第3单元 分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数除法 (思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 【分数除法】 1、分数意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 2、分数除法的运算性质： （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． 【倒数的认识】 1、定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2、注意事项：0没有倒数． 【分数方程求解】 1、分数方程求解步骤： （1）、去分母：当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）、去括号：在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）、移项：通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）、合并同类项：对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）、系数化为1：合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。 【分数除法应用题】 1、常见题型： （1）、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少． 解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数． （2）、甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙． 甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）． 关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数． 解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量． 【分数的四则混合运算】 1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。 2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。 3、方法总结： （1）、如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 （2）、如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算； （3）、如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。 【简单的工程问题】 1、含义：探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题． 解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 2、数量关系式： （1）、工作总量＝工作效率×工作时间 （2）、工作时间＝工作总量÷工作效率 （3）、工作效率＝工作总量÷工作时间 （4）、合作时间＝工作总量÷工作效率和 【典例1】一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成，甲、乙合作6天，能完成这项工程的几分之几？ 【答案】。 【思路分析】把这项工程的工作总量看作“1”，甲每天完成工作总量的，乙每天完成工作总量的，再用二者相加的和乘6。 【解答】解：（）×6 6 答：能完成这项工程的。 【名师点评】关键是根据分数的意义（或工作量、工作时间、工作效率之间的关系）求出甲、乙每天分别能完成总工作量的几分之几。 【典例2】李师傅加工一批零件，从上午9：00已知到下午3：00，每小时加工65个，还剩下123个没有完成，请问这批零件一共有多少个？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据题意，先计算李师傅加工零件的时间：上午9：00＝9：00，下午3：00＝15：00，15时﹣9时＝6小时，然后利用工作总量＝工作效率×工作时间，计算李师傅加工的零件数，再加剩余零件数，就是一共的数量． 【解答】解：上午9：00＝9：00 下午3：00＝15：00 15时﹣9时＝6小时 65×6+123 ＝390+123 ＝513（个） 答：这批零件一共有513个． 【名师点评】本题主要考查简单的工程问题，关键是利用工作总量、工作时间和工作效率之间的关系做题． 【典例3】两个铺路队从两端同时施工铺一条2070m的路，甲队每天铺46m，乙队每天铺44m，多少天能铺完这条路？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】甲队每天铺46米，乙队每天铺44米，那么两队每天共铺路46+44＝90（米），要求铺一条2070m的路需要的天数，列式为2070÷（46+44），解决问题． 【解答】解：2070÷（46+44）， ＝2070÷90， ＝23（天）； 答：23天能铺完这条路． 【名师点评】此题属于工程问题，考查了关系式：工作量÷工作效率和＝工作时间． 【典例4】一列火车从甲地开往乙地，已经行了全程的，距离乙地还有245千米，甲乙两地之间的距离是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】的单位“1”是全程的米数，行了全程的 ，剩下全程的（1），用对应的数（245）除以对应的分数（1），就是要求的结果． 【解答】解：245÷（1）， ＝245， ＝245， ＝612.5（千米）； 答：甲乙两地之间的距离是612.5千米． 【名师点评】这种类型的题目属于基本的分数除法应用题，只要找清单位“1”，找出对应量，利用基本数量关系解决问题． 【典例5】录入一份稿件，小王单独录入要用18小时，小李单独录入要用12小时，两人合作4小时能完成这份稿件的一半吗？ 【答案】见试题解答内容 【思路分析】把这份稿件看作单位“1”，首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出小王、小李的工作效率，然后根据工作效率和乘4求出两人合作4小时能完成这份稿件的几分之几，然后再与比较大小即可解答． 【解答】解：（）×4 答：两人合作4小时能完成这份稿件的一半． 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用． 1．天猫商城举行”双十二”促销活动，一款移动硬盘降价销售，这款移动硬盘原价多少钱？ 2．一条公路长300千米，一个修路队修了20天，还剩80千米没修完，这个修路队平均每天修路多少千米？ 3．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成。现在甲、乙两队合作4天后，还剩144m没有修完。这条公路总长多少米？ 4．一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要10天完成，两人合做多少天可以完成这项工程？ 5．修一条公路，甲队单独修，需要8天修完，乙队单独修，平均每天修210米。现在两队合修，5天正好修完。这条公路全长多少米？ 6．要修一条长5800米的路，已经修了18天，平均每天修250米，还剩下多少米没修？ 7．安装一条长3800米的天然气管道，甲乙两队同时安装，合作完成需要5天，甲队每天可以安装400米，乙队每天可以安装多少米？ 8．一批货物，甲车单独运要10天运完，乙车单独运要15天运完。甲、乙两车合运5天能运完这批货物吗？ 9．某工程队承修一条长2000米的路，4天修了全长的。照这样的速度，修完这条路共需要多少天？ 10．甲、乙两个工人制造同样的机器零件，甲做一个零件用小时，乙做一个零件用小时，谁做的快些？ 11．一列火车从甲地开往乙地，已经行了全程的，距离乙地还有244千米，甲乙两地之间的距离是多少千米？ 12．两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的两端同时向中间开凿，第一队每天开凿16米，第二队每天开凿18米，经过9天正好凿通。这条隧道长多少米？ 13．商店运来120辆自行车．第一天卖出总数的，第二天卖出的辆数相当于第一天的．第二天卖出多少辆？． 14．服装厂接到一批订单，第一车间单独做需要30天完成，第二车间单独做需要20天完成，如果两个车间同时做这批订单，多少天可以完成？ 15．笑笑为参加学校组织的演讲比赛，准备了一篇大约800字的演讲稿，试讲了一遍，刚好5分讲完． （1）如果王倩打字的速度是32字/分，她打完这篇演讲稿需要多少时间？ （2）如果要做一个8分的演讲，按照她讲话的速度，要准备多少字的演讲稿比较合适？ 16．修一条公路，原计划每天修60米，12天修完，实际9天完成了任务，实际每天修了多少米？ 17．甲、乙两个工程队合修一条公路，甲队每天修85米，乙队每天修115米，修了18天，甲乙两队一共修多少米？ 18．修一条长180m的隧道，甲工程队单独修需要30天，乙工程队单独修需要20天，甲、乙两队合修需要多少天修完？ 19．甲、乙两个工程队合作修一段公路，甲队修了全长的后，乙队接着修了15千米，这时正好修了这段公路的一半。这段公路长多少千米？ 20．甲、乙两个工程队合修一段路，甲队每天修86米，乙队每天修95米，15天正好修完．甲队比乙队一共少修多少米？ 21．李师傅要完成650个零件的加工任务，已经加工了5天，剩下的比已经加工的少50个。李师傅平均每天加工零件多少个？ 22．8名园林工人每小时植树32棵，如果再增加这样的4名工人，5小时一共植树多少棵？ 23．修一条路，甲队单独修10天能完成，乙队单独修8天能完成，甲、乙两队合作几天能完成？ 24．修一条1200米长的公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，两队合修多少天可以完成？ 25．一件工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要6天完成.如果甲队和乙队共同做，多少天能完成这件工程的？ 26．张师傅加工一批零件，每天加工140个，加工了5天完成任务，这批零件一共有多少个？ 27．商店运来120台彩电，第一天卖出，第一天卖出的台数正好是第二天的，第二天卖出多少台？ 28．甲乙两地相距420千米，一辆汽车行驶了全程的，行驶了多少千米？ 29．一批零件，甲乙合作12天完成，如果甲先做4天，乙再做9天，正好可以做完这批零件的一半。请问：若单独由乙来做，几天做完这批零件？ 30．一列客车从甲地开往乙地，经调查小时行驶30千米，相当于甲乙两城距离的．甲乙两城相距多少千米？ 1．【答案】见试题解答内容 【思路分析】把原价看作单位“1”，现在降价销售，也就是现价是原价的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答． 【解答】解：440÷（1） ＝440 ＝495（元）， 答：这款移动硬盘原价是495元． 【名师点评】此题属于已知，比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，关键是确定单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答． 2．【答案】见试题解答内容 【思路分析】要求这个修路队平均每天修路多少千米，就要求得这个修路队一共修的长度，根据题意，修了20天，还剩80千米没修完，那么一共修了300﹣80＝220（千米）．因此，平均每天修路220÷20千米，计算即可． 【解答】解：（300﹣80）÷20， ＝220÷20， ＝11（天）； 答：这个修路队平均每天修路11千米． 【名师点评】此题解答的关键是求出这个修路队一共修了多少千米，根据“工作量÷时间＝工作效率”列式解答． 3．【答案】1440米。 【思路分析】把这项工程看作单位“1”，甲、乙两队1天可完成这项工程的（），4天完成这项工程的4×（），还剩这项工程的1。最后根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，即用144，即可求得。 【解答】解：1﹣4×（） ＝1 1441440（米） 答：这条公路总长1440米。 【名师点评】本题的关键是找到144米所对应的分率是多少。 4．【答案】天。 【思路分析】工作效率＝工作总量÷工作时间，两人合作的工作时间＝工作总量÷工作效率和。将工作总量看成单位“1”，分别求出甲和乙的工作效率，代入公式计算即可。 【解答】解：1÷8 1÷10 1÷（） ＝1 （天） 答：两人合做天可以完成这项工程。 【名师点评】此题考查分数除法的应用，掌握工程问题的基本公式是解题的关键。 5．【答案】2800米。 【思路分析】将这条公路全长设为1，由题意可知，两队每天共修，甲队每天修，可以计算出乙队每天修（），正好等于210米，据此解答。 【解答】解：设这条公路全长为1。 1÷8 1÷5 210÷（） ＝210 ＝2800（米） 答：这条公路全长2800米。 【名师点评】本题属于工程问题，解答本题的关键是分析出210米占这条公路全长的几分之几。 6．【答案】1300米。 【思路分析】根据工作量＝工作效率×工作时间，求出18天修了多少米，然后根据求剩余问题的方法，用减法解答。 【解答】解：5800﹣250×18 ＝5800﹣4500 ＝1300（米） 答：还剩下1300米没修。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用。 7．【答案】360米。 【思路分析】根据工作效率和＝工作总量÷工作时间，计算出两队的工作效率和，再用两队的工作效率和减去甲队每天可以安装的长度，计算出乙队每天可以安装多少米。 【解答】解：3800÷5﹣400 ＝760﹣400 ＝360（米） 答：乙队每天可以安装360米。 【名师点评】本题解题的关键是根据工作效率和＝工作总量÷工作时间，列式计算。 8．【答案】不能。 【思路分析】我们把这批货物的总量看作单位“1”，用工作总量除以甲乙的工作效率和可以计算出甲乙合干的天数，然后与5天比较即可。 【解答】解： ＝6（天） 6＞5 答：甲、乙两车合运5天不能运完这批货物。 【名师点评】解答此题的关键是运用“工作总量÷工作效率的和＝工作时间”，列式计算。 9．【答案】5天。 【思路分析】根据题意知道，工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列式解答即可。 【解答】解：设修完这条路共需x天。 （2000）：4＝2000：x 1600x＝8000 x＝5 答：修完这条路共需要5天。 【名师点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，列式解答即可。 10．【答案】见试题解答内容 【思路分析】先比较出用时的多少，再依据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比即可解答． 【解答】解：， ， 因， 所以， 答：乙做的快． 【名师点评】解答本题的关键是明确：工作总量一定，工作时间和工作效率成反比． 11．【答案】见试题解答内容 【思路分析】把甲乙两地之间的距离看成单位“1”，已经行驶了全程的，还剩下全程的（1），它对应的数量是244千米，根据分数除法的意义，用244千米除以（1）即可求出甲乙两地之间的距离． 【解答】解：244÷（1） ＝244 ＝610（千米） 答：甲乙两地之间的距离是610千米． 【名师点评】本题先找出单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法求解． 12．【答案】306米。 【思路分析】第一队每天开凿的长度×开凿的天数+第二队每天开凿的长度×开凿的天数＝这条隧道的总长度，依此列式并根据乘法分配律的特点进行简算。 【解答】解：16×9+18×9 ＝（16+18）×9 ＝34×9 ＝306（米） 答：这条隧道长306米。 【名师点评】此题考查的是工程问题的计算，应用乘法分配律的特点进行计算更加简便。 13．【答案】见试题解答内容 【思路分析】求出第一天卖出的数量，再乘上，就是第二天卖出的数量．据此解答． 【解答】解：120， ＝40， ＝35（辆）； 答：第二天卖出35辆． 【名师点评】本题主要考查了求一个数的几分之几是多少，用乘法计算． 14．【答案】12天。 【思路分析】把这批订单的总任务看作单位“1”，则第一车间的工作效率是，第二车间的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率和，求出两个车间同时做这批订单，多少天可以完成。 【解答】解： ＝12（天） 答：12天可以完成。 【名师点评】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，利用工作时间＝工作总量÷工作效率和，求出完成的时间。 15．【答案】见试题解答内容 【思路分析】（1）根据工作时间＝工作量÷工作效率，用这篇演讲稿的字数除以王倩打字的速度，求出她打完这篇演讲稿需要多少时间即可． （2）首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，用这篇演讲稿的字数除以5，求出笑笑讲话的速度是多少；然后用它乘8，求出要准备多少字的演讲稿比较合适即可． 【解答】解：（1）800÷32＝25（分钟） 答：她打完这篇演讲稿需要25分钟． （2）800÷5×8 ＝160×8 ＝1280（字） 答：按照她讲话的速度，要准备1280字的演讲稿比较合适． 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 16．【答案】80米。 【思路分析】这条公路长度一定，可以列反比例算式解答。 【解答】解：设实际每天修了x米，得： 9x＝60×12 9x÷9＝720÷9 x＝80 答：实际每天修了80米。 【名师点评】解答本题还可以按原计划每天修的米数和计划用的时间先求出路全长，再求实际每天修的米数。 17．【答案】3600米。 【思路分析】先用甲队每天修的长度加上乙队每天修的长度，求出两个队一天合修多少米，再用合修的长度乘上修的时间18天，据此即可求解。 【解答】解：（85+115）×18 ＝200×18 ＝3600（米） 答：甲乙两队一共修3600米。 【名师点评】本题先求出工作效率和，再根据工作总量＝工作效率和×工作时间进行求解。 18．【答案】12天。 【思路分析】把这条隧道的全长看作单位“1”，甲工程队单独修需要30天，平均每天完成这条公路的，乙工程队单独修需要20天，平均每天完成这条公路的，根据合作的时间＝工作总量÷工作效率和，列式解答即可。 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝12（天） 答：甲、乙两队合修需要12天修完。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用。 19．【答案】50千米。 【思路分析】把“这段公路”看作单位“1”，由“甲队修了全长的后，乙队接着修了15千米，这时正好修了这段公路的一半”可知乙队接着修的15千米占这段公路的（），根据单位“1”的量＝对应量÷对应分率，解答即可。 【解答】解：15÷（） ＝15 ＝50（千米） 答：这段公路长50千米。 【名师点评】解答此题的关键是先要明确15千米占这段公路的几分之几，进而根据公式：单位“1”的量＝对应量÷对应分率，解答本题。 20．【答案】见试题解答内容 【思路分析】由“甲队每天修86米，乙队每天修95米”可求得甲队比乙队每天少修95﹣86＝9（米），然后乘15，就是15天甲队比乙队一共少修的米数，据此解答． 【解答】解：（95﹣86）×15 ＝9×15 ＝135（米） 答：甲队比乙队一共少修135米． 【名师点评】先求出甲队比乙队每天少修的米数，是解答此题的关键． 21．【答案】70个。 【思路分析】零件的总个数加上50，即是已经加工的零件个数的2倍，据此求出已经加工的零件个数，然后根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用已经加工的零件的个数除以加工的时间，求出李师傅平均每天加工零件个数。 【解答】解：（650+50）÷2 ＝700÷2 ＝350（个） 350÷5＝70（个） 答：李师傅平均每天加工零件70个。 【名师点评】此题主要考查工作总量、工作效率、工作时间三者的关系式：工作总量＝工作效率×工作时间，灵活变形列式解决问题。 22．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据“8名园林工人每小时植树32棵”，可求出1名工人1小时能植树的棵数数；再求出（8+4）名工人5小时植树多少棵． 【解答】解：32÷8×（8+4）×5 ＝4×12×5 ＝12×20 ＝240（棵） 答：再增加这样的4名工人，5小时一共植树240棵． 【名师点评】本题关键求出1名工人1小时的工作效率，然后运用工作效率×工作时间＝工作总量，由此进行解答即可． 23．【答案】天 【思路分析】根据已知条件“甲队单独修10天能完成，乙队单独修8天能完成”可知甲的工作效率是，乙的工作效率是，求甲、乙两队合作几天能完成，根据公式：工作时间＝工作总量÷甲、乙两队的工作效率之和，据此解答。 【解答】解：1÷（） ＝1 （天） 答：甲、乙两队合作天能完成。 【名师点评】此题考查了的目的是理解掌握工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系。 24．【答案】13天。 【思路分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲对、乙队平均每天的工作效率，然后根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答即可。 【解答】解：1200÷（1200÷24+1200÷30） ＝1200÷（50+40） ＝1200÷90 ＝13（天） 答：两队合修13天可以完成。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用，关键是明确：合作的时间＝工作量÷工作效率和。 25．【答案】3。 【思路分析】把这件工程看作单位“1”，甲队单独做需要8天完成，平均每天完成这件工程的；乙队单独做需要6天完成，平均每天完成这件工程的；根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，列式解答即可。 【解答】解：（） ＝3（天） 答：3天能完成这件工程的。 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用。 26．【答案】700个。 【思路分析】用每天加工零件的个数乘加工的天数，可以计算出这批零件一共有多少个。 【解答】解：140×5＝700（个） 答：这批零件一共有700个。 【名师点评】本题解题关键是根据乘法的意义列式计算，熟练掌握一位数乘三位数的计算方法。 27．【答案】见试题解答内容 【思路分析】的单位“1”是彩电的总台数，即120台，根据分数乘法的意义，求出第一天卖的台数；的单位“1”是第二天卖的台数，是要求的结果，根据分数除法的意义，即可求出第二天卖出的台数． 【解答】解：120 ＝30 ＝36（台）； 答：第二天卖出36台． 【名师点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题． 28．【答案】见试题解答内容 【思路分析】甲乙两地相距420千米，一辆汽车行驶了全程的 ，意思是已经行驶的路程占总路程的，把总路程看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答． 【解答】解：420300（千米）， 答：行驶了300千米． 【名师点评】此题属于求一个数的几分之几是多少，根据一个数乘分数的意义，用乘法解决问题． 29．【答案】30天。 【思路分析】把加工这批零件的总量看作单位“1”，则甲乙的工作效率和是，甲先做4天，乙再做9天可以看作甲乙合作4天，乙再工作5天，刚好完成的工作总量的一半，用甲乙的工作效率和乘4，可以计算出甲乙合作4天完成的工作量，再用减去甲乙合作4天完成的工作量，可以计算出乙队5天完成的工作量，然后根据工作效率＝工作总量÷工作时间，计算出乙队的工作效率，最后用工作总量除以乙队的工作效率，计算出若单独由乙来做，几天做完这批零件。 【解答】解：（）÷（9﹣4） 130（天） 答：若单独由乙来做，30天做完这批零件。 【名师点评】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，理解：甲先做4天，乙再做9天可以看作甲乙合作4天，乙再工作5天，刚好完成的工作总量的一半，再根据工作效率、工作总量、工作时间之间的关系，列式计算。 30．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据小时行驶30千米，相当于甲乙两城距离的，可得甲乙两地距离的是30千米，要求甲乙两城相距多少千米，根据分数除法的意义，用30除以即可． 【解答】解：30108（千米） 答：甲乙两城相距108千米． 【名师点评】此题主要考查了行程问题，解答此题的关键是灵活应用分数除法的意义． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$