4.8 图形的位似 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

① P A ② ③ ④ ⑤ B C D E F . . 4.8图形的位似 1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 相似：相似比. 平移：平移的方向，平移的距离. 注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具，它不但装点了我们的生活，而且是学习后续知识的基础. 下面请欣赏如下图形的变换 旋转：（中心对称）旋转中心，旋转方向，旋转角度. 轴对称：对称轴. 回顾思考 一个点光源把一个图形照射到一个平面上、这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。中心投影的投影线交于一点。 生活中的位似 下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？ 有什么关系？ 观察与思考 1．位似图形的概念 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点P、P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=kOP，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. k为位似比。 概念 1．两图形相似． 同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条件缺一不可． 2．每组对应点所在直线都经过同一点 3．对应边互相平行或在同一直线 ＯP'=kOP（P，P’为对应点） 注意： 1.下列相似图形是否是位似图形？如果是请指出位似 中心，如果不是请说明理由。 B A C E D F E D C B A H G 思考：是否相似图形都是位似图形？ 不一定 位似的判断 判断下面的正方形是不是位似图形？ （1） 不是 A C D B F E G 位似图形是相似图形的特殊情形. 相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形. 思考：位似图形有何性质？ 作出下列位似图形的位似中心： O O 9 观察下图中的五个图，回答下列问题： （1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有 什么位置关系？ 位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内还可以在一个图形的边上或顶点. 10 议一议 观察下图中的五个图，回答下列问题： （2）在各图中，任意一对对应点到位似中心的距离比k（位似比）与相似比有什么关系？ 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 11 议一议 观察下图中的五个图，回答下列问题： （3）在各图中，每组对应线段有何位置关系？ 平行或在一条直线上 12 议一议 2. 位似图形的性质 （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比 等于相似比. （3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）. （1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质 13 概念与性质 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1 : 2，则OA：OA’=（ ）. O A A’ B C B’ C’ 1 : 2 牛刀小试 D E F A O B C D E F O A B C 利用位似可以把一个图形放大或缩小 1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍. 画位似图形的 步骤有哪些？ 图形与画法 A′ B′ C′ 例题 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 16 A′ B′ C′ 17 例题 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 17 位似图形的概念： 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点P、P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=kOP，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. k为位似比。这时的相似比又称为位似比. 位似图形的性质： 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质. 2.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3.位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）. 小结 我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换。相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 19 B' A' x y B A o 在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小. A′(2,1), B′(2,0) 观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现? 位似变换与坐标 B' A' x y B A o 在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小. A′(2,1)，B′(2,0) A〞 B〞 A〞(-2,-1)，B(-2,0) 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现? 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 1.△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,0)，C(-2,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A'的坐标为_____. A′( 4,6 )或（-4，-6） B′( 4,0 )或（-4，0） C′( -4,4 )或（4，-4） 小试牛刀 2.如果四边形ABCD的坐标分别为A(-6，6），B(-8,2)，C(-4,0)，D(-2,4)，写出以原点为位似中心，相似比为(1/2)的一个图形的对应点的坐标. 参考答案： 小试牛刀 3. 如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）. 画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC面积的 ，并分别写出A′，B′，C′三点的坐标. O x y （0，4） C （6，4） B （6，0） A 解：因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. · · · A′ B′ C′ ∴ A′，B′，C′三点的坐标分别为： A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2） 或A′（-3，0），B′（-3，-2），C′（0，-2）. 小试牛刀 我们学过的图形变换有： 平移，轴对称，旋转，位似. （1）平移： 上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移 左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移 （2）轴对称: 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 （3）旋转: 绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数 （4）位似: 以原点为位似中心，相似比为k：位似图形对应点的坐标的比等于k或-k 1.画出基本图形 2.选取位似中心 3.根据条件确定对应点，并描出对应点 4.顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形 一、定义及性质： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 二、位似图形的画法： 三、位似变换与坐标的关系： 课堂小结 $$