第四章构件的内力、强度和刚度计算课件（课件）《建筑力学与结构》（中国劳动保障出版社）

第四章 构件的内力、强度和刚度计算 第一节 杆件的变形 一、杆件四种基本变形 杆件:其长度方向的尺寸远大于横向尺寸的构件 直杆:轴线是直线的杆件称为直杆。 当杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合的一对外力作用时，则杆件将沿轴线方向产生伸长或缩短变形。 图4-1 杆件轴向拉伸与压缩变形 a） b） 图4-2 轴向拉伸与压缩实例 a）桥梁桥墩 b）房屋柱子 1．轴向拉伸与压缩 Logo 当杆件受到大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线垂直且相距很近的一对外力作用时，则杆件横截面将沿外力方向产生相对错动变形称之为剪切。 图4-3 杆件剪切变形 2．剪切 Logo 当杆件受到大小相等，转向相反，作用面与杆件轴线垂直的一对力偶作用时，则杆件横截面将绕轴线产生相对转动变形。 图4-4 杆件扭转变形 a） b） 图4-5 搅拌器主轴 a）搅拌器主轴受力图 b）搅拌器主轴计算简图 3．扭转 Logo 当杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用时，则杆件轴线由直线变为曲线. 称之为弯曲变形。 图4-6 杆件弯曲变形 图4-7 阳台挑梁 4．弯曲 Logo 二、组合变形 土木工程中许多构件在多种荷载作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。 图4-8 工业厂房中带牛腿的边柱 Logo 第二节 轴向拉伸与压缩 Logo 图4—9 轴向受力杆 a）屋架中的桁杆 b）雨棚的拉杆 c）悬索 d）柱 e）柱间支撑 Logo 图4—10轴向拉杆和压杆的变形 a）拉杆 b）压杆 Logo 轴向拉伸与压缩杆的受力特点是：沿杆件轴线作用有一对大小相等、方向相反的外力（或其合力）。 变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 轴向拉伸与压缩杆简称为轴向拉（压）杆，链杆都是轴向拉（压）杆。 Logo 1．内力:杆件受到外力作用，这种由于外力作用而使杆件相邻两部分之间相互作用力产生的改变量称之为附加内力，简称内力。 一、轴向拉（压）杆横截面上的内力 2．求内力的基本方法——截面法 （1）截开 用一个“假想截面”在该截面处将杆件切断分为两部分。 Logo （2）代替 取切开后的任一部分为研究对象，要使这部分与原来一样处于平衡状态，就必须在被切断的截面上用内力代替另一部分对它的作用。 （3）平衡 由于整体杆件原本处于平衡状态，所以被切断后的任意部分也应处于平衡状态，然后根据平衡条件建立方程而计算出该截面上的内力。 由∑Fx=0得FN=F，方向向右。 Logo a） b） c） 图4-11 用截面法计算杆的内力 a）结构 b）m—m截面左边杆的受力图 c）m—m截面右边杆的受力图 Logo 二．轴向拉（压）杆的轴力 1．轴力：杆件轴线重合的内力称为轴力。 轴力的正负号： 伸长时，轴力背离截面为拉力，取正号；反之为压力，取负号。（离正指负）， 轴力的常用单位：是N（牛顿）或kN（千牛）。 Logo 2．计算轴力的方法(规律法) 横截面上的轴力恒等于该截面一侧（左侧或右侧）所有“轴向外力“的代数和。 “轴向外力”正负号：离正指负。 即： FN=∑F背离-∑F指向 Logo 3．轴力图 轴力图的绘制用平行于杆件轴线的坐标表示杆件横截面的位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，按一定的比例绘制出表示轴力与截面位置关系的图形。正时画在横坐标的上方；反之，画在横坐标的下方。 Logo 【例4-1】图4-12a表示为阶梯状直杆的轴向受力情况，试计算轴力并绘制其轴力图。 图4—12 例4—1图 Logo 解： （1）计算杆件各段的轴力 第一段：在第一段内任意处用假想截面1—1将其切成两段，取左段（见图4-12b）为研究对象，得FN1=∑F背离-∑F指向=5kN-0=5kN（拉力） 第二段：在第二段内任意处用假想截面2—2将其切成两段，取左段（见图4-12c）为研究对象，得 FN2=∑F背离-∑F指向=5kN+10 kN =15kN（拉力） 第三段：在第三段内任意处用假想截面3—3将其切成两段，取右段（见图4-12d）为研究对象得FN3=∑F背离-∑F指向=30kN-0 =30kN （拉力） （2）绘制轴力图 按规定绘制轴立图，如图4-12e所示。（通常可省略坐标系，写上FN图即可） Logo 三、轴向拉（压）杆横截面上的应力 1．应力：把单位面积上的内力集度称为应力 单位：帕（Pa）或兆帕（MPa）。 1Pa=1N/m2 1MPa=1N/mm2=106Pa Logo 2．轴向拉、压杆横截面上的正应力分布规律 平面假设：直杆在轴向拉（压）力作用时，直杆横截面受力变形后仍保持为平面且与杆件的轴件垂直。 正应力:垂直于杆件横截面的应力，用σ表示。 Logo a） b） c） FN 图4-13　直杆轴向拉伸 σ= 　　　　　　　　　　　　（4－1） 拉应力为正，压应力为负。 Logo 【例4-2】 铰接三角形支架在点B承受一重物W=20kN，如图4-14a所示，杆AB为直径d=25mm的钢制圆杆，杆CB为边长a=80mm的正方形截面木杆。试计算杆AB和杆CB横截面上的正应力。 图4—14　例4—２图 Logo 解： （1）计算各杆的轴力。如图4-14b所示，取结点B为研究对象，杆件轴力均假设为受拉（背离结点）。根据平面汇交力系的平衡条件得 ∑Fy=0：-FNBCsin45°-W=0 FNBC= - = - = - 28.3kN （压力） ∑Fx=0： -FNBCcos45°-FNBA=0 FNBA=-FNBCcos45°=-(-28.3kN) ×0.707=20 kN （拉力） （2）计算各杆的正应力。 σBA= = =40.8MPa（拉应力） σBC= =- =-4.4MPa（压应力） Logo 【例4-3】有一变截面杆，其受力情况、杆件长度和截面尺寸等如图4-15所示，试确定其最大工作正应力。 图4—15 例4—3图 Logo 解： （1）首先确定杆件各段轴大小。 AB段：FNAB=15kN BC段：FNBC=30kN （2）分别计算杆件AB段和BC段的应力。 AB段截面的正应力： σAB＝ ＝ =47.8 N/mm2 =47.8MPa BC段截面的正应力： σBC＝ = =42.5 N/mm2 =42.5MPa （3）由图示数据可见，BC段内力比AB段内力大，但由于AB段横截面面积比BC段更小，各截面的工作正应力需分别计算各段的应力后才能确定。现从计算结果看AB段的工作正应力比BC段的工作正应力更大，σAB＝47.8 MPa＞σBC＝42.5 MPa。由此可以确定AB段截面为危险截面，最大应力值为47.8 MPa。 Logo 四、轴向拉（压）杆的强度计算 1．许用应力与安全系数 工作应力：在荷载作用下产生的实际应力，用σ表示。 极限应力：材料所能承受的应力限度称为材料的极限应力，用σu表示。 许用应力：将极限应力σu除以一个大于1的安全系数n作为构件正常工作时所允许产生的最大应力，用[σ]表示 。 安全系数n由国家有关规定来确定。 Logo 2．轴向拉（压）杆的强度条件及强度计算 σ= ≤[σ] （4-2） 危险截面：最大工作应力所在的截面。 利用强度条件可以解决实际工程中有关构件强度的三类问题： （1）强度校核 已知荷载大小、材料的许用应力和杆件的截面尺寸，即已知FN、[σ]、A，则可由强度条件判断杆件是否满足强度要求。由式（4-1）计算出工作应力σ，若σ≤[σ]，则杆件满足强度要求，否则说明杆件的强度不满足要求。 Logo （3）确定许用荷载 已知杆件的截面面积和材料许用应力的情况下，即已知A、[σ]，由可由强度条件式（4-2）求得构件所能承受的最大轴力为 [FN] ≤A[σ] 再根据静力平衡条件确定许用荷载[F]、[q]。 （2）截面设计 已知荷载、材料的许用应力，即已知FN、[σ]，则可由强度条件： σ= ≤[σ] 计算出最小截面面积后，再根据实际情况确定截面形状和尺寸。 Logo 【例4-4】一直杆受力情况如图4-16a所示。直杆的横截面面积A=10cm2，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核杆的强度。 a）受力图 b）轴力图 解： （1）首先绘出直杆的轴力图，如图4-16 b所示。 （2）校核强度，由于是等直杆，产生最大内力的CD段的截面是危险截面，由强度条件得： σmax= 所以，满足强度条件。 Logo 【例4-5】如图4-17a所示，一起重机用钢索匀速向上， 吊装W=100kN的重物，钢索的许用应力[σ]=170Mpa，求钢索的直径为多少时既安全又经济？ 图4-17 例4—5图 a）结构 b）结点C受力图 Logo 解： （1）求钢索AC、BC的轴力。取结点C为研究对象，钢索AC、BC的轴力分别用FNAC 、FNBC表示，画出受力图并建立坐标如图4-17b所示，由整体平衡可知，F=W=100kN。由平面汇交力系的平衡条件得 ∑Fx=0， -FNAC+F cos45°=0 FNAC= F cos45°=100kN× = 70.7kN（拉） ∑Fy=0， -FNBC+ Fsin45°=0 FNBC= Fsin45°=100kN× =70.7 kN（拉） （或由对称可知：FNBC= FNAC=70.7kN） Logo （2）求钢索的直径。由强度条件： σ= ≤[σ] 得 σ= = = = ≤[σ] d≥ = =23.02mm，取d=24mm Logo ※【例4-6】如图4-18a所示的铰接支架中，杆AC为圆形钢杆，直径d=10mm，许用应力[σ]=160MPa，横梁BC受到均匀分布荷载q作用。试根据正应力强度条件确定许用荷载[q]的值。 图4-18 例4—6图 a）结构 b）BC杆受力图 Logo 解： （1）计算杆AC的轴力FNAC。取横梁BC为研究对象，其受力图如图4-18b所示，由平面一般力系平衡方程得： ∑MB=0，FNAC×4m×sin30°－q×4m×2m=0 得FNAC=q×4m Logo （2）计算许用荷载[q]，由强度条件： σAC≤[σ] 得σAC= = = = ≤[σ] q≤ = =3.14N/mm=3.14kN/m 取[q]=3.14KN/m。 Logo 五、轴向拉（压）杆的变形 1．弹性变形与塑性变形 弹性变形：杆件在外力作用下发生变形，撤除外力后，杆件的变形能完全消失的变形称为弹性变形。 塑性变形：当外力撤除后不能恢复到原来的形状，留有残余的变形，此残留下来的变形称为塑性变形。 Logo 纵向的变形Δl Δl=l1-l 规定：伸长时Δl取正，压缩时取负，其单位为米（m）或毫米（mm）。 线应变:单位长度的变形称为线应变，用ε表示. ε= 规定拉伸时ε为正，反之为负，线应变无量纲 Logo 2．胡克定律 在弹性范围内，杆件的纵向变形与杆件所受的轴力及杆件长度成正比，与杆件的横截面面积成反比，这就是胡克定律。 Δl = （4-3） σ=Eε　　　　　　　　　 （4-4）　　 式（4-4）是胡克定律的另一种表达形式。它表明：在弹性受力范围内，应力与应变成正比。 E称为材料的弹性模量，与材料的性质有关，单位为兆帕（MPa）。 Logo 【例4—7】如图4—19所示为一圆形变截面钢杆。各段受力大小及方向如图所示，各段横截面面积分别为AAB＝250 mm2，ABC＝200 mm2，ACD＝150 mm2，各段长度分别为LAB=1m,LBC=1.5m,LCD=2m,钢的弹性模量E=200 GPa，试求该杆的总变形。 图4—19 例4—7图 Logo 解： 杆AB、BC和CD各段横截面面积和轴力不同，应分别求出各段变形，然后求其总和。 （1）求轴力 根据计算轴力的方法 FNAB＝30-70＋100=60 kN（拉） FNBC＝30-70=-40 kN（压） FNCD＝30 kN（拉） Logo （2）求变形 ΔlAB = ＝ =1.2 mm ΔlBC＝ ＝ =-1.5mm ΔlCD＝ ＝ ＝2 mm Δl＝ΔlAB+ΔlBC+ΔlCD＝1.2-1.5+2＝1.7 mm Logo 第三节 压杆稳定 一、压杆稳定的概念 压杆稳定：就是指受压杆件保持其平衡状态的稳定性。 失稳：细长直杆突然丧失其原由直线平衡状态的现象称为压杆丧失稳定性，简称失稳.越是细长的压杆越容易失稳。 Logo 二、压杆平衡状态的三种情况 稳定平衡状态：压杆的直线状态的平衡是稳定的，称稳定平衡状态。 临界平衡状态：杆件维持干扰后的微弯曲状态不变，不再回到原来的直线位置，在新的微弯状态下维持新的平衡。此时压杆是临界平衡状态， Logo 临界力：从稳定平衡过渡到不稳定平衡的界限点。此时的轴向压力Fcr，称为临界力。 不稳定平衡：当压力F超过临界力Fcr时，杆件不能回到原来的直线位置，只能在一定弯曲变形下平衡，甚至折断，此时称压杆的原有直线状态的平衡是不稳定平衡。 Logo 图4-21 压杆平衡状态的三种情况 a）压杆稳定平衡状态 b）压杆临界平衡状态 c）压杆不稳定平衡状态 Logo 三、压杆临界力 使细长压杆失稳的最小轴向压力称为该细长压杆的临界力，用Fcr表示。 （4－5） 式中 E——材料的弹性模量； I——横截面惯性矩； l——压杆的长度； µ——与压杆两端支撑有关的长度系数，见表4-2。 Logo 表4-2 压杆的长度系数µ值表 Logo 【例4-8】如图4-22所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长 2m，截面形状为矩形， b=20mm、h=45mm，惯性矩Iy=3×104mm4，Iz=15.19×104mm4 ，材料的弹性模量E=200GPa。试计算该压杆的临界力。 图4-22 例4-8图 Logo 解： （1）计算截面的最小惯性矩。由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的xy平面内，即沿Y轴方向失稳，故欧拉公式中的惯性矩应以最小惯性矩代入，即 Imin=Iy=3×104mm4 （2）计算临界力查表4-2得 2，因此临界力为： Logo （3）当截面改为 b=h=30mm的正方形截面时，压杆的惯性矩为： Iz=Iy=6.75×104mm4 代入欧拉公式，可得： Logo 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。 Logo ※四、临界应力 压杆在临界力的作用下，正其横截面上的平均正压力就称为临界应力。若用σcr表示临界应力，用A表示压杆的横截面面积，则： 令 式中 i ——压杆横截面的惯性半径。 于是临界应力可写为： Logo 令 则 （4-6） 压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。 Logo 五、提高压杆稳定性的措施 Logo 1．合理选择材料 欧拉公式说明，压杆的临界应力与材料的弹性模量成正比。所以选择弹性模量较高的材料，就可以提高压杆的临界应力，也就提高了其稳定性。 Logo 2．选择合理的截面形状 增大截面的惯性矩，材料远离截面形心轴，以取得较大的轴惯性矩， 空心截面要比实心截面合理，如图4-23所示。 尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相同。 Logo 图4-23 空心截面和实心截面 图4-24 两根槽钢组成的压杆截面 Logo 3．改善约束条件、减小压杆长度 自由支座最不利，铰支座次之，固定支座最有利。 减小压杆长度的另一方法是在压杆的中间增加支承， 如图4-25a中的托架，在不影响结构使用的条件下，把图4-25a所示结构改换成图4-25b所示结构，则杆AB由受压杆变为受拉杆。 Logo 图4-25 托架 Logo 第四节　梁的弯曲 一、弯曲变形和梁的类型 Logo 1．弯曲变形 弯曲变形：杆件受到与杆件轴线垂直的外力作用时，在这些外力作用下杆件轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形，。 梁：凡是以弯曲变形为主的杆件通常称之为梁。 图4-26 梁 Logo 图4—27 楼板梁 图4—28 桥梁 Logo 图4-29 吊车梁 图4-30 阳台挑梁 Logo 2．梁的类型 直梁：轴线是直线的梁称为直梁。工程中常见的静定简单梁有简支梁、外伸梁和悬臂梁三种形式。 Logo （1）简支梁 一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座的梁称为简支梁 （2）外伸梁 梁的支座同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座之外 （3）悬臂梁 一端是固定端，另一端是自由端的梁称为悬臂梁。 Logo 图4-31 静定简单梁的三种形式 a）简支梁 b）外伸梁 c）悬臂梁 Logo 二、梁的内力 1．梁的内力——剪力和弯矩 揭示梁内力的方法仍然是截面法 截面处必然有两种内力：与横截面相切的内力FQ，称为剪力； 在纵向对称平面内的内力偶矩M，称为弯矩。 Logo 2．剪力和弯矩的正负 图4-32 梁的内力 a）梁 b）1-1截面左侧受力图 c）1-1截面右侧受力图 Logo （1）剪力的正负号 截面上的剪力FQ使所研究的分离体有顺时针方向转动趋势时规定为正号，是正剪力，截面上的剪力FQ使所研究的分离体有逆时针方向转动趋势时规定为负号，是负剪力。 Logo 图4-33 剪力的正负 a）正剪力 b）负剪力 Logo （2）弯矩的正负号 截面上的弯矩使所研究的分离体产生向下凸变形（下部受拉、上部受压）时规定为正号，是正弯矩，如图4-34a所示；产生向上凸变形（上部受拉、下部受压）时规定为负号，是负弯矩，如图4-34b所示。 Logo 图4-34 弯矩的正负 a）正弯矩 b）负弯矩 Logo 3．用截面法计算梁指定截面的内力 计算方法： （1）计算支座力； （2）用假想截面将梁需求内力处的截面截开； （3）取该截面左段或右段为研究对象，并画出受力图； （4）利用平面一般力系的平衡方程计算所要求截面处的内力。 Logo 【例4-7】试计算入图4-32a所示简支梁1-1截面处的剪力与弯矩，已知Fp=15kN，a=4m，b=2m，x=3m。 解： （1）计算支座力。 由∑MB=0得 - FAy×6m+Fp×2m=0 FAy=5 kN（↑） 由∑Fy=0得 FAy + FBy -15=0 FBy =10kN（↑） Logo （2）计算1-1截面处的内力。用假想截面将梁沿1-1截面截开，取左段为研究对象，画受力图如图4-32b所示，由∑Fy=0得： FAy-FQ=0 FQ= FAy=5kN 取1—1截面处形心C为矩心，由∑Mc=0，得： - FAy×3m+M=0 M= FAy×3m=5kN×3m=15kN·m 取右段为研究对象，如图4-32c所示，由∑Fy=0得： FQ­-FP+ FBy=0 FQ= FP - FBy=15kN-5kN=10kN Logo 取1—1截面处形心C为矩心，由∑Mc=0得： -M- FP×1m + FBy×3m=0 M=-FP×1m +FBy×3m=-15 kN×1 m +10kN×3m =15 kN·m 由上可知，选取左段或右段为研究对象，1-1截面处的内力数值和正负均相同。 Logo 4．剪力和弯矩计算的规律 （1）用外力直接求截面上剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）梁段上所有外力在平行于横截面方向投影的代数和（由∑Fy=0的平衡方程移项而来）。用式子可表示为： 剪力的正负号:“左上右下剪力为正”。 Logo （2）用外力直接求截面上弯矩的规律 梁内任一截面上的弯矩肘，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心取力矩的代数和（由∑Mc=0的平衡方程移项而来）。用式子可表示为： 左顺右逆正，反之负。 弯矩的正负号: “左顺右逆弯矩为正”。 Logo 【例4-8】 如图4-35a所示悬臂梁，已知q=3kN/m，F=5kN，试计算距固定端A为1m处横截面上的内力。 图4-35 例4—8图 a）悬臂梁 b）受力图 Logo 解： 取所求内力所在截面右侧为研究对象，可省去求固定端A处的支座反力，利用计算剪力和弯矩的规律，可求得 FQ=q×2m +F=3 kN/m×2 m+5kN=11 kN M=-q×2m×1m-F×2m=-3kN/m×2m×1m-5kN×2m=-16kN·m Logo 三、梁的内力图——剪力图与弯矩图 Logo 1．剪力图和弯矩图的概念 用平行于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按一定比例绘制出来，这种形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。 正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而把弯矩图画在受拉侧（弯矩图的正负号不必标出）。 Logo 2．梁内力图的规律 （1）简支梁在简单荷截作用下的内力图 绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描点法得到相应的剪力图和弯矩图。表4-3是应用这种方法绘制出的简支梁在简单荷载作用下的内力图。 Logo 表4-3 简支梁在简单荷截作用下的内力图 Logo 表4-4 直梁在各种荷载作用下内力图的特征 Logo 综合分析表4-3简支梁的特定内力图，表4-4梁上荷载和剪力图弯矩图的关系可以归纳总结出梁内力图的规律： 1）在均布荷载区段。均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾斜直线，弯矩图为向下凸的抛物线。 2）无荷载区段。剪力图为零线时，弯矩图为水平直线；剪力图为水平直线时，弯矩图为斜直线。 Logo 3）集中力作用处。剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的大小，突变的方向从左到右画图时顺着集中力箭头方向突变；弯矩图折成尖角，尖角方向与集中力方向相同。 4）集中力偶作用处。剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝对值等于力偶矩的大小，突变的方向与力偶转向一致。 5）剪力为零的截面，弯矩有极值。 Logo 3．梁内力图的绘制 用规律法绘制梁的内力图。 （1）求支座反力（悬臂梁可不求）。 （2）确定控制截面，将梁进行分段。即梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面，集中力（包括中间的支座反力）及集中力偶作用截面作为梁的控制截面，相邻的两控制截面间为一段。 （3）分析各段梁内力图的大致形状。由各梁段上的荷载情况，根据表4-4确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。 Logo （4）求控制截面的剪力值、弯矩值（剪力图为水平线时，只需计算一个控制截面剪力值；剪力图、弯矩图为斜直线时，只需计算两个控制截面相应内力值；弯矩图为抛物线时，需计算三个控制截面弯矩值，即两端点和剪力为零点的弯矩值）。 （5）连线绘制剪力图和弯矩图。 （6）检查校对。 Logo 【例4—9】 简支梁受集中作用如图4-36a所示，作梁的剪力图和弯矩图。 解： （1）计算支座反力，由梁整体平衡∑MA=0和∑MB=0得： Logo 图4-36 例4—9图 a）梁受力图 b）剪力图 c）弯矩图 Logo （2）根据梁的受力情况控制截面有A、C、B三处，可分为AC、CB两段。 （3）分析各段梁内力图的大致形状。因为两段梁上均无荷载，所以两段梁上的剪力图均为水平线，弯矩图均为斜直线。 （4）计算控制截面内力值 AC段：剪力 FQA右=FAy = 弯矩 MA=0 MC左= FAy ×a= CB段：剪力 FQB左=FBy = - 弯矩 MB =0 MC右= FBy ×b= （5）根据各段剪力图、弯矩图大致形状及控制截面内力值画剪力图和弯矩图。如图4-36b、c所示。 Logo 【例4-10】一简支梁受力如图4-37a所示，已知q=20KN/m，l=2m,作梁的剪力图和弯矩图。 解： （1）求支座反力，由平衡方程∑MB=0和∑MA=0，得： FAY=FBY= (由对称性也可求得) （2）根据梁上的受力情况控制截面有A、B两处，梁分为AB一段。 Logo （3）分析各段剪力图大致形状，计算控制截面剪力，画剪力图 AB段：段内有向下的均布荷载，FQ图为右下斜直线，其控制截面 Logo 图4－37 例4—10图 a）梁的荷载图 b）剪力图 c）弯矩图 剪力为 画出剪力图如图4-37b所示。 Logo （4）分析各段弯矩图大致形状，计算控制截面弯矩，画弯矩图 AB段：段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，确定该段三个截面处弯矩值可确定抛物线的大致形状。 以上两法说明作内力图的过程。熟练掌握后，可以方便直接作图。 Logo 四、梁的正应力及其强度条件 Logo 1．梁的正应力 （1）梁横截面上正应力分布 图4-38 梁的纯弯曲变形 Logo 1）平面假设。各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明横截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。 2）单向受力假设。将梁看成由无数纵向纤维组成，各纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。 Logo 中性层：必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层， 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴， 正应力沿截面高度也是线性分布的。 中性轴处正应力为零，上、下边缘处正应力最大，如图4-39所示。 Logo 图4-39 梁横截面上的正应力分布 Logo （2）梁的最大正应力计算 梁横截面上最大正应力发生在梁横截面上、下边缘处，与弯矩成正比，与抗弯截面系数WZ成反比。 危险截面：梁内最大弯矩Mmax所在的截面称为危险截面，该截面上距中性轴上、下最远边缘处有最大的拉应力和最大的拉压力 危险点，最大的拉应力和拉压力所在的点称为危险点。 梁的最大应力计算公式为： Logo （4－7） 式中，WZ称为抗弯截面系数，它是衡量截面抗弯能力的一个几何量。如图4-40所示矩形截面的WZ= bh2 ，圆形截面的WZ = ，而空心圆截面的抗弯截面系数则为 ， 式中ɑ=d/D，代表内、外径的比值。抗弯截面系数的单位是m3或mm3。在截面面积相同的情况下，截面的面积分布离中性轴（z轴）越远，其抗弯截面系数WZ就越大，截面的抗弯能力就越好。 Logo 图4-40 不同截面的抗弯截面系数 a）矩形截面 b）圆形截面 c）空心圆截面 Logo 【例4-11】如图4-41a所示，矩形截面简支木梁受到均布荷载作用，已知载面尺寸b×h=200mm×400mm，跨度l=6m，q=4 kN/m，试计算梁上的最大正应力。 图4-41 例4—11图 a）梁的受力图 b）弯矩图 Logo 分析：计算最大正应力的思路为： （1）绘制弯矩图，找出Mmax。 （2）按公式计算Wz。 （3）按式（4-7）计算最大正应力。计算过程中，必须注意各量单位统一的问题。（一般情况下，若Mmax单位采用N·mm，Wz单位采用mm3，则σmax单位是MPa）。 Logo 解： （1）绘制M图（图4-41b）。Mmax发生再跨中截面，并有 Mmax= ql2= ×4 kN/m×（6m）2=18 kN·m （2）计算Wz。 Wz= bh2= ×200mm×（400mm）2=5.33×106mm3 （3）计算σmax σmax= = =3.38MPa Logo 2．梁的正应力强度条件 （1）正应力强度条件  σmax= ≤[σ] （4－8） 当材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称截面，例如铸铁梁，抗压强度高，抗拉强度低。常做成倒T形截面如图4-42a所示，受拉区的面积较大以弥补材料的抗拉强度不足，受压区面积较小以充分发挥材料的抗压强度，其正应力分布规律如图4-42b所示，应同时满足抗拉和抗压强度条件的要求。 Logo Logo 图4-42 倒T形梁的正应力分布规律 a）倒T形梁 b）正应力分布图 （2）正应力强度条件的应用 根据正应力强度条件可解决工程中有关强度方面的三类问题： 1）校核强度。已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的，校核梁是否满足正应力强度条件。 σmax= ≤[σ] Logo 2）设计截面。已知梁的荷载和所用的材料，可根据强度条件，先计算出所需的最小抗弯截面系数，然后根据梁的截面形状，再由Wz值确定截面的具体尺寸。 Logo 3）确定许用荷载。 已知梁的材料、横截面形状和尺寸，根据强度条件先算出梁所能承受的最大弯矩，即： ≤WZ×[σ] 然后由Mmax与荷载的关系，算出梁所能承受的最大荷载。 Logo 【例4-12】 如图4-43所示，桥式起重机的大梁采用矩形截面钢梁制成。已知梁跨l=12m，当钢梁、电动葫芦及钢丝绳的自重均不计时，若该起重机的最大起重荷载F=40kN，矩形截面尺寸为b×h=120mm×240mm，钢梁的许用应力[σ]=160MPa，试校核大梁的强度。 Logo Logo 图4－43 例4—12图 a）钢梁 b）计算简图 c）弯矩图 Logo 分析：根据题意可将钢梁简化为简支梁。当最大起重荷载F作用于简支梁跨中截面C处（图4-43b）时，梁的弯矩达到最大值。 解： （1）绘制弯矩图（见图4-18c）： （2）计算Wz Wz= bh2= ×120mm×（240mm）2=1152×103mm （3）校核强度。 σmax= = =104.2MPa＜[σ] 经校核该大梁满足强度要求。 Logo 3．提高梁抗弯强度的措施 在梁的弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的正应力强度条件 为设计梁的主要依据，由这个条件可看出，对于一定长度的梁，在承受一定荷载的情况下，应设法适当地安排梁所受的力，使梁最大的弯矩绝对值降低，同时选用合理的截面形状和尺寸，使抗弯截面模量W值增大，以达到设计出的梁满足节约材料和安全适用的要求。 Logo （1）合理布置梁的受力情况 在工程实际容许的情况下，提高梁强度的重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，图4-44a所示简支梁，承受均布载荷q作用，如果将梁两端的铰支座各向内移动少许，例如移动0.2 l，如图4-44b所示，则后者的最大弯矩仅为前者的1/5。 Logo 图4-44 简支梁和外伸梁的弯矩图 a）简支梁及弯矩图 b）外伸梁及弯矩图 Logo 如图4-45a所示简支梁AB，在跨度中点承受集中荷载FP作用，如果在梁的中部设置一长为1/2的辅助梁CD如图4-45b所示，这时，梁AB内的最大弯矩将减小一半。 图4-45 简支梁和加辅助梁后的简支梁 a）简支梁AB b）加辅助梁CD后的简支梁 上述实例说明，合理安排支座和加载方式，将显著减小梁内的最大弯矩。 Logo （2）选用合理的截面形状 从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。截面形状和放置位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A来衡量截面的合理性和经济性，比值愈大，所采用的截面就愈经济合理。 现将跨中受集中力作用的简支梁为例，其截面形状分别为圆形、矩形和工字形三种情况作一粗略比较。设三种梁的面积A、跨度和材料都相同，容许正应力为170MPa。其抗弯截面系数Wz和最大承载力比较见表4-5。 Logo 表4-5 几种常见截面形状的Wz和最大承载力比较 Logo 从表中可以看出，矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多。 从正应力分布规律分析，正应力沿截面高度线性分布，当离中性轴最远各点处的正应力，达到许用应力值时，中性轴附近各点处的正应力仍很小。因此，在离中性轴较远的位置，配置较多的材料，将提高材料的应用率。 根据上述原则，对于抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用对中性轴对称的截面，如工字形截面等。而对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，则最好采用中性轴偏于受拉一侧的截面，便如T字形和槽形截面等。 工程中要同时考虑构造要求和施工的方便，梁的截面常采用矩形、工字形、箱形和T形。 Logo （3）采用变截面梁 一般情况下，梁内不同横截面的弯矩不同。因此，在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴线的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴线变化的梁，称为变截面梁。如悬臂梁， 等强度梁：如果将变截面梁设计为使每个横截面上最大正应力都等于材料的许用应力值，这种梁称为等强度梁。图4-46b鱼腹梁就是很接近等强度要求的形式。 Logo a） b） 图4-46 变截面梁 a）悬臂梁 b）鱼腹梁 Logo 五、梁的刚度 刚度：构件在外力作用下抵抗变形的能力称为刚度。工程中所用的构件不仅要满足强度要求，还要满足刚度要求。 Logo 1．梁的变形 挠度，如图4—47所示，梁轴线上任意一点沿y轴方向的线位移CC′称为该截面的挠度，用y表示，以向下为正。由于横截面形心沿x方向的线位移很小，可忽略不计。 转角：梁内任意截面绕中性轴转动的角位移称为该截面的转角，用θ表示，并以顺时针转动为正，单位是弧度。 图4—47 梁的变形 Logo 表4—6 简单荷载作用下梁的最大挠度和转角公式 Logo 2．梁的刚度条件 梁的刚度条件为: Logo 第五节 工程中常见静定结构 Logo 一、平面结构的几何组成分析 1．几何组成分析的概念 从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可以分为两类。 Logo （1）几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料变形时，能够保持几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。如图4-48a所示。 （2）几何可变体系 在荷载作用下，不考虑材料变形时，几何形状和位置发生变化的体系，称为几何可变体系。如图4-48b所示。 图4-48 杆件组成的体系 a）几何不变体系 b）几何可变体系 Logo 对结构的几何组成进行分析：判定体系是几何不变体系还是几何可变体系的过程就是几何组成分析。 Logo 2．几何不变体系的组成规则 在体系的几何组成分析中，将几何不变的部分、一根杆、基础等可视为刚片，连接刚片的铰链、支座等视为约束。 Logo （1）两刚片的组成规则 两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相连，组成一个无多余约束的几何不变体系。如图4-49b所示 a） b） 图4-49 两刚片规则 两刚片规则也可表述为：两刚片用不完全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则组成一个无多余联系的几何不变体系。如图4-49a所示。 Logo （2）三刚片的组成规则 三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成一个无多余约束的几何不变体系。如图4-50所示。 图4-50 三刚片组成规则 Logo （3）二元体规则 所谓二元体是指两根不在一直线上的链杆连结一个新铰结点的装置。如图4-51所示的B-A-C部分即是一个二元体。 二元体规则为：在体系中增加或者撤去一个二元体，不会改变体系的几何组成性质。 图4-51 二元体装置 Logo 3．几何组成分析的实例 【例4-13】 试对图4-52所示桁架作几何组成分析。 解：在此体系中，先分析基础以上部分。把链杆1-2作为刚片，再依次增加二元体1-3-2、2-4-3、3-5-4、4-6-5、5-7-6、6-8-7，根据二元体法则，此部分体系为几何不变体系，且无多余联系。 把上面的几何不变体系视为刚片，它与基础用三根既不完全平行也不交于一点的链杆相联，根据两刚片法则图4-52所示体系为一几何不变体系，且无多余联系。 图4-52 桁架 Logo 【例4-14】 试对图4-53a所示体系作几何组成分析。 图4-53 例4—14图 a）结构 b）几何组成分析 Logo 解： 首先以地基及杆AB为二刚片，由铰A和链杆1联结， 链杆l延长线不通过铰A，组成几何不变部分，见图4-53b。以此部分作为一刚片，杆CD作为另一刚片，用链杆2、3及BC链杆（联结两刚片的链杆约束，必须是两端分别连接在所研究的两刚片上）连接。三链杆不交于一点也不全平行，符合两刚片规则，故整个体系是无多余约束的几何不变体系。 另一种分析方法：将链杆BC视为一个刚片，AB杆及地基分别为第二、三个刚片，以后分析读者自己完成。 通过此题可看出：分析同一体系的几何组成可以采用不同的组成规则； 一根链杆可视为一个约束，也可视为一个刚片。 Logo 4．静定结构和超静定结构的概念 作为结构的杆件体系，必须是几何不变的， 图4-54 连续梁 Logo 静定结构：对于无多余约束的结构，如图4-55所示的简支梁，它的全部反力和内力都可由静力平衡条件求得，这类结构称为静定结构。 超静定结构：对于具有多余联系的几何不变体系，却不能只依靠静力平衡条件求得其全部反力和内力。这类结构称为超静定结构。 图4-55 静定结构 图4-56超静定结构 Logo 二、多跨静定梁 1．静定多跨梁的几何组成 多跨静定梁：若干单跨梁用铰链连接在一起，并以若干支座与基础相连，或者搁置于其他构件上而组成的静定梁，称为多跨静定梁。 Logo 图4-57桥梁的多跨静定梁结构 a）桥梁 b）计算简图 c）层次图 Logo 图4-58 木檩条的多跨静定梁结构 a）木檩条的构造图 b）计算简图 c）层次图 Logo 从几何组成分析可知，图4-57b中AB梁是直接由链杆支座与地基相连，是几何不变的。且梁AB本身不依赖梁BC和CD就可以独立承受荷载维持平衡，所以，称为基本部分。如果仅受竖向荷载作用，CD梁也能独立承受荷载维持平衡，同样可视为基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷载并保持平衡，所以，称为附属部分。同样道理在图4-58b中梁AB、CD和EF均为基本部分，梁BC和梁DE为附属部分。为了更清楚地表示各部分之间的支承关系，把基本部分画在下层，将附属部分画在上层，分别如图4-57 c和4-58c所示，称它为关系图或层次图。 Logo 2．多跨静定梁的内力特征 计算多跨静定梁时，必须先从附属部分计算，再计算基本部分，按 图4-59 多跨静定梁的内力图 a）多跨静定梁 b）层次图 c）受力图 d）弯矩图 Logo 多跨静定梁比相同跨度的简支梁的弯矩要小，且弯矩的分布比较均匀，此即多跨静定梁的受力特征。多跨静定梁虽然比相应的单跨简支梁弯矩小，但构造要复杂一些。一个具体工程，是采用单跨静定梁，还是多跨静定梁或其他型式的结构，需要作技术经济比较后，从中选出最佳方案。 Logo 三、静定平面刚架 1．静定平面刚架的组成 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有刚结点的静定结构。当刚架的轴线和外力都在同一平面时，称为平面刚架。由静力平衡条件可以求出全部约束反力和内力的平面刚架称为静定平面刚架。在荷载作用下，梁和柱的连接点不仅不能发生相对移动，而且也不能发生相对转动，称这类结点为刚结点，刚结点是刚架的主要特征。 Logo 静定平面刚架常见的类型有： （1）悬臂刚架：常用于火车站站台、雨篷等，如图4-60a所示。 （2）简支刚架：常用于起重机的刚支架、渡槽等，如图4-60b所示。 （3）三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构，如图4-60c所示。 图4-60 静定平面刚架 a）悬臂刚架 b）简支刚架 c）三铰刚架 Logo 2．静定平面刚架的内力特征 由于刚架具有刚结点，梁和柱能作为一个整体共同承担荷载的作用，结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。在大跨度、重荷载的情况下，是一种较好的承重结构。刚架结构受力合理，轻巧美观，能跨越较大的跨度，制作又很方便，所以刚架结构应用非常广泛。一般用于体育馆、礼堂、食堂、菜场等大空间的民用建筑，也可用于工业建筑。 Logo 四、三铰拱 1．三铰拱的组成 拱结构是应用比较广泛的结构型式之一。在房屋和桥梁建筑中，经常用到拱结构。 拱结构是指杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产生水平推力的结构，它与梁的主要区别在于在竖向荷载作用下将产生水平推力。 拱结构通常有三种常见的形式，其计算简图如图4-61所示。图4-61a和图4—61b所示的无铰拱和两铰拱是超静定结构，图4-61c所示的三铰拱为静定结构。 Logo 图4-61 拱结构 a）无铰拱 b）两铰拱 c）三铰拱 Logo 三铰拱是一种静定的拱式结构，可做成大跨度结构，在房屋和桥梁中广泛应用，如图4-62所示。 图4-62 三铰拱及计算简图 Logo 在屋架中，为消除水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆，由拉杆来承担水平推力，如图4-63所示。 图4-63 带拉杆的拱及其计算简图 Logo 在桥梁中为了降低桥面高度，可将桥面吊在拱上。如图4-64所示的1972年投入使用的永定河七号铁路桥，是我国最大跨度的钢筋混凝土拱桥。 图4-64 桥梁中的三铰拱设计 Logo 2．三铰拱的内力特征 拱结构的杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下支座将产生水平力。这种水平反力又称为水平推力。拱结构与梁结构的区别，不仅在于外形不同，更重要的还在于竖向荷载作用下是否产生水平推力由于水平推力的存在，拱中各截面的弯矩将比相应的曲梁或简支梁的弯矩要小，这就会使整个拱体主要是承受压力。因此，拱结构可用抗压强度较高而抗拉强度较低的砖、石、混凝土等建筑材料来建造。但拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的材料用量，对地基要求高。 Logo 五、桁架 1．桁架的组成 Logo 桁架是由若干直杆在其两端用圆柱铰链连接组成的几何不变体系。桁架结构是一种常见的结构形式，在土木工程中有很广泛应用，尤其在大跨度结构，如屋架、桥梁、井架、起重机架和高压线塔等。武汉长江大桥和南京长江大桥的主体结构也是桁架结构。如图4-65a、c所示的钢筋混凝土屋架和钢木屋架就属于桁架。 Logo 图4-65 屋架 a）钢筋混凝土屋架 b）钢筋混凝土屋架计算简图 c）钢木屋架 d）钢木屋架计算简图 Logo 各杆之间在端部的连结点称为节点，也叫结点。桁架各杆假定在两端用光滑铰链相互联接，各杆的轴线都是绝对平直的，且处于同一平面内，并通过铰的中心，荷载和支座反力都作用在结点上，并且都位于桁架的平面内。 符合上述假定的桁架叫理想平面桁架。在上述假定下，桁架各杆均为两端铰接的直杆，仅在两端受约束力作用，故只产生轴力。这类杆件也称为二力杆。这样，可以使得计算大大简化，同时也符合实际受力情况。 Logo 2．桁架的内力特征 桁架中的杆件都是二力杆件，其内力为轴力，在各杆的任一横载面上，正应力都均匀分布，能充分发挥材料的作用，从而取得较好的经济效益。 Thank you 中国劳动社会保障出版社 $$