专题03 直线与方程（压轴题，20题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题03 直线与方程（压轴题，20题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 6．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 7．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 8．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 三、填空题 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 11．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 12．（23-24高二上·江苏扬州·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 13．（23-24高二上·江苏南通·期中）若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是 . 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 四、解答题 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 17．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 18．（23-24高二上·江苏镇江·期中）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 19．（23-24高二上·江苏南京·期中）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 20．（23-24高二上·江苏苏州·期中）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与方程（压轴题，20题） 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】 先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：， 进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 6．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 7．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：    由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD    8．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】分类讨论直线的位置，从而求出面积函数的值域判断AD，建立方程求解判断C，根据二次函数根的分布判断B. 【详解】直线可化为， 联立，解得，故直线恒过点，设，， 由题意可得中取得，取得， 当即时，直线的截距式为，由题意， 因为，所以，故， 当且仅当，即，即时等号成立， 当即或时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当即时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当时，无解，此种情况不存在，综上，的值域是， 故选项D正确，A错误； 当时，若，则，即，解得或（舍去）， 此时，无解； 若，则，即，解得或（舍去）， 此时，解得，满足；综上，存在唯一实数m，满足题意，故选项C正确； 当时，，即，则， 该方程有两个正根，又为单调函数， 所以当时，方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 综上，对于所有的，方程有个不等实数解，故选项B正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线恒过的定点，然后表示出三角形面积函数，分类讨论求值域及方程根的个数，是个难题. 9．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断； 【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意，    由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，    即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，    即最大值为3，D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解. 三、填空题 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【答案】 【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得. 【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 11．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 12．（23-24高二上·江苏扬州·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】 根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】 根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 13．（23-24高二上·江苏南通·期中）若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是 . 【答案】 【分析】转化为点到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解． 【详解】由题意得存在，使得点在直线上 故点到原点的距离最小值为， 当时，取最小值，此时的最小值为， 故答案为： 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 四、解答题 16．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 17．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】本题的关键是理解折线距离的定义． （1）证明 ． 所以． （2）先考虑相异两点A，B的特殊情况，当A，B两点横坐标或者纵坐标相同时，AB即是平行于y轴或者x轴的直线段，符合条件的C点即为AB的中点（这属于折线的特殊情况——直线）．当A，B两点的横、纵坐标各异，即，时，不妨设，下面讨论，两种情况． 假设，则由条件①可得， 故，，即，． 又由条件②，即， 去掉绝对值符号可得， 即，也即． 同理，假设，当，时， 可得． 【反思】取点使，，验知此时点同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C满足题意，且所有符合条件的点C是线段AB的中点． 18．（23-24高二上·江苏镇江·期中）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 【答案】，，． 【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键. 19．（23-24高二上·江苏南京·期中）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】(1) (2)当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）则由题设得：，直线的方程为，， 由，且，解得，所以． 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，即， 所以， 即基地的长为． （2）设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处， 则，，所以， 爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立． 所以，即， 当时，上式恒成立； 当时，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 20．（23-24高二上·江苏苏州·期中）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； 【答案】(1) (2) (3)证明详见解析 【分析】（1）根据的定义以及已知条件求得和的值； （2）先求得的表达式，由此判断出的大小关系； （3）当时，将要证明的不等式，转化为证明，利用放缩法证得不等式成立. 【详解】（1）依题意，， . （2）依题意，， 因为，所以. （3）由于的图像是依次连接点的折线， 要证，只需证、 事实上，当时， . 下面证明： 对任何， ， 所以， 所以当时，. 【点睛】方法点睛：本题主要是新定义运算“加工”，解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$