 2×2＝4（平方分米） 4平方分米＝0.04平方米 3680÷0.04＝92000（块） 答：需要贴92000块。 【名师点评】此题主要考查了长方体的特征以及有关表面积的应用，最后一问，记得换算单位。 13．32.8平方分米 【思路分析】观察图形可知，求这个手提袋的表面积，就是求这个手提袋五个面的面积和，根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高），代入数据，即可解答。 【详解】3×0.8＋（3×4＋0.8×4）×2 ＝2.4＋（12＋3.2）×2 ＝2.4＋15.2×2 ＝2.4＋30.4 ＝32.8（平方分米） 答：制作一个这样的手提袋至少需要32.8平方分米的硬纸板。 【名师点评】本题考查长方体表面积公式的应用，关键是熟记公式；明确这个手提袋是五个面的面积和。 14．512立方厘米 【思路分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝64÷4÷2＝8厘米；根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；代入数据，据此解答 【详解】64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 答：原来正方体的体积是512立方厘米。 【名师点评】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 15．109.2千克 【思路分析】根据题意，先求出锯成几段，用长方体钢材长度除以0.35米，进而求出有几个横截面，再用已知增加表面积除以横截面的个数，求出一个横截面的面积，再用一个横截面的面积×长方体钢材的长度，求出这个长方体钢材的体积，最后再乘7.8千克，就是这个钢材的重量，据此解答。 【详解】1.4米＝14分米 1.4÷0.35＝4（段） 增加的面数（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 一个面的面积：6÷6＝1（平方分米） 1×14×7.8 ＝14×7.8 ＝109.2（千克） 答：这个钢材重109.2千克。 【名师点评】本题考查长方体体积公式的应用，关键是明确求出截几段，进而增加几个面的面积。 16．296平方分米；480升 【思路分析】根据无盖的长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求出需要玻璃多少平方分米；再根据长方体的体积公式：长×宽×高，求出鱼缸的体积，再转换成容积即可。 【详解】12×8＋（12×5＋8×5）×2 ＝96＋（60＋40）×2 ＝96＋100×2 ＝96＋200 ＝296（平方分米） 12×8×5 ＝96×5 ＝480（立方分米） 480立方分米＝480升 答：做这个鱼缸需要玻璃296平方分米；鱼缸可以装水480升。 【名师点评】本题主要考查长方体的表面积和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 17．8升 【思路分析】先求出正方体容器剩余的容积，再和铁棒垂直插入水中部分的体积作对比，看水是否会溢出，如果溢出，则用铁棒垂直插入水中排出水的体积，即水中部分的铁棒体积减去容器剩余部分的体积即可求出溢出水的体积。 【详解】正方体容器剩余的体积： 40×40×（40－35） ＝1600×5 ＝8000（立方厘米） 铁棒垂直插入水中部分的体积： 400×40＝16000（立方厘米） 16000立方厘米＞8000立方厘米 所以，水会溢出，则溢出水的体积： 16000－8000＝8000（立方厘米）＝8升 答：会溢出8升水。 【名师点评】本题考查体积公式的应用，关键是要判断铁棒插入水中后会不会溢出，再进行后面的计算。 18．138平方米；34.5千克 【思路分析】要求粉刷的面积，也就是求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积，再依条件即可求出需要涂料的重量，由此列式解答即可。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2－22 ＝48＋56×2－22 ＝48＋112－22 ＝138（平方米） 138÷4＝34.5（千克） 答：粉刷面积是138平方米，一共要用涂料34.5千克。 【名师点评】此题属于长方体表面积的实际应用，求粉刷的面积，即求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积。 19．13厘米 【思路分析】因为下降的水的体积等于正方体铁块的体积，用正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算出正方体铁块的体积，再除以长方体的底面积即可计算出下降的水的高度，用15厘米减去下降的水的高度就是缸内水深。 【详解】15－10×10×10÷（25×20） ＝15－1000÷500 ＝15－2 ＝13（厘米） 答：缸内水深13厘米。 【名师点评】解题关键是根据下降的水的体积等于正方体的体积求出下降的水的体积，再灵活运用长方体体积公式计算出下降的水的高度。 20．648立方厘米 【思路分析】根据题意，做成长方体后，长方体的长是24－3×2厘米，宽是18－3×2厘米，高是3厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（24－3×2）×（18－3×2）×3 ＝（24－6）×（18－6）×3 ＝18×12×3 ＝216×3 ＝648（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是648立方厘米。 【名师点评】本题考查长方体体积公式的应用，关键先求出长方体的长、宽、高的的长度，再求容积。 21．310平方厘米；349立方厘米 【思路分析】在长10厘米、宽7厘米、高5厘米的长方体的一个顶点处截下一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积与长方体的表面积相等，体积等于长方体的体积－小正方体的体积。 【详解】（10×7＋10×5＋7×5）×2 ＝155×2 ＝310（平方米） 答：剩下物体的表面积是310平方厘米。 10×7×5－1 ＝350－1 ＝349（立方厘米） 答：体积是349立方厘米。 【名师点评】解题的关键是分析出剩下物体的表面积与长方体的表面积一样。 22．需要 【思路分析】长方体的高＝体积÷长÷宽，求出礼盒的高与55厘米比较即可。 【详解】34.2立方分米＝34200立方厘米 34200÷38÷15 ＝900÷15 ＝60（厘米） 60＞55 答：这个礼盒需要托运。 【名师点评】此题考查了长方体体积的实际应用，需熟记公式并能灵活运用。 23．640立方厘米；96平方厘米 【思路分析】马铃薯的体积＝水槽的底面积×水面下降的高度；减少的接触面积＝（长×水面下降高度＋宽×水面下降高度）×2，据此代入数据解答即可。 【详解】18－17.2＝0.8（厘米） 40×20×0.8 ＝800×0.8 ＝640（立方厘米） （40×0.8＋20×0.8）×2 ＝（32＋16）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 答：这个马铃薯的体积是640立方厘米，水槽内水与水槽接触的面积减少了96平方厘米。 【名师点评】此题考查了不规则物体的体积计算以及长方体表面积的综合应用，明确减少的面积包括哪些面是解题关键。 24．（1）56立方米；（2）1243.2元 【思路分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 （2）卧室四壁面积＝（长×高＋宽×高）×2－门面积，求出卧室四壁面积再乘每平方米壁纸单价即可。 【详解】（1）5×4×2.8 ＝20×2.8 ＝56（立方米） 答：李老师的卧室空间是56立方米。 （2）（5×2.8＋4×2.8）×2－6 ＝（14＋11.2）×2－6 ＝50.4－6 ＝44.4（平方米） 44.4×28＝1243.2（元） 答：贴壁纸至少需要花1243.2元。 【名师点评】此题考查了长方体表面积和体积的综合应用，明确问题所求灵活运用公式解答即可。 25．94平方厘米；60立方厘米 【思路分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【详解】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【名师点评】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 26．（1）3.2分米 （2）21.2平方分米 【思路分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度； （2）水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。 【详解】16厘米＝1.6分米 （1）4×1×1.6＝6.4（立方分米） 6.4÷（2×1） ＝6.4÷2 ＝3.2（分米） 答：这时水深3.2分米。 （2）2×1＋2×3.2×2＋1×3.2×2 ＝2＋12.8＋6.4 ＝21.2（平方分米） 答：水与容器的接触面的面积是21.2平方分米。 【名师点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。 27．396立方厘米 【思路分析】根据长方体的特点，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，表面积减少了120平方厘米，减少的只是前后左右的侧面积，因为截去两部分后又露出两个底面，又因为剩下部分是正方体，因此减少部分（上＋下）的4个面的面积相等，求出一个面的面积，用120÷4＝30厘米，再除以上下部分的高，就可以求出剩下部分正方体的棱长，据此解答。 【详解】120÷4＝30（平方厘米） 30÷（3＋2） ＝30÷5 ＝6（厘米） 6×6×（6＋5） ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【名师点评】本题考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出城下部分正方体的棱长，再根据长方体体积公式，即可解答。 28．42分米 【思路分析】通过观察图形可知，捆扎这个纸箱需要绳子的长度等于这个长方体的2条长＋4条宽＋6条高＋打结用的2分米。据此解答。 【详解】5×2＋3×4＋3×6＋2 ＝10＋12＋18＋2 ＝42（分米） 答：一共要用绳子42分米。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式及应用。 29．0.4升 【思路分析】根据题意可知，先用5乘每颗钢珠的体积计算出5颗钢珠的体积，然后将单位化成毫升，然后用5颗钢珠的容积加350毫升即可，最后把容积单位mL化成L，据此列式解答。 【详解】5×10＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 50＋350＝400（毫升） 400毫升＝0.4升 答：这个杯子的容积是0.4升 【名师点评】此题考查的是容积单位之间的换算、体积与容积单位之间的换算，要熟练掌握。 30．1.728千克 【思路分析】当长方体的底面是正方形时，则其前后面和左右面完全相同，用3.6×0.4求出一个面的面积，再乘4即可求出前后左右四个面的面积，再乘每平方米需要油漆的质量即可。 【详解】3.6×0.4×4×0.3 ＝5.76×0.3 ＝1.728（千克）； 答：一共需要油漆1.728千克。 【名师点评】本题较易，关键是先求出前后左右四个面的面积和。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$