第三章平面力系的平衡（课件）《建筑力学与结构》（中国劳动保障出版社）

第三章 平面力系的平衡 第一节 力的投影 一、力在直角坐标轴上的投影 1.力的投影概念 如下图3-1所示，已知力F作用在物体上的A点，其大小和方向均已知。求F在直角坐标轴上的投影。 在F作用平面内取直角坐标系xOy。力F的大小用线段AB表示。分别从A点和B点向x轴作垂线，得到垂足a点和b 图3—1 力在坐标轴上的投影 图3—2 一、力在直角坐标轴上的投影 点，并在x轴上取得线段ab。线段ab加上正号或负号称为力F在x轴上的投影，用Fx来表示。同理，分别从A点和B点向y轴作垂线，得到垂足a′和b′，并在y轴上取得线段a′和b′。线段a′b′加上正号或负号称为力F在y轴上的投影，用Fy来表示。 2、力的投影的正负号规定： 从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴x轴的正向一致时，该力在x轴上的投影取正号；从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴x轴的正向相反时，该力在x轴上的投影取负号。 一、力在直角坐标轴上的投影 3、力的投影计算公式 若已知力F与x轴所夹的锐角为α，则该力在x、y轴上的投影可用下列式子计算。 ｛ 在y轴上的投影正负规定与在x轴上的投影正负规定一致。图3—1中，F在x轴的投影为正，在y轴上的投影为负。 一、力在直角坐标轴上的投影 4、特别注意： (1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； (2)当力与坐标轴平行时，其投影大小的绝对值等于该力的大小，正负由力的指向来定； (3)当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。 【例3—1】如图3—2所示，已知F1=10 kN，F2=200 kN，F3=300 kN，F4=400 kN，求图示各力在x、y轴上的投影。 解： F1的投影：F1x=F1=10 kN F1y=0 F2的投影：F2x=-F2cos60° = - 200×0.5=-100kN F2y= F2sin60°= 200×0.866=173.2kN F3的投影:F3x=-F3cos60°=-300×0.5=-150kN F3y=-F3sin60°=-300×0.866=-259.8 KN F4的投影:F4x=F4cos45°=400×0.707=282.8 kN F4y=-F4sin45°=-400×0.707=-282.8 kN 第二节 平面汇交力系 一、平面汇交力系合成的解析法 作当平面力系中的各力作用线均汇交于一点时，该力系即为平面汇交力系。 本节讨论的即是平面汇交力系的合成及平衡分析。 一、平面汇交力系合成的解析法 如下图3—3所示平面汇交力系，选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，合力R的大小由下式确定： 一、平面汇交力系合成的解析法 第DG 章 力和受力图 图3—3 平面汇交力系合成 a）平面汇交力系 b）合力作用线确定 二、平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系平衡，则该力系的合力为零；反之，若平面汇交力系的合力为零，则该力系就是平衡力系。 根据平面汇交力系合成的解析法，合力的解析表达式为： 当平面汇交力系平衡时，该合力R应为零。此时，合力R在x轴和y轴上的投影Rx和Ry也全为零，可用下式表示： 二、平面汇交力系平衡的解析条件 Rx=∑Fx=0 Ry=∑Fy=0 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中的各分力在两个互相垂直的坐标轴上的投影的代数和都等于零。 应用这两个独立的平衡方程，可以求解平面汇交力系的两个未知量 ｛ 二、平面汇交力系平衡的解析条件 【例3—2】如图所示为一静止小球，已知小球的重力G大小为15 kN，绳索与G的夹角为30°，楔块斜面光滑，与水平方向的夹角也为30°，求小球上各约束力的大小。 a） b） c） a）已知条件 b）受力分析 c）平面汇交力系平衡分析 二、平面汇交力系平衡的解析条件 解： （1）取小球作为研究对象进行受力分析，小球在重力G作用下，其所受两个约束（柔体约束和光滑接触面约束）产生相应的约束反力T和N（见图b）。G、T和N作用线在同一平面内且汇交于点O，三力形成一平面汇交力系。由于小球静止，所以此力系为平衡力系。 （2）如图c所示，在此平面汇交力系上建立一直角坐标系xOy，利用力的可传性原理，将T和N的作用点均移至O点以方便求其在两个坐标轴上的投影，并求出各力在两个坐标轴上的投影。 G的投影：Gx=0 Gy=-G=-15 kN T的投影：Tx=-Tsin30° Ty=Tcos30° N的投影：Nx=Nsin30° Ny＝Ncos30° （3）将上述投影表达式代入平衡方程，可得出下列方程： ∑Fx=Gx+Tx+Nx=0-Tsin30°+Nsin30°=0 ∑Fy=Gy+Ty+Ny= -G+Tcos30°+Ncos30°=0 经过公式变换，可整理为： T=N （T+N）cos30°=G 由此得: T=N=15÷2cos30°=8.66 kN T和N的方向如图c所示 【例3—3】如图3—3a所示三角支架中，已知物体的重量G=10kN，求杆AC和杆BC所受的力。 a） b） a）已知条件 b）受力图 解： （1）取铰C为研究对象。因杆AC和杆BC都是二力杆，所以两杆在C端的约束反力NAC和NBC的作用线都沿杆轴方向。现假设NAC为拉力，NBC 为压力，画受力图如图3-3b所示。 （2）选取直角坐标系如图3-3b所示。 （3）列平衡方程，求解未知力NAC和NBC ∑Fx=NBC－NACcos60°=NBC－NAC ×0.5=0 （1） ∑Fy= NACsin60°－G=NAC ×0.866－10=0 （2） 由式（2）得NAC =10/0.866=11.55kN（↖） 由式（1）得NBC =NAC ×0.5=5.77kN （→） 因求出的结果均为正，说明受力图中两杆假设的指向与实际指向一致，即杆AC受拉，杆BC受压。 用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤： 1．取：选取适当的研究对象。 2．画：分析研究对象的受力情况，画出其受力图，约束力方向不能确定者应先假设。 3．选：选取直角坐标系，最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。 4．列：列平衡方程，列平衡方程时注意各力投影的正负号。 5.解：求解未知量，求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同，如果是负值，则表示该力的实际指向与受力图中所假设的指向相反。 第三节 力矩和力偶 一、力矩 力矩的定义为：力矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积。 力F对O点的力矩用MO（F）表示，计算公式为： MO（F）=±Fd 式中，d为力臂，矩心O到力F的垂直距离。 力矩正负规定：力使物体绕力矩中心逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。 力矩的单位：N·m（牛·米）或KN·m（千牛顿·米）。 力矩的性质： 1．当力的大小等于零，或者力的作用线通过矩心（即力臂等于零）时力矩等于零。 2．当力沿作用线移动时，不会改变力对某点的矩。这是因为力的大小、方向及力臂的大小均未改变。 【例3—4】如图所示，若F1和F2的大小分别为10 kN和30 kN，求MO（F1）和MO（F2）。 例3—4图 解： MO（F1）=F1.d1=10×1×sin30o =5 kN·m MO（F2）=-F2.d2=-30×1.5=-45 kN·m 二、合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任意一点O的力矩等于所有各分力对于该点的力矩的代数和，这个定理称为合力矩定理，即： MO（R）=∑MO（Fi） 式中，R为合力，Fi为平面汇交力系合力R的分力。 这个定理同样适用于有合力的其他平面力系。 实例：司机操纵方向盘（见下图）、木工钻孔（见下图）以及人们用两个手指开关自来水龙头或拧钢笔套等等，在方向盘、木头、自来水龙头、钢笔套等物体上作用了大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力。 三、力偶 两个大小相等、方向相反、作用线不重合的平行力组成的力系称为力偶。用符号（F，F′）表示。 力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。 力偶矩：力和力偶臂的乘积前冠以正、负号作为力偶对物体产生转动效应的度量。用M（F，F′）或M表示，即： M（F，F′）=M=±Fd 正、负号规定：物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；使物体顺时针方向转动时，力偶矩为负。力偶矩的单位也与力矩相同，为N·m（牛·米）或kN·m（千牛顿·米）。 力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面。 力偶的表示：有时也用一带箭头的弧线表示力偶，如图所示，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。 四、力偶的性质 1．力偶在任一轴上的投影等于零。 2．力偶没有合力，不能用一个力来代替 力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 3．力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。 4．同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。 【例3—5】 ：计算(1)各力偶分别对A、B两点的力矩。 (2)各力偶在X、Y轴上的投影。 （a) (b) 解：图 (a) MA(m)= MB(m)=10KN.m 力偶在x、y轴上的投影均为零 图（b) MA(m)= MB(m)=2KN.m 力偶在x、y轴上的投影均为零 第四节 平面一般力系 一、平面力系概念 平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。 平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，下图a所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载FP，风荷载FQ以及两端支座的约束反力FAX、FAY、FB作用 ，这些力组成平面一般力系， 如下图b所示。 在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。 a）　　　　　　　　　　 b） 如下图a所示的挡土墙，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m 的堤段来考虑，它所受到的重力、土压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如下图b所示。 a） b） 挡土墙 二、本章重点 平面一般力系的平衡条件及应用 三、力的平移定理 如下图a所示，在刚体A点上作用一力F，现将该力平移到刚体平面上的任意一点O。 先在O点添加一对平衡力F′和F″，且使这对平衡力的大小等于F，作用线平行于F作用线，如下图b所示。根据平衡力系的性质，添加平衡力系不会影响原力系的作用效应，因此图b和图a等效。 因为F和F″大小相等、方向相反、作用线平行，所以F和F″便形成了一对力偶（F，F′），该力偶称为附加力偶。只要知道O点到F作用线的距离d，就能求出该力偶矩的大小： M（F， F′）=Fd=MO（F） 由上式可知，附加力偶矩的大小及方向与F对O点的力矩相同。这样，原作用于A点的力F就与作用于O点的力F′加上F对O点产生的力矩等效，如上图c所示。 力的平移定理：当作用在刚体上某点的力平行移动到该刚体上的任意一点O而不改变其作用效果时，必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点O的力矩。 力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。 如下图a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用。为分析F的作用效应，可将力F平移到柱的轴线上的O点上。 a) b) 根据力的平移定理得一个力F′，同时还必须附加一个力偶，如下图b所示。力F经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。 第一章 印刷纸张 四、平面一般力系的平衡条件 1．平衡方程的基本形式 式中：∑Fx=0表示力系中各力在直角坐标系x轴上的投影的代数和等于零。 ∑Fy=0表示力系中各力在直角坐标系y轴上的投影的代数和等于零。 ∑MO（F）=0表示各力对任意一点O的力矩的代数和等于零。 【例3—6】 ：如下图a所示，已知F的大小为20 kN，梁自重不计，求简支梁AB两端的支座反力。 a）已知条件 b）受力图 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 解： 取AB梁为研究对象，画受力图如上图b所示。 简支梁AB所受的力组成了平面一般力系，根据平面一般力系平衡方程的基本形式列出平衡方程。 由 ∑Fx=0 得 RAx-Fcos30°=0 RAx= Fcos30°=20×0.866=17.32kN（→） 由 ∑MA（F）=0 得-F×sin30°+RB×L=0 RB=F×sin30=5kN（↑） 由 ∑Fy=0 得 RAy-Fsin30°+ RB =0 RAy = Fsin30°- RB =5kN（↑） 支座反力得数为正，说明原假设的指向与实际受力方向一致；得数为负，说明原假设的指向与实际受力方向相反，最后可将各反力正确的指向表示在答案后的括弧内。 平面一般力系平衡问题解题的步骤总结如下： （1）选取研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的物体为研究对象。 （2）画受力图。画出研究对象所受的主动力和约束反力。 （3）列出平衡方程求解。以解题简捷为标准，选取适当的平衡方程的形式、投影轴和矩心，通常应力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，以避免求解联立方程组。 （4）解平衡方程，求出未知量。 （5）列出非独立的平衡方程以检查计算结果是否正确。 【例3—7】 ：悬臂刚架尺寸和受力如图a所示，求支座A的约束反力。 a）已知条件 b）受力图 解：取刚架为研究对象，其受力图如图b所示。根据平面一般力系平衡方程的基本形式列出平衡方程 由 ∑FX=0 得 FAX=0 ∑FY=0 得FAY-4×3-5=0 FAY=4×3+5=17KN（↑） ∑MA（F）=0 MA-4×3×1.5-5×3=0 MA=4×3×1.5+5×3=33kN·m（ ） 2、平面一般力系平衡方程的其它形式 平面一般力系的平衡方程除了基本形式外，还有其他两种形式： （1）二矩式（三个平衡方程中有两个力矩平衡方程） ∑Fx=0 ∑MA（F）=0 ∑MB（F）=0 式中，A、B两矩心连线不能与x轴垂直。 （2）三矩式（三个平衡方程均为力矩平衡方程） ∑MA（F）=0 ∑MB（F）=0 ∑MC（F）=0 式中，A、B、C三矩心不能共线。 平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。 Thank you 中国劳动社会保障出版社 $$