第1单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

第1单元长方体和正方体讲义-数学六年级上册苏教版 高频考点梳理 长方体和正方体的特征： 形体 面 顶点 棱 关系 长方体 6个 至少4个面是长方形 相对面 完全相同 8个 12 条 相对的棱 长度相等 正方体 是特殊 的长方 体 正方体 6个 正方形 6个面完全相同 8个 12 条 12条棱长度都相等 长方体和正方体的表面积： 概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积 计算公式： 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6 注：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。 体积（容积）单位进率换算： 1立方米=1000立方分米        1立方分米=1000立方厘米 1m³=1000dm³      1dm³=1000cm³           1升=1000毫升           1立方分米=1升      1立方厘米=1毫升 1L=1000mL                   1dm³=1L              1cm³=1mL 长方体和正方体的体积（容积）： 概念：物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积）。 计算公式： 长方体体积公式=长×宽×高 正方体体积公式=棱长×棱长×棱长 长方体和正方体的体积=底面积×高 清易错 1．下图是一个无盖长方体纸盒的部分展开图，在方格纸中将其余的面画完整。如果每个小方格的边长表示1厘米，做这样一个纸盒需要卡纸（    ）平方厘米。 【答案】图见详解 52 【分析】根据长方体的展开图，相邻的面不相对，相对的面中间隔一个画图即可；由图可知，长方体的长为5厘米，宽是2厘米，高是3厘米，根据无盖长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2解答即可。 【详解】如下图： （图形不唯一） 5×2＋（5×3＋2×3）×2 ＝10＋（15＋6）×2 ＝10＋21×2 ＝10＋42 ＝52（平方厘米） 所以做这样一个纸盒需要卡纸52平方厘米。 2．爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图），从外面量，水槽长3.2米，宽2.2米，高1.6米，水槽四周和底面的混凝土厚0.1米。这个水槽的容积是多少升？    【答案】9000升 【分析】容积表示容器所能容纳物体的体积，先求出水槽里面的长、宽、高；水槽里面的长是（3.2－0.1×2）米，宽是（2.2－0.1×2）米，高是（1.6－0.1）米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出容积，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（3.2－0.1×2）×（2.2－0.1×2）×（1.6－0.1） ＝（3.2－0.2）×（2.2－0.2）×1.5 ＝3×2×1.5 ＝6×1.5 ＝9（立方米） 9立方米＝9000升 答：这个水槽的容积是9000升。 精选好题 一、选择题 1．下面物体的体积大约是500立方厘米的是（    ）。 A．一台家用冰箱 B．一台70寸的电视 C．一粒黄豆 D．一个铅笔盒 2．用12个棱长1厘米的小正方体摆成一个长方体，一共能摆出（    ）种不同的长方体。 A．2 B．3 C．4 D．6 3．一个长方体木块（如图），6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的60个小立方体，其中由一个面是红色的小立方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．22 D．24 4．如果一个长方体的长、宽、高都乘2，那么表面积要乘（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 5．一根铁丝长96厘米，正好可以围成一个长9厘米，宽4厘米，高（    ）厘米的长方体。 A．11 B．19 C．35 D．48 6．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量，长6分米，宽5分米，高3分米。在鱼缸里注入60升水，水面离缸口（    ）分米。 A．4 B．2 C．1 D．0 二、填空题 7．填上合适的单位。 一瓶矿泉水约500( )    一台冰箱的容积约210( ) 8．我会填。 1立方米＝( )立方分米      1立方分米＝( )立方厘米      1升＝( )毫升 9．正方体的棱长是3dm，它的棱长总和是( )。 10．一个长方体长a厘米，宽b厘米，高c厘米，如果它的高增加2厘米，那么表面积与原来相比，增加了( )平方厘米。 11．张刚用铁丝制作一个长是6cm，宽是4cm，高是5cm的长方体框架，最少需要铁丝( )cm，如果给这个长方体框架表面贴上包装纸，至少需要( )cm2的包装纸。 12．把2米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加4.8平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 三、判断题 13．如果把一个长方体切开正好切成两个正方体，那么，这个长方体有四个面是正方形。( ) 14．正方体的六个面面积一定相等。( ) 15．一个立体图形，从一个面看到的是正方形，它一定是一个正方体。( ) 16．一个纸杯装满水后，杯里水的体积就是纸杯的容积。( ) 17．至少要8个小正方体才能堆成一个较大的正方体。( ) 四、计算题 18．求下面图形的表面积。 五、解答题 19．一个长方体铁皮饼干盒，长2分米，宽1.5分米，高1.2分米，做这个饼干盒至少需要铁皮多少平方分米？ 20．用一根180厘米的铁丝围成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？它的一个面的面积是多少平方厘米？ 21．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 22．测量不规则物体体积时，可以把该物体放进盛有水的长方体容器里测量。一个长方体容器长10厘米，宽8厘米，高9厘米，里面水的高度是6厘米，现把一个马铃薯放进去后完全沉没于水中，这时水面高度是8厘米，这个马铃薯的体积是多少立方厘米？ 23．贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C B A C 1．D 【分析】根据对体积单位和容积单位的理解，并结合实际，可以得出：一台家用冰箱的体积大约为500升；一台70寸电视的体积大约是5000立方厘米；一粒黄豆的体积大约是1立方厘米；一个铅笔盒的体积大约是500立方厘米；由此解答即可。 【详解】上面物体的体积大约是500立方厘米的是一个铅笔盒。 故答案为：D 【点睛】灵活掌握体积单位和容积单位的大小，是解答此题的关键。 2．C 【分析】用12个棱长1厘米的小正方体摆成大长方体，可以摆成第一种：12个小正方体摆成一排；长是1厘米，宽是1厘米，高是12厘米；第二种：可摆成：长是6厘米，宽是2厘米，高是1厘米；第三种：可摆成：长是3厘米，宽是1厘米，高是4厘米；第四种：可摆成：长是2厘米，宽是2厘米，高是3厘米，一共有4种不用摆法，据此解答。 【详解】根据分析可知，用12个棱长1厘米的小正方体摆成一个长方体，一共能摆成4种不同的长方体。 故答案选：C 【点睛】根据长方体的特征，找出不同的摆法，每种所摆成的长方体的长、宽和高是解答本题的关键。 3．C 【分析】将长方体切成大小相等的60个小立方体，每个面除了棱上的小正方体，剩下中间的小正方体都是一个面涂色的小正方体。长方体前后面一个面涂色的小正方体有3×2＝6（个），长方体左右面一个面涂色的小正方体有2×2＝4（个），长方体上下面一个面涂色的小正方体有6×2＝12（个），那么一个面是红色的小立方体一共有（6＋4＋12）个，据此解答。 【详解】长方体前后面一个面涂色的小正方体：3×2＝6（个） 长方体左右面一个面涂色的小正方体：2×2＝4（个） 长方体上下面一个面涂色的小正方体：6×2＝12（个） 6＋4＋12＝22（个） 一个面是红色的小立方体有22个。 故答案为：C 4．B 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，以及积的变化规律可知，一个长方体的长、宽、高都乘2，那么表面积就扩大到原来的（2×2）倍，据此解答。 【详解】2×2＝4 如果一个长方体的长、宽、高都乘2，那么表面积要乘4。 故答案为：B 【点睛】本题考查长方体的表面积公式以及积的变化规律的应用。 5．A 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，即h＝L÷4－a－b，用96除以4，再减去9厘米和4厘米即可求解。 【详解】96÷4－9－4 ＝24－9－4 ＝15－4 ＝11（厘米） 则高为11厘米。 故答案为：A 6．C 【分析】先计算鱼缸的容积即长×宽×高，鱼缸的容积减去注入水的体积就是水面离缸口的容积，再根据长方体的高＝容积÷长÷宽，计算水面离缸口的距离。 【详解】60升＝60（立方分米） 6×5×3＝90（立方分米） 90－60＝30（立方分米） 30÷6÷5＝1（分米） 水面离缸口1分米。 故答案为：C 7． 毫升/mL 升/L 【分析】1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶矿泉水的体积用“毫升”作单位比较合适； 容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，2瓶矿泉水的容积大约是1升，结合单位前的数据，所以计量一台冰箱的容积用“升”作单位比较合适。 【详解】一瓶矿泉水约500毫升； 一台冰箱的容积约210升。 8． 1000 1000 1000 【分析】对于体积单位的换算：1立方米是棱长为1米的正方体的体积，1米等于10分米，那么这个正方体的体积换算成立方分米就是10×10×10＝1000立方分米，所以1立方米＝1000立方分米。同理，1立方分米是棱长为1分米的正方体的体积，1分米等于10厘米，其体积换算成立方厘米就是10×10×10＝1000立方厘米，所以1立方分米＝1000立方厘米。对于容积单位的换算：1升和1毫升都是常用的容积单位，1升等于1000毫升。 【详解】1立方米＝1000立方分米。 1立方分米＝1000立方厘米。 1升＝1000毫升。 9．36dm/36分米 【分析】正方体的棱长之和＝棱长×12，把题中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】3×12＝36（dm） 所以，这个正方体的棱长之和是36dm。 【点睛】掌握正方体的棱长之和计算公式是解答题目的关键。 10．4a＋4b 【分析】长方体的高增加2厘米后，增加的表面积实际上是一个长方体长a厘米，宽b厘米，高为2厘米的四个侧面的面积，即两个长为a厘米，宽为2厘米的长方形和两个长为b厘米，宽为2厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出表面积增加了多少平方厘米，据此解答。 【详解】a×2×2＋b×2×2＝（4a＋4b）平方厘米 即增加了（4a＋4b）平方厘米。 11． 60 148 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此可求出铁丝的长度；再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此可求出包装纸的面积。 【详解】（6＋4＋5）×4 ＝15×4 ＝60（cm） （6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（cm2） 则最少需要铁丝60cm，如果给这个长方体框架表面贴上包装纸，至少需要148cm2的包装纸。 12．24 【分析】通过观察可知，把2米的长方体材料平均锯成3段，表面积增加了4个面的面积，已知表面积比原来增加4.8平方分米，用4.8÷4即可求出每个增加面的面积；根据长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，先把2米化为20分米，再代入数据解答。 【详解】4.8÷4＝1.2（平方分米） 2米＝20分米 1.2×20＝24（立方分米） 原来这根木料的体积是24立方分米。 13．× 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等；正方体：有6个面，每个面都由正方形组成；据此解答。 【详解】由分析可得：一般情况，在长方体中6个面都是长方形，在特殊情况下，有两个相对的面是正方形，所以原题说法错误。 故答案为：× 14．√ 【详解】根据正方体的特征，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，因此正方体的六个面的面积都相等。 例如：棱长为3厘米的正方体，它的每个面都是边长为3厘米的正方形，所以它的六个面的面积相等，都是： 3×3＝9（平方厘米） 原题干说法正确。 故答案为：√ 15．× 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形； 正方体有6个面，6个面都是正方形，据此判断。 【详解】 根据长方体和正方体的特征可知，一个立体图形，从一个面看到的是正方形，这个立体图形可能是正方体也可能是长方体，原题说法错误。 故答案为：× 16．√ 【分析】容积是指物体所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，据此分析。 【详解】一个纸杯装满水后，杯里水的体积就是纸杯的容积，说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】将若干个小正方体，摆成一个大正方体，那么这个正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，由此即可计算得出小正方体的总个数，据此判断即可。 【详解】根据正方体的特征，大正方体每条棱上的小正方体个数相等，那么这个大正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，也就是说至少需要个小正方体才能拼成一个大正方体，本题说法正确。 故答案为：√ 18．360cm2； 384cm2 【分析】第一个图形是长方体，这个长方体有两个面是正方形，其他四个面都是面积相等的长方形，表面积＝左右两个面的面积＋上下前后面的面积＝正方形面积×2＋一个长方形面积×4。第二个图形是正方体，正方体的表面积＝棱长×棱长×6。 【详解】12×6×4＋6×6×2 ＝288＋72 ＝360（cm2） 长方体的表面积是360cm2。 8×8×6＝384（cm2） 正方体的表面积是384cm2。 19．14.4平方分米 【分析】求铁皮的面积就是求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。 【详解】（2×1.5＋2×1.2＋1.5×1.2）×2 ＝（3＋2.4＋1.8）×2 ＝7.2×2 ＝14.4（平方分米） 答：做这个饼干盒至少需要铁皮14.4平方分米。 20．15厘米；225平方厘米 【分析】用铁丝围成正方体，这根铁丝就是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，正方体的棱长＝棱长总和÷12，正方体的每个面都是正方形，再根据，边长就是棱长，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） 答：这个正方体的棱长是15厘米？它的一个面的面积是225平方厘米。 21．25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【详解】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 22．160立方厘米 【分析】根据题意，把一个马铃薯浸没在一个有水的长方体容器里，水的高度由6厘米变成8厘米，水面上升了（8－6）厘米，则水上升部分的体积就是这个马铃薯的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个马铃薯的体积。 【详解】10×8×（8－6） ＝10×8×2 ＝160（立方厘米） 答：这个马铃薯的体积是160立方厘米。 23． 1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 【详解】 （厘米） （立方厘米） 答：原来每个小正方体的体积是1000立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$