第3单元分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第3单元分数除法讲义-数学六年级上册人教版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 一、倒数: 1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。　(要说清谁是谁的倒数)。 2、求倒数的方法： (1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 (4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。 3、1的倒数是1；因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，(分母不能为0)   4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。 二、分数除法: 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 × 因数 = 积     除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。  3、分数除法比较大小时的规律： (1)当除数大于1，商小于被除数; (2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数; (3)当除数等于1，商等于被除数。 三、分数除法解决问题 1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程  用 X×分率=具体量  (2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法： 即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 2、看分率前有没有比多或比少的问题； 分率前是“多或少”的关系式：  （比少）：具体量÷ (1-分率)= 单位“1”的量； （比多）：具体量　÷ (1+分率)= 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：  用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数 即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 5、工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（1÷时间+1÷时间），（工作效率=1÷时间） 第二部分 典型例题 1．盛世迎盛会，伟业耀千秋。历阳三小于2022年10月10日开展了“喜迎二十大，读书向未来”读书节活动。小星看一本课外书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩下57页没有看，这本书有多少页？（列方程解答） 【答案】90页 【分析】设这本书有x页，将这本书的页数看作单位“1”，1－第一天看了全书的几分之几－第二天看了全书的几分之几＝还剩全书的几分之几，根据这本书的页数×还剩全书的几分之几＝还剩的页数，列出方程解答即可。 【详解】解：设这本书有x页。 （1－－）x＝57 x＝57 x÷＝57÷ x＝57× x＝90 答：这本书有90页。 2．《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（斗） 答：这个人原来背斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 第三部分 跟踪训练 一、选择题 1．下列互为倒数的两个数是（    ）。 A．和0.75 B．0.4和0.6 C．和 D．和 2．甲、乙两条绳子的一部分被遮挡住了（如图），下面说法正确的是（    ）。 A．甲绳的长度是乙绳的。 B．甲绳的长度是乙绳的。 C．甲绳的长度是乙绳的。 D．甲绳的长度是乙绳的。 3．如果a是一个非0自然数，下面各式中计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D．0÷ 4．苹果树有40棵，比枇杷树多，那么苹果树比枇杷树多（    ）棵。 A．6 B．8 C．10 D．32 5．甲数的是45，乙数是45的。甲数和乙数比较，结果是（    ）。 A．甲数＞乙数 B．甲数＜乙数 C．甲数＝乙数 D．不能确定 6．为了得到3÷的结果，同学们呈现了下面几种探究方法，合理的是（    ）。 ①3÷＝（3×5）÷（×5）＝15÷3 ②3÷＝3÷（3÷5）＝3÷3×5 ③ ④3÷＝÷＝15÷3 A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 7．( )的倒数是0.85，( )没有倒数。 8．( )( )( )。 9．64km的是( )km，( )kg的是30kg。 10．把米的丝带平均截成3段，每段是米的( )，每段长( )米。 11．做一项工作，如果甲乙两队合作，10天可以完成，如果甲队单独做15天可以完成；如果乙队单独做，( )天可以完成。 12．挖一条3千米长的水渠，每天挖它的，( )天可以挖完。 三、判断题 13．写出的倒数：。( ) 14．×8÷×8＝1。( ) 15．甲数的是乙数的，那么乙数是甲数的2倍。( ) 16．把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。( ) 17．A比B多，也就是B比A少。( ) 四、计算题 18．直接写得数。                           19．脱式计算，能简算的要简算。                                20．解方程。              五、解答题 21．一个养兔场卖出兔子总只数的后，还剩1200只。这个养兔场原有兔子多少只？ 22．小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 23．中国二十四节气中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天，一般在每年的12月22日前后。当天，北京的白昼时长是黑夜时长的，白昼和黑夜分别是多少小时？（先画线段图，再列方程解答） 线段图： 24．老刘和小李合作一项工作需要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这项工作需要几天才能完成？ 25．有一个长方形通道（如图），一只老鼠从A点出发，沿着A→D→C的方向逃跑，同时一只猫也从A点出发，但沿着A→B→C的方向去捕老鼠，结果在E点捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，CE的长是120米，这个长方形通道的全长是多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B A D 1．C 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此分别求出各选项两个数的积，乘积是1的两个数互为倒数，据此判断即可。 【详解】A．×0.75＝×＝，和0.75不是倒数关系； B．0.4×0.6＝0.24，0.4和0.6不是倒数关系； C．×＝1，和互为倒数； D．×＝×＝，和不是倒数关系。 互为倒数的两个数是和。 故答案为：C 2．A 【分析】分别将甲、乙两条绳子的长度看作单位“1”，露出的部分一样，都是3段，分别用露出的段数÷对应分率，求出甲、乙两条绳子的总段数，甲绳子的总段数÷乙绳子的总段数＝甲绳的长度是乙绳的几分之几。 【详解】甲：3÷＝3×＝4（段） 乙：3÷＝3×＝5（段） 4÷5＝ 甲绳的长度是乙绳的。 故答案为：A 3．B 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；乘1等于原数；0除以任何数都等于0，据此分析。 【详解】A．＜1，＜a B．＜1，＞a C．＝a D．0÷＝0 计算结果最大的是。 故答案为：B 4．B 【分析】将枇杷树棵数看作单位“1”，苹果树棵数是枇杷树的（1＋），苹果树棵数÷对应分率＝枇杷树棵数，苹果树棵数－枇杷树棵数＝两种树的数量差，据此列式计算。 【详解】40－40÷（1＋） ＝40－40÷ ＝40－40× ＝40－32 ＝8（棵） 苹果树比枇杷树多8棵。 故答案为：B 5．A 【分析】甲数的是45，以甲数为单位“1”，已知一个数的几分之几，求这个数用除法。乙数是45的，以45为单位“1”，求一个数的几分之几用乘法。 【详解】甲数： 乙数： 81＞25 故答案为：A 6．D 【分析】①利用商不变的性质去计算； ②利用分数与除法的关系以及连除的计算方法去计算； ③利用数形结合的方法计算3里面有几个； ④把整数化成分数，利用商不变的性质去计算。 据以上分析进行判断选择即可。 【详解】①被除数和除数同时乘5，商不变。 方法合理。 ②利用分数与除法的关系，将分数改写成3÷5，再按连除的计算方法改写成3÷3×5。 方法合理。 ③根据除法的意义，利用画图的方法探究3里有多少个。 方法合理。 ④把3改写在，被除数和除数同时乘5，商不变。 方法合理。 题中的四种计算方法都是合理的。 故答案为：D 7． 0 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数；0没有倒数；求小数的倒数，先将小数化为分数，再将分数的分子、分母互换位置即可；据此解答。 【详解】，所以的倒数是0.85，0没有倒数。 8． 3 /0.4 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将带分数和小数都化成假分数，交换真分数和假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数。 【详解】、2.5＝ 3 9． 16 120 【分析】求64km的是多少km，把64km看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 求多少kg的是30kg，把要求的质量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】64×＝16（km） 30÷ ＝30×4 ＝120（kg） 64km的是16km，120kg的是30kg。 10． /0.3 【分析】把这条丝带的全长看作单位“1”，把“1”平均截成3段，用1除以3，求出每段是全长的几分之几，计算结果不带单位； 把米的丝带平均截成3段，用这条丝带的全长除以3，求出每段的长度，计算结果带单位。 【详解】1÷3＝ ÷3 ＝× ＝（米） 每段是米的，每段长米。 11．30 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作效率＝工作量÷工作时间，如果甲乙两队合作，10天可以完成，则甲乙的工作效率和为，甲队单独做15天可以完成；所以甲的工作效率为，所以乙的工作效率为，工作时间＝工作量÷工作效率，据此即可算出如果乙队单独做，几天可以完成。 【详解】将工作总量看作单位“1”， 甲乙工作效率和： 甲的工作效率： 乙的工作时间： （天） 即如果乙队单独做，30天可以完成。 12．4 【分析】把一条水渠的全长看作单位“1”，每天挖它的，求几天可以挖完，就是求“1”里面有几个，用除法计算。 【详解】1÷ ＝1×4 ＝4（天） 4天可以挖完。 13．× 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，则求一个数的倒数用1除以这个数即可。 【详解】1÷＝1×＝，的倒数是，，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】理解倒数的实际含义是解题的关键。 14．× 【分析】按照计算顺序从左至右依次计算出结果，即可判断。 【详解】×8÷×8 ＝×8×8×8 ＝1×8×8 ＝64 原题计算结果错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查分数乘除法的计算。 15．√ 【分析】根据题意可知，“甲数×＝乙数×”，假设甲数是3，进而求出乙数，再判断即可。 【详解】假设甲数是3； 3×÷ ＝2÷ ＝6 6÷3＝2 乙数是甲数的2倍，原题说法正确； 故答案为：√ 【点睛】本题采用了假设法，使题目具体化、简单化。 16．√ 【详解】把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。例如：把一个正方形平均分成4份，每份是它的，3份是它的。 故答案为：√ 17．× 【分析】把B看作单位“1”，A比B多，则A占B的（1＋），B比A少的分率＝（A－B）÷A，据此解答。 【详解】（1＋－1）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 所以，A比B多，也就是B比A少。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握求一个数比另一个数少几分之几的计算方法是解答题目的关键。 18．0；；4； ；；； 【详解】略 19．2； 26； 【分析】（1）（3）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先算除法，再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算； （4）先算除法，再算减法。 【详解】（1） （2） （3） （4） 20．； 【分析】先计算方程左边的分数乘法的积，方程两边同时减去这个积，再同时除以即可； 先计算未知数前面括号里的分数减法的差，方程两边再同时除以这个差即可。 【详解】 解： 解： 21．4200只 【分析】养兔场原有的兔子数量看作单位“1”，卖出部分占，则剩余部分占1－＝，也就是说1200只对应兔子总只数的，要求单位“1”就用1200除以。 【详解】1200÷（1－） ＝1200÷ ＝1200× ＝4200（只） 答：养兔场原有兔子4200只。 22．4页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的1页对应，用1除以的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： ＝ ＝ 总页数： ＝ ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－） ＝ ＝ ＝4（页） 答：小明还剩4页作业没做。 23．作图见详解；9小时；15小时 【分析】将黑夜时长看作单位“1”，画一条线段表示黑夜时长，将这条线段平均分成5份，白昼时长相当于其中3份的长度，据此作图，并标注信息。全天24小时，设黑夜是x小时，则白昼x小时，根据白昼时长＋黑夜时长＝全天时长，列出方程求出x的值是黑夜时长，全天时长－黑夜时长＝白昼时长。 【详解】 解：设黑夜是x小时。 x＋x＝24 x＝24 x÷＝24÷ x＝24× x＝15 24－15＝9（小时） 答：白昼和黑夜分别是9小时、15小时。 24．18天 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，把工作总量看作单位“1”，两人合作的工作效率是，根据题目已知“老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能做完”可以转化为“老刘和小李合作8天后，小李再做天才能做完”。因为两人合作的工作效率不变，故两人合作8天的工作量就是乘8，再用“1”减去两人合作了8天的工作量，剩余的就是小李要单独做的工作量，用它除以小李单独做的工作时间，就能求出小李的工作效率。最后再用“1”除以小李的工作效率，就是小李单独做这项工作需要花费的时间。 【详解】小李工作效率： 工作时间： （天） 答：小李单独做这项工作需要18天才能完成。 25．840米 【分析】已知老鼠的速度是猫的，在相同时间内，老鼠所行的路程也是猫的，可以设在E点捉住了老鼠时，猫行了米，则老鼠行了米； 从图中可以看出，如果猫少走120米，老鼠多走120米，它们会在C点相遇，则猫和老鼠所行的路程相等，都是长方形的长、宽之和；由此得出等量关系：猫所行的路程－120＝老鼠所行的路程＋120，据此列出方程，并求出猫所行的路程； 然后用猫所行的路程减去120，求出长方形的长、宽之和，再乘2，即是长方形的全长。 【详解】解：设在E点捉住了老鼠时，猫行了米，则老鼠行了米。 －120＝＋120 －＝120＋120 ＝240 ＝240÷ ＝240× ＝540 全长： （540－120）×2 ＝420×2 ＝840（米） 答：这个长方形通道的全长是840米。 【点睛】明确相遇问题中，时间相同时，速度比等于路程比；结合图形找出等量关系，按等量关系列出方程是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$