精品解析：浙教版2023-2024学年九年级数学下册阶段性检测练习

浙教版数学九年级下册阶段性检测练习 九年级上下册综合测试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆和点的位置关系即可解答；掌握的半径为r和点P到圆心的距离与圆与点的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴, ∴点在圆内． 故选A． 2. 一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面看到的图形与图2相同，得出答案即可． 【详解】解：从图1的左面看到的图形与图2相同，因此图2可能是它的左视图，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，从正面看到的图形为主视图，从左面看到的图形为左视图，从上面看到的图形为俯视图． 3. 在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是 （ ） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰三角形 D. 是等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，特殊角的三角函数值的应用，等边三角形的判定，根据非负数的性质可得，，证明，从而可得答案． 【详解】解：由， 得，． 由，均为锐角，得，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选B． 4. 已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键时根据图像的性质判断取值．根据二次函数顶点式图像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小．据此即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 其对称轴为， 因为， 其函数图像开口向下， 所以离对称轴越远，取值越小， 若， 则有时，取值最小值， 最小值为． 故答案为：D． 5. 若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，y有最大值 C. 图像经过点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，经过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时，，A选项正确，不符合题意． 当时y有最大值，B选项正确，不符合题意． ∵图象经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线经过点，C选项正确，不符合题意． 当或时，，选项D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据函数图象找出对称轴、判断开口方向和增减性是解题的关键． 6. 某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．先列表，表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两名男医生分别记为男1，男2，列表如下： 男1 男2 女 男1 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 男2，女 女 女，男1 女，男2 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生恰好是一男一女的结果有4种， 所以选派的两名医生恰好是一男一女的概率为=． 故选C 7. 如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为( ) A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，可得为等腰直角三角形，所以，从而得到的长． 【详解】∵，AB为直径， ∴， ∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵OC=6， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧． 8. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 【答案】B 【解析】 【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比． 【详解】解：如图，过O作，交AC于G， ∵O是BD的中点， ∴G是DC的中点． 又， 设，又， ， 故选B． 【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式． 9. 已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，得出，再结合图象，得出若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即可联立不等式组，解出即可得出结论． 【详解】解：如图， 由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限， ∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方， ∵抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限， ∴， 结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值， 即，解得：， 又∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解恒成立是解本题的关键． 10. 如图， 在中， 点在边上，， 与边交于点， 连接， 记 ， 的面积分别为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判定，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】∵在中，， ∴， ， 若，则，， 即：，整理得：， 而，则，， ，即：，故无法判断与之间的大小关系，排除A、B； 若，则，， 即：，整理得：， 而，则，， ，即：，排除C， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及与不等式相结合，熟练掌握相似三角形的基本性质，抓住面积比等于相似比的平方，灵活运用不等式进行比较大小是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是____（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成． 【详解】，且对称轴为直线， 当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键． 12. 如图，A，B，C是⊙O上三点，已知∠ACB=α，则∠AOB=________．（用含α的式子表示） 【答案】360°﹣2α 【解析】 【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理求出∠AOB的度数． 【详解】在优弧AB上取点D，连接AD、BD， ∵∠ACB=α， ∴∠D=180°﹣α， 根据圆周角定理，∠AOB=2（180°﹣α）=360°﹣2α， 故答案为360°﹣2α． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质、圆周角定理，正确添加辅助线，熟记圆周角定理的内容是解题的关键. 13. 某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表： 移植总数/棵 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活的频率 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.900 若要有18000棵树苗成活，估计需要移植______棵树苗较为合适． 【答案】20000 【解析】 【分析】用成活的数量除以成活的频率估计值即可． 【详解】解：若要有18000棵树苗成活，估计需要移植树苗18000÷0.9＝20000（棵）， 故答案为：20000． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧=πrl计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r=1cm，高h=， ∴圆锥的母线， ∴S侧=πrl=π×1×2=2π（cm2）． 故答案为：2πcm2． 【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S侧=•2πr•l=πrl是解题的关键． 15. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 16. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. 根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值. 【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. ∵A的坐标为（-1,0） 设直线与x轴，y轴分别交于C,D, 在和中 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和最短距离问题，能够作出辅助线，找出全等三角形是解题的关键. 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）的正切值为____________； （2）分别在答题卡上的2个图中各画一个格点三角形，使得所画的三角形和相似且不全等（所画的两个三角形也不全等）． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先构造直角三角形 再利用锐角的正切的定义求解即可； （2）先画与相等的角，再利用两边对应成比例且夹角相等画图即可. 【小问1详解】 解：如图，记于 则 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，是所求作三角形， 理由如下：由网格正方形的性质可得： 同理可得：相似. 【点睛】本题考查的是相似三角形的作图，锐角三角函数的应用，掌握“锐角的正切的含义”，熟悉网格图形的特点与性质是解本题的关键. 18. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=8，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1） 先由AB是圆O的直径可得∠ADB＝90°，再运用平行线的性质可得OC⊥AD，再运用垂径定理即可求解； （2） 用－即可得. 【详解】（1）证明：∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD， ∴AE＝ED； （2） 连接AC、OD 由（1）得OC⊥AD， ∴ ∴AC＝CD ∵∠CBD＝30° ∴∠COD＝60° ∴∠AOC＝∠COD＝60° ∴∠AOD＝120° ∵AB＝8 ∴OA＝OD＝4 ∴BD＝4 ∴OE＝OC＝2 ∴ ∴ ∵OC⊥AD ∴ ∴. 【点睛】本题考查了圆周角的性质以及弧长公式，解题关键是熟记圆周角的性质. 19. 四张背面完全相同的纸牌（如图，用①、②、③、④表示），正面分别写有四个不同的条件．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张． （1）写出两次摸牌出现所有可能的结果（用①、②、③、④表示）； （2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率． 【答案】（1）图形见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用树状图展示所有等可能的结果数； （2）由于共有12种等可能的结果数，根据平行四边形的判定能判断四边形ABCD为平行四边形有6种，则根据概率公式可得到能判断四边形ABCD为平行四边形的概率． 【详解】解：（1）画树状图为： （2）共有12种等可能的结果数， 其中能判断四边形ABCD为平行四边形有6种：①③、①④、②③、③①、③②、④①， 所以能判断四边形ABCD为平行四边形的概率=． 20. 如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S． （1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示） （2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． （3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）DG＝（80﹣x） （2）﹣x2+100x（0＜x＜80） （3）当x＝40时，S的值最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，，利用同位角相等，证△ADG∽ABC，利用相似三角形的性质求解即可； （2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式． （3）利用配方法求出最大值即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形DEFG是矩形， ∴， ∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB， ∴ADG∽ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DG＝（80﹣x）（m）； 小问2详解】 解：矩形面积 0＜x＜80）； 【小问3详解】 解：∵， ∵﹣＜0， ∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000． 答：当x＝40时，S的值最大，最大值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质等知识，此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，求得DG=（80-x），然后即可求得y与x的函数关系式和最值． 21. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． （1）如图，当，时，求视线距离的长； （2）如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 【答案】（1）视线距离长为； （2）需要将支架调整到． 【解析】 【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解； （）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解； 本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴视线距离的长为； 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点， 由题意可得：，，，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴需要将支架调整到． 22. 如图，是的内接正三角形，D是弧上一动点，连结交边于点F，连结． （1）小敏认为：在D点的运动过程中，都可以得到“”这个结论．你觉得小敏的观点正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． （2）若的半径长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）小敏观点正确，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证，进而可证，利用其性质可得，即证得； （2）如图，连结，．由题意可得，可求得，，再结合即可求解． 【小问1详解】 解：小敏观点正确． 理由如下： 证明：如图，在中，∵是的内接正三角形， ∴，而由圆周角定理可得：， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，连结，． ∵，． ∵的半径长为， ∴． 而． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，弓形的面积计算，熟练掌握相关性质定理与弓形的面积计算方法是解决问题的关键． 23. 定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． （1）直接写出抛物线的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 【答案】（1） （2） （3）满足条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）首先确定点的坐标，设，根据“勾股点”的定义解得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，结合点的坐标，易得，，进而可得，，根据“勾股点”的定义易知，进而解得的值，即可确点坐标，设抛物线的函数表达式为， 将代入并解得的值，即可获得答案； （3）由，可知，然后分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于函数， 令，可得，解得， ∴， 设抛物线的勾股点的坐标为， 则，，， 由，化简得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴抛物线的勾股点的坐标为； 【小问2详解】 抛物线（）过原点， 即点的坐标为， 如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是抛物线的勾股点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴； 【小问3详解】 由，可知， ∴， ①当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； ②当时，， 解得， ， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“勾股点”、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，理解并掌握新定义“勾股点”是解题关键． 24. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版数学九年级下册阶段性检测练习 九年级上下册综合测试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，，则点在（ ） A 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 2. 一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不能确定 3. 在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是 （ ） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰三角形 D. 是等腰直角三角形 4. 已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，y有最大值 C. 图像经过点 D. 当时， 6. 某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为( ) A. B. C. 6 D. 12 8. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 9. 已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 10. 如图， 在中， 点在边上，， 与边交于点， 连接， 记 ， 的面积分别为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数图像上两点，，其中，则与的大小关系是____（填“”、“”或“”） 12. 如图，A，B，C是⊙O上三点，已知∠ACB=α，则∠AOB=________．（用含α的式子表示） 13. 某林业部门对某种树苗在一定条件下移植成活率进行了统计，结果如下表： 移植总数/棵 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活的频率 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0905 0.897 0.900 若要有18000棵树苗成活，估计需要移植______棵树苗较为合适． 14. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________． 15. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________． 16. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）的正切值为____________； （2）分别在答题卡上的2个图中各画一个格点三角形，使得所画的三角形和相似且不全等（所画的两个三角形也不全等）． 18. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE=ED； （2）若AB=8，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积． 19. 四张背面完全相同的纸牌（如图，用①、②、③、④表示），正面分别写有四个不同的条件．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张． （1）写出两次摸牌出现所有可能的结果（用①、②、③、④表示）； （2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率． 20. 如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S． （1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示） （2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． （3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？ 21. 如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离． （1）如图，当，时，求视线距离的长； （2）如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，） 22. 如图，是内接正三角形，D是弧上一动点，连结交边于点F，连结． （1）小敏认为：在D点的运动过程中，都可以得到“”这个结论．你觉得小敏的观点正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． （2）若的半径长为，求图中阴影部分的面积． 23. 定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． （1）直接写出抛物线的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 24. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． （3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$