12.2三角形全等的判定 预习讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

12.2三角形全等的判定预习讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 典例分析 1．已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据线段的和差及平行线的性质得出，由“”可证，根据全等三角形的性质得到，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．如图1，和中，，，，连、． (1)求证：； (2)如图2，延长交于F，连，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）根据得到，证明即可得到答案； （2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中 ∵， ∴， ∴； （2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 精选好题 一、单选题 1．已知中，，，则中线的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，已知．下列条件中，不能作为判定的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件中，不能证明的是（    ） A． B． C． D． 4．在和中，已知，添加下列条件中的一个，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 7．如图，在中，，，垂足分别为D，E，、交于点H，已知，，则的长是（ ） A． B．1 C． D．2 8．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是 ． 10．已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，则点坐标为 ． 11．如图，，，点在上，连接，，若，，，，则长为 ． 12．要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 13．如图，在和中，，，，若，，，则的度数是 ． 14．如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 ． 15．在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ． （2）若，，则的长是 ． 16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 三、解答题 17．如图，点在一条直线上，，求证：． 18．已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 19．完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在中，，交于点E，于点D，．若，求的长．    解：∵， ∴①_____________ ∵， ∴， ∴在中，， ∴②_____________， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（④_____________）， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证： (2)若，求的度数． 21．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕点旋转到图位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图位置时，试问：、、有怎样的等量关系？并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B B C B D 1．D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等知识点．延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到，使，则，则连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴ 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，由可判断，该选项不合题意； 、，，，由可判断，该选项不合题意； 、，，，由可判断，该选项不合题意； 、，，不能判定，该选项符合题意； 故选：． 3．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据选项中所给的条件结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A. 可利用判定，故此选项不合题意； B. 可利用判定，故此选项不合题意； C. 不能判定，故此选项符合题意； D. 可利用判定，故此选项不合题意. 故选：C. 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法“边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角边”是解题的关键，注意“边边角”不能证明三角形全等． 【详解】解：A、添加，可运用“边角边”证明，不符合题意； B、添加，不能证明，符合题意； C、添加，可运用“角边角”证明，不符合题意； D、添加，可运用“角角边”证明，不符合题意； 故选：B ． 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可． 本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴ 解得． 故选B． 8．D 【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键； 由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据即可得到与原图形全等的三角形， 即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等， 故答案为：． 10．或 【分析】本题主要考查可坐标与图形，全等三角形的判定以及性质，正确作出图形是解题的关键．根据题意作出图形，点N和即为所求，过M作轴于A，过N作轴于B，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，同理可得． 【详解】解∶根据题意画出图形，点N和即为所求， 过M作轴于A，过N作轴于B， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 故答案为∶ 或    11． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法． 首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明，即可推出，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．证明，可得，，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 15． /60度 9 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数； （2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 16．2或3 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可． 【详解】解：设点运动时间为秒，则， 当时，与全等， 此时， 解得 此时，点的运动速度为（厘米/秒） 当时，与全等， 此时， 解得 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 17．证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 18．证明见解析． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 21．(1)见解析 (2)、、的等量关系是，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质，解题的关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进行转化． （1）由，得，而，，则，根据等角的余角相等得到，易得，推出，，即可证明； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）、、的等量关系是．理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$