第一单元 长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 板块一：考点精讲 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 板块二：高频考点 一、选择题 1．一个正方体如图，切掉一个长方体，剩下的表面积与原来的表面积比较（    ）。 A．原来大 B．现在大 C．不变 2．把棱长为2厘米的正方体放入长25厘米，宽8厘米，高7厘米的长方体木盒中，最多可放（    ）个。 A．175 B．144 C．150 3．是一个正方体的展开图，1的对面是（    ）。 A．4 B．3 C．6 4．一个长方体是长8厘米，宽是6厘米，高是4厘米，它的棱长和是（　　）厘米． A．18 B．36 C．72 5．妈妈网购的海鲜是用长方体泡沫保温箱包装的。小明测量了保温箱外表面的长、宽、高分别是34厘米、22厘米、18厘米，泡沫箱厚2厘米。这个泡沫保温箱的容积是（    ）升。 A．7.56 B．10.24 C．13.464 6．有一个长方体的左、右两面是正方形，其他各面的面积之和是60分米2，它的占地面积是（    ）分米2。 A．16 B．15 C．14 7．把一个棱长8厘米的正方体切成大小相等的2个长方体，表面积一共增加(    )平方厘米． A．64 B．128 C．16 8．3个小正方体并排摆在空地上，露在外面的面有（ ） A．3个 B．9个 C．11个 二、填空题 9．在括号里填上合适的单位． （1）一台冰柜的容积是200( ) （2）一袋食盐重500( ) （3）一部手机的体积是30( ) （4）6.3立方米=6300( ) 10．长方体和正方体都有( )个顶点，有( )条棱，有( )个面．( )是特殊的长方体． 11．一个正方体，棱长是12分米，它的棱长总和是( )分米，它的表面积是( )，它的体积是( )． 12．小明用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积( )． 13．下图是一个正方体的展开图，折成正方体后与数字1所在的面相邻的四个面上的数字之和是( )。 14．一个正方体的棱长之和是6分米，这个正方体的棱长是( )分米。 15．把8个棱长都是2cm的正方体拼成一个大的正方体，这个正方体的表面积是( )cm2。 16．一个长方体纸盒（如图），它的上下两个面都是边长为5分米的正方形。沿着一条高剪开后，侧面展开图是一个正方形，这个纸盒的容积是( )立方分米。 三、判断题 17．一个正方体的棱长为2厘米，则它的棱长总和与表面积相等。( ) 18．一个正方体的棱长是6米，它的表面积和体积相等．( ) 19．一根木料长2米，横截面是边长3分米的正方形，截成两段后表面积比原来增加18平方分米。( ) 20．如果一个正方体的棱长扩大（缩小）3倍，表面积扩大（缩小）9倍，体积扩大（缩小）27倍．( ) 21．如图，在一个从里面量长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，最多可以放24个棱长为2分米的小正方体木块。( ) 22．一个长方体蓄水池长8米、宽4米、深2米，这个蓄水池的占地面积是32平方米。( ) 23．正方体的棱长扩大5倍，它的体积就扩大15倍　　　　( ) 24．一个长方体相邻的2个面是正方形，这个长方体一定是正方体。( ) 四、解答题 25．用60根同样的方木，堆成一个长2米，宽1.5米，高1.2米的长方体．平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？ 26．一个长方体的体积是280立方厘米。已知它的底面积是56平方厘米，这个长方体的高是多少？（列方程解） 27．有甲、乙两个书架共有820本书。已知甲的本数是乙的本数的3倍。求乙书架有多少本书？ 28．网购已经成为大家生活中常用的购物方式之一，为了防止物品破损，每个快递的包装都很严实。一个长、宽、高分别是75厘米、50厘米和42厘米的长方体快递箱，要在它的所有棱上粘一层透明的胶带，至少需要多少厘米长的胶带？ 29．用厚0.1分米的木块做成一个无盖小木盒笔筒，从外面量它的长和宽都是1分米，高2分米。求这个小木盒的容积。 30．东方小学有一个长8米、宽2.5米、深0.4米的长方体沙坑．如果要用黄沙把这个沙坑填满，至少需要黄沙多少吨？（每立方米黄沙重1.5吨） 31．一只无盖的长方形玻璃鱼缸，长0.4米，宽25米，深0.3米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？ 32．学校操场新建了一个长方体的沙坑，长5米，宽1.8米，深0.5米。 （1）在沙坑的侧面和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）现在要往沙坑里填0.4米厚的沙子，需要沙子多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C A B B C 1．C 【分析】将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，据此判断即可。 【详解】据分析可知：一个正方体如图，切掉一个长方体，剩下的表面积与原来的表面积比较，一样大； 故选：C。 【点睛】明确切掉一个长方体前后对应几何体的表面积是解决本题的关键。 2．B 【分析】首先求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，进而求出可以放的个数。据此解答即可。 【详解】25÷2＝12（个）……1（厘米） 8÷2＝4（个） 7÷2＝3（个）……1（厘米） 12×4×3 ＝48×3 ＝144（个） 即最多可以放144个。 故答案为：B 【点睛】此题解答关键是求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层。 3．A 【分析】根据正方体的展开图特征，相对的面：上下隔一行，左右隔一列，据此可知1与4相对，2与6相对，3与5相对。 【详解】1的对面是4。 故答案为：A 【点睛】本题考查正方体的展开图，解答本题的关键是掌握正方体的展开图特征。 4．C 【详解】试题分析：根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，由此解答． 解：（8+6+4）×4， =18×4， =72（厘米）， 答：它的棱长和是72厘米． 故选C． 点评：此题考查的目的是掌握长方体的特征以及棱长总和的计算方法． 5．A 【分析】求出泡沫保温箱的内部长，宽，高是多少厘米，用外面表面的长－2×2，求出内部的长，用外面表面的宽－2×2，求出内部的宽，再用外部的高－2×2，求出内部的高，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，再根据体积和容积之间的关系，转换单位即可。 【详解】（34－2×2）×（22－2×2）×（18－2×2） ＝（34－4）×（22－4）×（18－4） ＝30×18×14 ＝540×14 ＝7560（立方厘米） 7560立方厘米＝7.56升 妈妈网购的海鲜是用长方体泡沫保温箱包装的。小明测量了保温箱外表面的长、宽、高分别是34厘米、22厘米、18厘米，泡沫箱厚2厘米。这个泡沫保温箱的容积是7.56升。 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键是求出保温箱内部的长、宽和高的长度；注意单位名数的换算。 6．B 【分析】长方体的左、右两面是正方形，则长方体上、下、前、后面的面积相等；由此求出长方体的底面积（占地面积）即可。 【详解】60÷4＝15（平方分米） 故答案为：B 【点睛】理解“长方体的左、右两面是正方形时，长方体上、下、前、后面的面积相等”是解题的关键。 7．B 8．C 【详解】解：6×3﹣（3+4）=11（个）．  故选C． 3个小正方体并排摆在空地上，正方体之间有4个面被挡住，有3个面贴着地面，共7个面看不见． 所以露在外面的面有18﹣7=11（个）． 9． 升 克 立方厘米 立方分米 【详解】解：(1) 一台冰柜的容积是200升；(2)一袋食盐重500；(3)一部手机的体积是30立方厘米；(4)6.3立方米=6300立方分米；(4)1立方米=1000立方分米，6.3立方米=6300立方分米．根据生活经验、对质量、体积单位和数据大小的认识，可知袋食盐重500“克”做单位；一台冰柜的容积是200升”做单位；据此得解．根据情景选择合适的计量单位．此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择． 10． 8 12 6 正方体 11． 144 864平方分米 1728立方分米 12．不变 【详解】试题分析：体积是指物体所占空间的大小，所以橡皮泥所占空间的大小等于所捏成的正方体所占空间的大小，也等于所捏成的长方体所占空间的大小，即橡皮泥的体积等于捏成的正方体积，等于所捏成的长方体的体积，据此解答． 解：体积是指物体所占空间的大小，所以橡皮泥的体积=捏成的正方体的体积=捏成的长方体的体积． 13．16 【分析】根据正方体的展开图可知，与数字1所在的面相对的面上的数字是4，那么其它四个面就是与1相邻的面，据此解答。 【详解】由分析可知，与字1所在的面相邻的四个面上的数字分别是2、3、5、6，它们的和是2＋3＋5＋6＝16。 【点睛】此题考查了正方体的展开图，先找出数字1所在的面的相对面是解题关键。 14．0.5 【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等。用正方体的棱长总和除以12就是它的棱长，据此列式解答。 【详解】6÷12＝0.5（分米） 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．96 【分析】把8个棱长都是2cm的正方体拼成一个大的正方体，大正方体的棱长是2×2＝4厘米，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【详解】2×2＝4（厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 【点睛】本题考查了正方体的特征和表面积，正方体有6个面，都是完全一样的正方形。 16．500 【分析】长方体侧面展开图的正方形边长等于长方体的高也等于长方体的底面周长，根据“正方形的周长＝边长×4”求出纸盒的高，并利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个纸盒的容积，据此解答。 【详解】5×5×（5×4） ＝5×5×20 ＝25×20 ＝500（立方分米） 所以，这个纸盒的容积是500立方分米。 【点睛】掌握长方体的侧面展开图特征和长方体的体积（容积）计算公式是解答题目的关键。 17．× 【分析】正方体的表面积是指正方体6个面的面积之和；棱长总和指的是12条棱的长度之和，它们不是同类量，无法进行比较，据此判断。 【详解】棱长是2厘米的正方体，它的表面积与棱长总和无法比较。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了棱长总和和表面积的认识，解题关键是明确不是同一类的量，不能比较。 18．× 【详解】试题分析：（1）意义不同，正方体的表面积是指组成正方体所有面的总面积，而正方体的体积是指正方体所占空间的大小； （2）计算方法不同，表面积=a×a×6，而体积=a×a×a； （3）计量单位不同，表面积用面积单位，而体积用体积单位． 解答：解：正方体的表面积和体积意义不同，计算方法不同，计量单位不同，无法进行比较； 故答案为×． 点评：此题考查对表面积和体积的意义，计算方法，计量单位都不相同，无法进行比较． 19．√ 【分析】把木料截成两段后表面积比原来增加两个横截面的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，据此判断即可。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 则截成两段后表面积比原来增加18平方分米。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确截成两段后表面积比原来增加两个横截面的面积是解题的关键。 20．√ 21．√ 【分析】已知要在一个从里面量长8分米、宽5分米、高6分米的木盒内，放入棱长为2分米的小正方体木块；可分别用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，得数表示沿着长、宽、高分别能摆几个小正方体，有余数就说明还有多余的空间，但是不能再放下1个了；再把商相乘，得到最多可以放入几个小正方体。 【详解】8÷2＝4（个） 5÷2＝2（个）……1（个） 6÷2＝3（个） 4×2×3 ＝8×3 ＝24（个） 最多能放入24个棱长为2分米的小正方体木块，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】不能用长方体的容积直接除以小正方体的体积，这样就忽略了不够摆1个小正方体的情况。 22．√ 23．× 【详解】棱长扩大5倍，体积扩大125倍.故答案为×. 24．√ 【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，6个面是完全相同的正方形，正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体．据此判断即可。 【详解】如果一个长方体的相邻的两个面都是正方形，那么这个长方体的长、宽、高一定相等，所以这个长方体一定是正方体。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，明确：正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 25．0.06立方米；60立方分米 【详解】2×1.5×1.2÷60=0.06（立方米）=60（立方分米） 26．5厘米 【分析】设长方体的高是x厘米，根据长方体的体积公式：v＝sh，列出方程解决问题。 【详解】解：设长方体的高是x厘米，根据长方体的体积公式可得： 56x＝280， x＝5 答：长方体的高是5厘米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活应用。 27．205 【分析】根据题意，设乙书架有x本书，那么甲书架就有3x本数，甲书架书的本数＋乙书架书的本数＝820，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙书架有x本书。 x＋3x＝820 4x＝820 x＝205 答：乙书架有205本书。 【点睛】此题考查用方程解决实际问题的能力，一般情况下把1倍量设为未知数，找出等量关系解答即可。 28．668厘米 【分析】由题意知：本题就是求长方体快递箱所有的棱长总和。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式解答即可。 【详解】（75＋50＋42） ×4 ＝167×4 ＝668（厘米） 答：至少需要668厘米长的胶带。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体棱长总和公式。 29．1.216立方分米 【分析】求小木盒的容积，需要知道小木盒内部的长、宽和高，其中内部的长和宽，需要用外部的长和宽减去厚度的2倍，高减去厚度即可，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】（1－0.1×2）×（1－0.1×2）×（2－0.1） ＝0.8×0.8×1.9 ＝0.64×1.9 ＝1.216（立方分米） 答：这个小木盒的容积是1.216立方分米。 【点睛】此题考查了容积计算，注意内部的长、宽和高分别需要减去几个厚度。 30．12吨 【详解】8×2.5×0.4×1.5=12(吨) 31．25.24平方米 【分析】由于鱼缸是无盖的，所以这个长方体的表面积只求5个面即可，根据长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。 【详解】0.4×25＋（0.4×0.3＋25×0.3）×2 ＝10＋（0.12＋7.5）×2 ＝10＋7.62×2 ＝10＋15.24 ＝25.24（平方米） 答：做这只鱼缸至少需要用玻璃25.24平方米。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。 32．（1）15.8平方米； （2）3.6立方米 【分析】（1）由题意可知：抹水泥部分的面积等于长方体沙坑前、后、左、右四个侧面的面积和加上一个底面的面积，即（长×高＋宽×高）×2＋长×宽。所以求抹水泥部分的面积列式为（5×0.5＋1.8×0.5）×2＋5×1.8。 （2）长方体的体积＝长×宽×高，把长5米，宽1.8米，高0.4米代入长方体体积公式计算即可求出沙子的体积。 【详解】（1）（5×0.5＋1.8×0.5）×2＋5×1.8 ＝（2.5＋0.9）×2＋9 ＝3.4×2＋9 ＝6.8＋9 ＝15.8（平方米） 答：抹水泥部分的面积是15.8平方米。 （2）5×1.8×0.4 ＝9×0.4 ＝3.6（立方米） 答：需要沙子3.6立方米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$