22.1.1二次函数 教学设计2024-2025学年人教版数学九年级上册

课题名称 （概念课、新授课） 人教版九年级上-22.1.1二次函数 设计人： 教学目标分析 数学课程目标 义务教育阶段，在数学课程中，应当注重发展学生的抽象意识、空间观念、几何直观、推理能力、运算能力、模型思想和数据观念。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 单元教学目标 二次函数 (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 (2)会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 (3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 (4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 (5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 课时教学目标 (1) 掌握（在理解的基础上，把对象用于新的情境。）二次函数的定义，初步运用二次函数的一般式解决简单实际问题。 (2) 通过相关实例，培养观察力、创造想象能力，进一步培养数学抽象能力，利用观察、类比、分析、归纳的数学方法，提高逻辑思维能力，养成良好的思维品质。 (3) 在现实情境中，认识到数学源于生活并被应用到生活中，小到生活小事，大到国家大事，进一步培养应用意识和创新能力。 教学对象分析 教学对象 初三的14、15、16岁的中学生 认知发展状态 学生智力进入形式运算阶段，思维不必从具体事物和过程开始，可以利用语言文字，在头脑中想象和思维，重建事物和过程来解决问题，可以根据概念、假设等为前提，进行假设演绎推理，得出结论。 学习风格的分类 学生的学习风格大致分为具体序列型、具体随机型、抽象序列型、抽象随机型，因此要多种教学方法相结合，讲授法、讨论法、多媒体综合运用。 准备状态 学生在小学阶段已经学习过方程与正比例的思想，在八年级学习了一次函数，在九年级上21章学习了一元二次方程，具备学习二次函数的准备状态。 教学内容分析（课标、教材）-地位作用、核心素养、联系、数学事件、思想方法 课标分析（内容-关联知识；难度深度-学段学习要求；延伸-评价、综合素养） 二次函数是数与代数中的重要内容，在培养学生的逻辑思维能力和辩证唯物主义观点具有重要作用。函数是一种具有普遍意义的数学模型，在实际生活中有广泛的应用。本节主要是关于二次函数的概念课，通过具体的情境归纳出二次函数的概念，并对此做进一步的深化。通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。本节是在学习一次函数、正比例函数、一元二次方程后的内容，同时也为后续学习二次函数的图像性质奠定基础。 教材分析（知识结构；教育价值；教学策略；教材处理） 二次函数作为函数体系中的重要分支，广泛应用于生活实际中。它不仅是前面知识的延伸，同时也为一元二次方程与二次函数关系打下了基础，而且经过概念课中的相关二次函数图形的导入，为接下来学习二次函数的图像与性质做一定的铺垫。本节课通过具体的实例，利用直观想象，让学生更加生动的理解二次函数的特点。然后引出生活实际问题，通过变量之间的数量关系，写出对应的函数解析式，抽象出概念的过程，训练学生数学抽象的核心素养。 教学重难点 教学重点 本节重点是理解二次函数的概念。从教材角度出发，为后续的相关学习提供了基础；从知识的特点来看，蕴含着很多核心素养，例如数学抽象、数学建模与数学运算等；从学生的能力来看，解析式的归纳以及应用会提高其逻辑思维能力。 教学难点 本节难点是由实际问题确定函数解析式。从学生的认知水平来看，学生的建模以及运算能力都有待提高；从知识本身特点来讲，二次函数作为函数中的主干成分，其自身的抽象性会成为学生学习的难点。 教学策略的制定 教学组织形式的确定 集体授课、小组合作、个别化教学相结合 教学方法的选择 讲授法、演示法、讨论法、练习法、实验法，情感态度的直接强化法 教学信息技术的选择 几何画板、ppt 教学工具的选择 黑板、ppt 板书 22.1.1二次函数 特例： ; 。 一般式： 形如(其中是常数,) 指出二次项、一次项、常数项 1　 若，，，是正比例函数 2　 若，，，是一次函数 3　 若等式右边为常数，则（c为常数）是常数函数。 教学过程设计（与素养结合，每个环节预计时间） 教学环节 教师活动 学生活动（预设） 设计意图 （1） 复习回顾 Comment by 缥缈: 复习的目的是什么？不要蜻蜓点水，要通过正比例函数和一次函数的复习，让学生进一步理解，这些函数表示两个量之间的一种关系。从而引出，生活中是否还有其它的关系？（而不是“其它的函数”） 同学们,由之前的学习我们知道：一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。 那么同学们还记得我们已经学习过哪些函数呢？请举例说明，并回忆它的函数图象。 学生回答完毕，老师展示出一次函数和反比例函数的解析式与图象。 是的，通过函数的学习，我们已经知道如果我们要描述生活中变量之间的关系，我们就可以选用合适的函数来表示。 【预设】 邀请3位学生回答。 (1) 一次函数： 在某一个变化过程中，设有两个变量x和y,如果可以写成y= kx +b(k≠0) (k为一次项系数，b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数。特别的，当b=0时(y= kx(k≠0) )，称y是x的正比例函数。 如正方形的周长为C,边长为a,有C=4a（a大于0） (2) 反比例函数：若两个变量x, y之间的关系可以表示成 (k为常数, k≠0, x≠0) ，y是x的反比例函数, x、y不等于0。如长方形面积为a，一边长为x，另一边长（a大于0） 【意图】 1. 通过一次函数和反比例函数的复习，进一步理解，函数表示两个变量之间的关系。 2. 通过独立思考并举例，培养发散思维与应用意识。 （2） 概念探究 【引入】（展示图片） 不知同学们有没有留意过生活中的这些现象：投篮时篮球的运行轨迹，喷水时水流的路线，景区中拱桥的形状...... 那么这些形状能否用我们数学的语言和图形加以描述？我们应该怎么去描述？让我们走进二次函数的学习，来解答我们的疑问。 【新课】 先独立思考，再分3个小组分别讨论3个问题，最后邀请小组代表回答。 问题1：我们都知道正方体的六个面是全等的正方形。设正方体的棱长为x，表面积为y。显然，对于x的每一个值，y有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系是什么呢？ 问题2：n个球队参加比赛,每两球队之间只有一场比赛,场次m与球队数n有什么关系? 追问：这里式子为什么要乘2分之一？从哪里可以体现出？ 问题3：一种产品的年产量是20件，计划接下来两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示? 提问：第一年后这种产品的产量是多少? 第二年后呢? 第三年后呢? 自变量x的取值范围是什么? 【板书】 三个关系式，注意它们自变量的取值范围（都要大于0）： 1　 2　 3　 【引导】 请同学们观察它们有什么相同与不同之处？ 【总结】 它们是形式为的函数。 追问： 这里的a、b、c有什么条件吗？ 【板书-二次函数定义】 形如(其中是常数,)的函数叫做二次函数。我们把这种形式叫做二次函数的一般式。 这里“”、“”、“”分别叫做二次项、一次项和常数项。 其中“”分别是二次项、一次项的系数。 【概念理解】 那么根据我们以上列出的关系式，我们可以知道二次函数的特殊形式有哪些？ 补充：根据定义，也是二次函数的特例。 【板书-二次函数特例】 【预设】 教师用几何画板演示形状。 学生齐答：有 【预设】 第一小组代表回答 【预设】 第二小组代表回答 同学可能回答： 请同学指正： 【预设】 第三小组代表回答 第一年； 第二年： 第三年： 【预设】 请同学们独立思考，并请同学回答： 相同： 1　 它们都是等式 2　 它们的最高次数都是二次 3　 它们都有一个自变量、一个因变量 4　 它们一定有二次 5　 等式的左右两边都是整式 6　 它们都是函数（因为对于任意一个自变量都有唯一确定的一个因变量和它对应） 不同： 7　 可以没有一次项和常数项 【预设】 根据我们刚才的发现， 它们一定有二次，所以 是常数 【预设】 同学们一起回答： (1); (2)。 【设计意图】 1. 对二次函数的曲线形状进行初步感知，引发认知失衡，提高学习兴趣。 2. 问题意识贯穿始终，通过问题串的设置，让学生体会到函数来源于不同类型的数学现实，并在现实中抽象出函数模型。 3. 二次函数的不同形式，学生在观察、比较、归纳中体会二次函数的概念形成。 4. 通过小组学习与合作、个人独立思考与探究，使不同学生得到不同的发展，每一位学生都能得到发展。 （3） 概念辨析 Comment by 缥缈: 这一部分是本课的重点——概念的生成，从实际问题中关系抽象到数学上的二次函数。思考：为什么教材设计这几个例子？这些例子的区别与联系？通过例子，希望学生发现什么？这些问题想清楚了，你就会通过活动，引导学生发现、总结、归纳！二次函数的概念就水到渠成！我从你的设计里，没有看到这一部分的细节分析！ 【例1】观察以下式子，思考并交流： 1. 哪些是二次函数,指出函数的二次项、一次项和常数项。自变量的取值范围是什么? 2. 哪些不是二次函数?为什么？ (1) (2) (3) (4) （右边不是整式） (5) （未界定） (6) （化简后没有二次项，先化简后判断） (7) （因化简后与原式取值范围不同，故不能化简，不是二次函数。因此不能改变自变量的取值范围） 【思考】形如(其中是常数,)的函数叫做二次函数。为什么要强调，若会发生什么？ 【预设】 请同学们先独立思考，同桌之间再进行交流，看看你们想得一样吗。 【预设】 同学齐答：会变成一次函数！ 【补充】准确来说： 4　 若，，，是正比例函数 5　 若，，， 是一次函数 6　 若等式右边为常数，则（c为常数）是常数函数。 【设计意图】 1、 深入理解二次函数的概念、一般式、特殊式、各项、自变量取值范围。掌握二次函数的特征，为进一步学习二次函数图象与性质打下坚实的基础。 2、 新知与旧知建立起联系。类比辨析将概念得到深化理解。 （4） 概念巩固 【练习】请独立完成教材29页练习1、练习2，完成后小组交流并讨论，你还有什么疑问吗？ 【设计意图】 1. 学生自主学习、自己监控自己，培养良好的学习习惯。 2. 培养学生小组交流与合作意识。 （5） 回顾小结 快乐的学习时间总是转瞬即逝，我们一起来回顾一下本节课所学的内容吧！ 1. 本节课学习了二次函数,它的定义是什么?我们要注意什么？ 2. 从实际问题中列出的二次函数解析式，它的一般式和特殊式分别有哪些？ 3. 到现在为止，我们一共学习了哪些函数呢？它们与二次函数有何联系？ 4. 二次函数在生活中无处不在，你还有哪些收获和疑惑呢？ 【预设】 邀请学生畅谈和学生互评，最后教师总结。 【设计意图】 1. 学生是发展中的人，一节课重要的不是教师讲了什么而是学生收获了什么。 2. 重视学生在问题探究过程中的收获，过程性评价与多样化评价结合，让学生体会到数学的乐趣。 3. 利用板书,对本节课的知识、方法和数学思想进行梳理，培养他们整合知识能力和自我建构知识体系的习惯。 4. 同时，教师还可以知道学生不懂的内容，便于在今后的教学中及时弥补。 （6） 课后练习 1. 必做题： 己知函数 是二次函数，求的值。 2. 选做题： 练习编题,运用二次函数概念根据生活实例，编一道含有二次函数关系式的应用题,并在小组展示交流。 【设计意图】 1. 作业分必做和选做,分层教学、讲练结合，满足不同水平学生的发展需要。 2. 编题可以让学生在实际问题中更加直观的理解二次函数的概念，深化对二次函数模型的认识。 教学评价设计 通过学生、教师本人以及同行对本节课的评价以及建议。（具体略） 教学反思/设计理念 设计理念： 复习回顾-复习一次函数、反比例函数的概念与图象，回忆函数的概念，让学生体会现实中的数学，建立新旧知识间的联系。 情境引入-从不同视角展示二次函数的图象，引发认知失衡，进入今天二次函数的学习。 概念形成的教学-在学生身边的现实情境中渗透情感态度，设置一系列问题链，运用三个正例让同学们发现其本质特征，由此总结归纳出概念，明确概念的内涵和外延，运用概念变式、非概念变式和反例辨析理解概念，将二次函数的概念扩展至整个函数体系加深理解，并将概念应用深化。 最后及时总结回顾、练习巩固，让学生回忆，加深印象。 设计分层习题，使不同水平的学生得到不同发展。 反思: 对课标和教材的分析不到位，缺乏分析方法的积累与学习。 需积累相关题型，学习题型的原创、改编。 学生主体作用体现不足，需反思如何更加改进教学过程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$