1.3一元二次方程的根与系数的关系复习讲义-　　 2024—2025学年苏科版数学九年级上册

1.3一元二次方程的根与系数的关系复习讲义-数学九年级上册苏科版 知识梳理 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 典例分析 1．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)，且（n为正整数） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)设此方程的两个实数根分别为，，若为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或4或6 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根；④． （1）根据根的判别式，即可证明出方程总有实数根； （2）利用根与系数关系求出，从而列出关于的式子，根据为整数即得出结果． 【详解】（1）证明：． 无论为何实数，总有；即：， 一元二次方程总有实数根． （2）解：据一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 为整数，且为整数． ，， 或2或6或0． 又， 或4或6． 精选好题 一、单选题 1．关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 2．已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-2 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 4．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 5．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 6．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知2是方程的一个根，则另一根为 10．设、是关于x的方程的两个根，则 ． 11．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 12．关于x的方程有两个乘积为1的实数根，方程有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是 ． 13．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 ． 14．若m、n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ． 15．已知：关于x的方程①有两个符号不同的实数根，且；关于x的方程②有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值 ． 16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为 ． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 18．已知关于x的方程有两个实数根，，其中，m为整数． (1)若，求的值； (2)边长为整数的直角三角形，其中两边的长度恰好为和，求该直角三角形的两直角边长． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)设，是方程的两个根，求的值． 20．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 21．对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 22．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D B C A B 1．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 2．B 【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个根为， 根据题意，得， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：D 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选D． 5．B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③∵， ∴方程的根为， ∴，， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 8．B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入等式中，求出实数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 9．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为m，由题意得，，解方程即可得到答案；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由题意得，， ∴， ∴方程另一根为3， 故答案为；3． 10．5 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：根据根与系数的关系得． 故答案为：5 11． 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，代入，求解即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12． 【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求得m的值，利用因式分解法求得方程的解，根据方程的解的范围求得a的范围是解决本题的关键．先利用两根之积为1与根的判别式求得m的值，把方程化简后，求得其两根，再由方程有一个大于0且小于4的实数根，求得a的整数值． 【详解】解：关于x的方程有两个乘积为1的实数根， 即 ， 解得， ∵方程有两个实根， ∴， 解得， ∴； 则方程就是， 即， 解得， ∵方程有一个大于0且小于4的实数根， ∴得到， 解得 ， ∴a的整数值是． 故答案为：． 13．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2． 14．2 【分析】本题考查一元二次方程的解与根与系数的关系，根据一元二次方程的解得出，，继而得到，，再根据根与系数的关系得到，，再代入化简即可得解，利用一元二次方程的解将原式化简从而利用根与系数的关系求解是解题的关键． 【详解】解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案是：2． 15．5或/或5 【分析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式、解二元一次方程组，根据①确定的取值范围，根据②利用根于系数的关系求出的值，根据方程有两个有理数根，得到，得到的二元一次方程组，求解即可．解题关键在于确定m的取值，然后分析出关于n和k的二元一次方程组． 【详解】解：∵有两个符号不同的实数根，且； ∴， 解得：； ∵的两根之积等于2， ∴，解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解； ∴转化为：， ∵方程有两个有理数根， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：5或． 16．0或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式变形求值．由“邻根方程”定义可得，由根与系数的关系可得，，再根据即可求出m的值． 【详解】解：中， ， 方程有两个实数根， 设是“邻根方程”的两个根，， 则，，， ， ， ， 解得或， m的值为0或． 故答案为：0或． 17．(1)证明见解析 (2)，另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系． （1）证明即可； （2）设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案． 【详解】（1）证明：对一元二次方程， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）解：设一元二次方程另一个根为， 则，， ， 解得：， ， 答：的值是，该方程的另一个根为． 18．(1)28 (2)两直角边长为8和6 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，勾股定理．掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）当时，方程为，从而得到，，根据完全平方公式变形后代入即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，从而，，．分两种情况：①长为，的边为两条直角边，②长为的边为斜边，长为的边为直角边时，根据该直角三角形边长为整数，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴，， ∴． （2）解：∵关于x的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴ ∵直角三角形两边的长度恰好为和，且， ∴分两种情况： ①若长为，的边为两条直角边时， 为平方数， 设（k为正整数） ∴， ∵，k均为正整数，且， ∴当时，解得（不合题意，舍去） 当时，解得， 此时该方程为， ∵， ∴方程没有实数根，故不合题意，舍去． ②若长为的边为斜边，长为的边为直角边时， ， ∵该直角三角形边长为整数， ∴为整数， 设（k为正整数） ∴， ∵，k均为正整数，且， ∴当时，解得（不合题意，舍去） 当时，解得， 此时该方程为， 解得，， 则另一直角边为，不是整数，不合题意，舍去； 当时，解得：（不合题意，舍去） 当时，解得， 此时该方程为， 解得，， 则另一直角边为，符合题意； 当时，解得， 此时该方程为， ∵， ∴方程没有实数根，故不合题意，舍去． 综上所述，该直角三角形的两直角边长为8和6． 19．(1)方程有两个不相等的实数根 (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）将方程化为一般式，再根据根的判别式计算即可得出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ∴原式． 20．(1)不是 (2)或 (3)当时，有最大值，最大值为16 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【详解】（1）解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； （3）解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 21．(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 22．(1)见解析 (2) (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$