12.3 角的平分线的性质 课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线 1、角平分线的定义： 回顾旧知： A O B C 下图中能表示点P到直线L的距离的是 线段 垂线段的长度， 叫做 点到直线的距离 2、从直线外一点到这条直线的 PC 的长度 情景导入 ③ 作射线OC ① 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，OB于点N 射线OC即为所求。 O A B 已知:∠AOB 求作∠AOB的平分线 ② 分别以点M、N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交于点C 新知学习一 证明： 在△OEC和△OFC中， OE=OF EC=FC OC=OC ∴ △OEC≌△OFC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB 为什么？ 为什么OC是角平分线？ 已知：OM = ON，CM = CN. 求证：OC平分∠AOB. 思考 探索新知 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 验证结论 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. P A O B C D E 命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 证明：∵ OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠AOC=∠BOC 在△EOP和△FOP中 ∠AOC=∠BOC ∠OEP=∠OFP OP=OP ∴ △EOP≌△FOP（AAS) ∴ PE=PF 已知：OC是∠AOB的角平分线， 点P在OC上， O A B E F P C PE⊥OA PF⊥OB 求证：PE=PF 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等 O A B E F P ∵ OP是∠AOB的角平分线 PE⊥OA PF⊥OB ∴ PE=PF 几何语言 角平分线的性质 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 二.角的平分线： 1.角平分线的性质： 2.角平分线的判定： 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路： （1）：已知两边---- 找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) (2):已知一边一角--- 已知一边和它的邻角 找是否有直角 (HL) 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) (3):已知两角--- 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD. 求证：BE=CF. AD平分∠BAC DE⊥AB，DF⊥AC BD=CD DE=DF Rt△DBE≌Rt△DCF BE=CF 分析： 例题解析 例1 规范过程书写 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF. 在Rt△DBE和Rt△DCF中, DE=DF BD=CD ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL） ∴BE=CF 例题解析 2.△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 课堂练习 1．距离指的是点到角的两边的垂线段的长． 2．使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直． 3．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，与以前的方法相 比，运用此性质不需要先证两个三角形全等． 思考 运用角平分线性质的注意事项 新知应用 1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） N M A、SSS B、ASA C、AAS D、角平分线上的点到角两边的距离相等 A 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G Lavf57.62.100 $$