专题02 直线与方程（二）（八大基础题型+优选提升，80题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题02 直线与方程（二）（八大题型，80题）（原卷版） 已知直线平行求参数 1．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线，，若两条直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或3 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为实数，已知直线：，：，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5或 3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D． 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）设a为实数，若直线与直线平行，则a的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 已知直线垂直求参数 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 7．（22-23高二上·江苏盐城·期中）直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 9．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线：和直线：垂直，则 ． 11．（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知直线过点和点，直线，直线.若，，则 . 12．（22-23高二上·江苏扬州·期中）若直线与垂直，则 . 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 14．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三个顶点是. (1)求边中线所在直线方程； (2)求边上的高线所在方程； 15．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知直线：，：． (1)若，求a的值； (2)若，求a的值． 由斜率判断两条直线平行与垂直 16．（22-23高二上·江苏泰州·期中）（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与直线垂直 C．若直线l与直线平行，则 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数 17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 18．（22-23高二上·江苏扬州·期中）（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 19．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 20．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 求直线的交点坐标 21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 22．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）（多选）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 25．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 26．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B. (1)当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程； (2)当的面积为时，求直线AB的方程. 由直线的交点坐标求参数 27．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 . 28．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 29．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 30．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 31．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 32．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 三线能围成三角形的问题 33．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（    ） A． B． C． D．6 34．（22-23高二上·江苏连云港·期中）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 35．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线l的方程为. (1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由. 平面上两点的距离 36．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·江苏苏州·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（23-24高二上·江苏盐城·期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 40．（22-23高二上·江苏连云港·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 42．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是 ，此时 ． 43．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 点到直线的距离 44．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 45．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二上·江苏扬州·期中）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 47．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 48．（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·江苏镇江·期中）（多选）已知直线，和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时 B．当时， C．直线过定点，直线定点 D．当平行时，两直线的距离为 51．（22-23高二上·江苏南通·期中）（多选）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 52．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 53．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 54．（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 55．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 56．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 57．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 58．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 59．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 60．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 一、单选题 61．（23-24高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 63．（23-24高二上·江苏扬州·期中）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 64．（23-24高二上·江苏泰州·期中）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 二、多选题 65．（23-24高二上·江苏南京·期中）下列说法错误的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．任意一条直线都有倾斜角和斜率 C．过，两点的所有直线，其方程均可写为 D．已知，，若直线：与线段有公共点，则 66．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则或 C．当时，不经过第一象限 D．使得原点到的距离为2. 67．（23-24高二上·江苏盐城·期中）下列命题说法正确的有（    ） A．已知直线与直线，若，则或 B．点关于直线的对称点的坐标为 C．原点到直线的距离的最大值为 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 68．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 69．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线，其中，则（　 ） A．直线过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D．若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 三、填空题 70．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 71．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为 ． 四、解答题 72．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 73．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 74．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． (1)求点的坐标； (2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 75．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求点B的坐标； (2)求直线的方程. 76．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 77．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线过直线和直线的交点． (1)若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线的倾斜角为，且，求直线的方程． 78．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 79．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． (1)已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； (2)已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围． 80．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离. (2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与方程（二）（八大题型，80题）（解析版） 已知直线平行求参数 1．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线，，若两条直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可. 【详解】因为，， 由可得且， 解得， 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为实数，已知直线：，：，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．5或 【答案】D 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得或， 当时直线：与直线：平行，符合题意； 当时直线：与直线：平行，符合题意. 综上可得：或. 故选：D 3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 【答案】C 【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解. 【详解】当直线与直线不相交时，，解得， 当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线，即与直线平行， 所以实数的值为. 故选：C 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】A 【分析】根据已知得出，求解得出的值，代入的方程检验，即可得出答案. 【详解】由可得，，即， 解得或. 当时，方程为，方程为不重合，满足； 当时，方程为，方程为，即，与重合，舍去. 综上所述，. 故选：A. 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）设a为实数，若直线与直线平行，则a的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行列式，由此求得. 【详解】由于两直线平行， 所以，解得. 故选：B 已知直线垂直求参数 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 7．（22-23高二上·江苏盐城·期中）直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 ，，若，则，由上述公式可得结果. 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，符合题意，故. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/（0.5） 【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可. 【详解】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据重心坐标公式得到，然后根据列方程得到的坐标，最后根据求点即可. 【详解】设， 因为重心，所以，即， 因为为垂心，所以，则，解得， 所以，，， 所以直线斜率不存在，则，， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线：和直线：垂直，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：， 故， 故答案为： 11．（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知直线过点和点，直线，直线.若，，则 . 【答案】 【分析】 根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解. 【详解】 由于直线的斜率为，且，直线的斜率为，解得.由于，的斜率为，直线的斜率为，， ∴，解得，∴. 故答案为： 12．（22-23高二上·江苏扬州·期中）若直线与垂直，则 . 【答案】4 【分析】对于一般式直线方程，由两直线垂直的系数之间的关系，代入求解即可. 【详解】由直线与垂直， 可得， 所以，. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，将直线化为，即可得到结果； （2）根据题意，由，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）方程可化为， 由解得 所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限． （2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，则，所以直线的方程为， 即． 14．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三个顶点是. (1)求边中线所在直线方程； (2)求边上的高线所在方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，然后根据条件及直线的截距式即得； （2）根据斜率公式，直线垂直的斜率关系及直线的点斜式方程即得. 【详解】（1）因为线段的中点，即，又， 因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，即， 所以边中线所在直线方程为； （2）因为直线的斜率：， 所以边上的高线的斜率：，又， 所以边上的高线所在方程为：，即. 15．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知直线：，：． (1)若，求a的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用直线的一般式方程及两直线平行的条件即可求解； （2）利用直线的一般式方程及两直线垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为直线：，：，有， 所以，即． 解得或， 当时，：，：，所以，符合题意； 当时，：，：，所以，符合题意； 综上，a的值为或． （2）因为，所以．解得. 所以a的值为． 由斜率判断两条直线平行与垂直 16．（22-23高二上·江苏泰州·期中）（多选）已知直线，其中，则（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与直线垂直 C．若直线l与直线平行，则 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断. 【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1， 而直线的斜率为， 所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确； 对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误； 对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确. 故选：ABD 17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD. 【详解】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； B：和的斜率有可能不存在，故B错误； C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线， 但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确； D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴； 直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD. 18．（22-23高二上·江苏扬州·期中）（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 【答案】BCD 【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确. 【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确； 对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确. 故选：BCD. 19．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 20．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）首先求出直线的方程，即可求出、，从而得证； （2）首先将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，得到，解得即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得，所以直线，即， 又直线，即， 所以，所以直线与垂直. （2）直线，， 因为直线，关于轴对称， 所以，解得. 求直线的交点坐标 21．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三条直线不能围成三角形可分为：有两条直线互相平行或三条直线相交于同一个点求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况： ，则有，解得； ，则有，解得； 相交于同一个点， 由， 解得代入，可得，解得； 故选:ABC. 22．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知两条直线，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与相交于点 D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于 【答案】ABD 【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可. 【详解】时，，所以，故A正确； 此时与坐标轴交于 所以D项所求面积，故D正确； 时，， 所以，，故B正确； 时，，解得，故C错误； 故选：ABD. 23．（23-24高二上·江苏泰州·期中）（多选）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案； （2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案. 【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为 联立，解得：， 点的坐标为， 中点为， 设点， ，解得， 即点的坐标为. （2）直角的斜边为， , 边所在直线的方程为,斜率为， 边所在的直线方程斜率为， 边所在的直线过点， 边所在的直线方程为，即. 24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与直线平行且经过定点的直线可设为，由题意直线过两直线和的交点，故只需联立方程组将交点坐标求出即可. （2）与直线垂直且经过定点的直线可设为，再结合（1）中的定点即可得解. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 若直线与直线平行， 则直线的方程为，整理得. （2）由（1）可得直线过点，若直线与直线垂直， 则直线的方程为，整理得. 25．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案； （2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程. 【详解】（1）设，由题意知，的中点在直线上， 则有，点坐标为. （2）由题意知关于的对称点在直线上， 则有边所在直线方程为，即. 联立方程有，解得， 又，则，则所在直线方程为， 即所在直线方程为. 26．（22-23高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知射线OA：，OB：.过点作直线分别交射线OA，OB于点A，B. (1)当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程； (2)当的面积为时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设，，，，从而求出的中点坐标，再结合条件建立等式，求得，即可得到直线方程； （2）法一：设，，，，根据A，P，B三点共线，得到与的关系式，再由，解得，即可得到直线方程； 法二：设直线AB的方程为，联立直线和射线求得点，再联立直线和射线求得点，再结合，即可求解. 【详解】（1）由题意设，，，，则线段AB的中点为， 因为线段AB的中点为P，所以，解得：，. 所以，，则直线AB的斜率. 所以直线AB的方程为，即. 故直线AB的方程为. （2）法一：设，，，， 因为A，P，B三点共线，所以，或， 解得：. 所以的面积为， 解得，. 所以，，则直线AB的斜率. 所以直线AB的方程为，即. 故直线AB的方程为. 法二：设直线AB的方程为， 联立，得，其中， 所以， 联立，得，其中， 所以， 所以， 解得：， 所以直线AB的方程为，即. 由直线的交点坐标求参数 27．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 . 【答案】 【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以. 故答案为： 28．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 29．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】 联立两直线方程可解得交点坐标，再结合交点在第一象限可得的取值范围，即可求得倾斜角的取值范围. 【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 30．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三条直线，和． (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到，解得即可； （2）首先求出与的交点，将交点坐标代入直线中，计算可得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，解得. （2）解：由， 解得，即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以，解得. 31．（22-23高二上·江苏常州·期中）设为实数，已知直线：，：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点在直线上，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线平行则斜率相等，列出等式求解即可； （2）求得两直线的交点坐标，再根据其满足，解方程即可. 【详解】（1）因为两直线平行，则斜率相等， 故可得，解得. （2）联立，解得两直线的交点坐标为， 又因为其满足直线，则， 即，解得或， 当时，两直线平行，无交点，故舍去，则. 32．（22-23高二上·江苏南京·期中）已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)4； 【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围． （2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第四象限，则, 解得， ∴k的取值范围为； （2）由题意可得中取得, 取得, 故， 当且仅当时，即时取“=”， 此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒ 三线能围成三角形的问题 33．（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】ACD 【分析】 对直线的位置关系分三种情况讨论得解. 【详解】 由于三条直线，，不能构成三角形， 则直线存在以下三种情况； ①当与平行时，则，解得； ②当与平行时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得． 故选：ACD 34．（22-23高二上·江苏连云港·期中）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解. 【详解】由题意， 当三条直线和， 若时，可得； 当时，可得； 当时，则满足，无解； 当三条直线经过一个点时，把和的交点为， 代入直线中，可得，解得或， 综上可得，满足条件的为或或或. 故选：ACD. 35．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线l的方程为. (1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或 【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标. （2）求出A、B的坐标，根据的面积为9，求出m的值，可得结论. 【详解】（1）直线l的方程为， 即， 令，可得， 求得，， 可得该直线一定经过和的交点. （2）若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点， 则、，且， ，∴，或. 则的面积为， 即，即， ∴，或 . 故存在直线l满足条件， 且满足条件的出直线l的方程为，或. 平面上两点的距离 36．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 37．（23-24高二上·江苏苏州·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由重心坐标公式可得：重心，根据垂直平分线的性质设出外心，根据，求出外心，再求出斜率，利用点斜式即可求出欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 设外心，因为，所以，解得，即：. ，故欧拉线方程为：，即：， 故选：A. 38．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知，，，点D是直线上的动点，若恒成立，则正整数t的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解. 【详解】由题意知直线AC的方程为. 因为点D是直线上的动点，所以可设. 因为，所以， 化简得：对任意x恒成立, 所以，化简得, 解得或,结合t为正整数得：t的最小值为4. 故选：B 39．（23-24高二上·江苏盐城·期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果. 【详解】因为与的交点坐标为 所以， 当时， ， 所以的最大值是， 故选：B. 40．（22-23高二上·江苏连云港·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 41．（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可. 【详解】直线可得， 直线可整理为，令，解得， 所以， 因为，所以直线与直线垂直，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆， ，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 42．（23-24高二上·江苏连云港·期中）若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是 ，此时 ． 【答案】 18 7 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用代数式的几何意义可求代数式的最小值，从而可得取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则四边形为平行四边形， 而即为： . 而， 当且仅当为平行四边形的对角线的交点时等号成立，此时， 故的最小值为18，此 时即 故答案为：18，7. 43．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出边所在的直线方程； （2）求出点的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值； （3）求出边的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出边的高所在直线的方程. 【详解】（1）解：直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. （2）解：因为点、、，是边上的中点，则， 所以，中线的长为. （3）解：因为直线的斜率为，所以，边的高所在直线的斜率为， 因此，边的高所在直线方程为，即. 点到直线的距离 44．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可. 【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小， 为 故选：C 45．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 46．（23-24高二上·江苏扬州·期中）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为竹签所在的直线方程为， 设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式，可得，解得， 所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为. 故选：D. 47．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 48．（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案. 【详解】解：直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为， 则直线与直线的夹角为 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 49．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）（多选）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等， 因此直线存在斜率，设直线的方程为，即， 若点和点到直线的距离相等， 则，即，解得或， ∴直线的方程为或. 故选：BC. 50．（23-24高二上·江苏镇江·期中）（多选）已知直线，和直线，下列说法正确的是（    ） A．当时 B．当时， C．直线过定点，直线定点 D．当平行时，两直线的距离为 【答案】AD 【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可； B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可； D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可. 【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为， 此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确； 对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误； 对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点， 直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误； 对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或， 当时，两直线重合，舍去； 当时，直线为，为， 此时两直线的距离，故D选项正确. 故选：AD. 51．（22-23高二上·江苏南通·期中）（多选）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C．点到直线的距离为2 D．直线关于轴对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称的点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 52．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 53．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】已知两直线平行, 则，解得或， 当时，两直线方程相同，舍去， 当时，，， 则两直线间距离为. 故答案为： 54．（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】/ 【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可. 【详解】设：，圆心为，半径为 点关于的对称点为 则，解得，即 则“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 55．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 56．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程； （2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程． 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 57．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由的系数为0求得定点坐标； （2）记定点为，由直线可得． 【详解】（1）直线方程整理为， 由解得， 所以直线过定点． （2）记定点为，易知点到直线的距离，当时，， ，∴， 直线方程为，即． 58．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 59．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 60．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）利用平行关系设直线方程，利用平行线间距离公式，求直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率，因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即； （2）设直线， 则平行线与之间的距离，得或， 所以直线的方程是或, 一、单选题 61．（23-24高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点C的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答. 【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为， 依题意，，整理得：， 对于A，当时，，不满足题意，排除A； 对于D，当时，，不满足题意，排除D； 对于B，当时，， 对于C，当时，， 直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即， 由解得：，于是得的外心， 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为， 显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B； 若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即， 由解得，即点为的外心，并且在直线上， 边AB上的高所在直线：，即， 边BC上的高所在直线：，即， 由解得：，则的垂心，此时有， 即的垂心在直线上，选项C满足题意. 故选：C 【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为. 62．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与直线平行，则m的值为（    ） A．4 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】由直线 和 互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线 和 互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以 即 ，所以 . 故选：A 63．（23-24高二上·江苏扬州·期中）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先画图，再根据图像把长度关系转化为垂直关系即可. 【详解】如图所示，为中点，故， 又 所以中，， 于是， 故，即 所以，解得. 故选：C.    64．（23-24高二上·江苏泰州·期中）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（    ） A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 【答案】C 【分析】根据两线垂直求解即可； 【详解】解：因为直线与互相垂直， 所以， 即：， 解得：或 . 故选:C. 二、多选题 65．（23-24高二上·江苏南京·期中）下列说法错误的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．任意一条直线都有倾斜角和斜率 C．过，两点的所有直线，其方程均可写为 D．已知，，若直线：与线段有公共点，则 【答案】ABC 【分析】A由直线垂直的判定求参数判断；B注意垂直于x轴的直线；C注意垂直于坐标轴的直线；D求直线定点，数形结合法确定有公共点时参数的范围. 【详解】A：直线与直线互相垂，则或，故不是充要关系，错； B：对于垂直于x轴的直线，有倾斜角但无斜率，错； C：对于，显然，即垂直于坐标轴的直线不能用该方程，错； D：由过定点，则图象如下：    则，由图知：时直线与线段有公共点，对. 故选：ABC 66．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则或 C．当时，不经过第一象限 D．使得原点到的距离为2. 【答案】AC 【分析】利用直线平行、垂直关系列式计算判断AB；由直线的斜率、纵截距情况判断C；求出直线过的定点，计算原点到距离的最大值判断D. 【详解】直线， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由于时，直线与直线重合，B错误； 对于C，当时，直线的斜率，纵截距，则不经过第一象限，C正确； 对于D，直线恒过定点，原点到直线距离的最大值为，D错误. 故选：AC 67．（23-24高二上·江苏盐城·期中）下列命题说法正确的有（    ） A．已知直线与直线，若，则或 B．点关于直线的对称点的坐标为 C．原点到直线的距离的最大值为 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】A：根据两直线平行列出关于的方程，求解出结果后再检验是否重合，由此作出判断；B：设出对称点坐标，根据已知点和对称点的中点在已知直线上、已知点和对称点的连线垂直于已知直线求解出对称点坐标；C：先分析直线经过的定点，然后根据最大距离即为原点到定点的距离求解出结果；D：分别考虑直线的横纵截距是否为，由此求解出直线方程. 【详解】A：因为，所以，解得或， 当时，化简可得，所以重合，故A错误； B：设对称点为，所以，解得，所以对称点为，故B正确； C：因为即为， 令，解得，所以直线经过定点， 下面证明：当时，此时原点到直线的距离有最大值， 当转至任意位置且不垂直时，过点作，如下图所示： 此时显然为直角三角形，且为斜边，所以， 所以原点到直线距离的最大值即为原点到的距离，即为，故C正确； D：当直线的横纵截距均为时，设，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设，代入，解得， 由上可知，过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，故D错误； 故选：BC. 68．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线的点斜式方程可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．直线：与：之间的距离为 【答案】BC 【分析】根据点斜式方程判断A；根据斜截式方程判断B；设直线关于点对称的直线方程是，利用点到直线的距离公式求解判断C；利用平行线间距离公式判断D. 【详解】直线的点斜式方程不表示直线，故A不正确； 由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距为，故B正确； 设直线关于点对称的直线方程是， 由点到两直线的距离相等得，解得， 则直线关于点对称的直线方程是，故C正确； 直线：即，与：之间的距离为，故D不正确. 故选：BC. 69．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线，其中，则（　 ） A．直线过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D．若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 【答案】ABD 【分析】坐标代入方程检验判断A，根据垂直的条件判断B，求出两坐标轴上截距判断C，求出平行线间距离判断D． 【详解】选项A，把坐标代入直线方程而立，A正确； 选项B，时直线方程为，斜率是1，直线斜率是，两直线垂直，B正确； 选项C，时直线方程为，在轴上截距为，在轴上截距为，不相等，C错； 选项D，即或时，直线方程为与直线平行，距离为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 70．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 71．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出等腰三角形两腰所在直线的交点，再求出底边上的高所在直线的斜率即可求解作答. 【详解】由解得：，因此得等腰三角形的顶点坐标为， 因原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线斜率为， 所以等腰三角形底边所在直线斜率为3，方程为. 故答案为： 四、解答题 72．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 【答案】(1)(1)且 (2)(2) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）已知，直线， 若与平行，则，即，解得. 73．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案； （2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为. 直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与直线的方程，可得， 所以，直线与直线的交点为. 当直线过原点时，设方程为，代入点可得， 所以，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，由已知可设直线方程为， 代入点可得，，解得， 代入直线方程，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 74．（23-24高二上·江苏苏州·期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为． (1)求点的坐标； (2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点； （2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又的坐标为，所以直线的方程为，即． 因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，， 所以点的坐标为． （2）依题意可设直线的方程为（，），则． 因为，，所以，则， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为． 75．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求点B的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，直线的斜率为，则直线的斜率为1，由，可得直线的方程，直线和直线交点为B，可求出点B的坐标； （2）设点，根据中点坐标公式，可得点的坐标为，代入所在直线的方程可求出点C所在直线方程，联立所在直线的方程，求出点C的坐标，即可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】（1） 因为直线的斜率为，， 所以直线的斜率为1， 又因为， 所以直线的方程为， 联立，解得， 故点B的坐标为. （2）设点，所以. 因为点是边的中点， 所以点的坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为， 所以， 即. 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率， 故直线的方程为， 即. 76．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点，，. (1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可设直线，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据外心在的中垂线为可设，及到顶点距离相等列方程可得，结合重心求直线方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，显然不合题意，可设直线，即， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以直线的方程或. （2）因为的中垂线为，可设的外心， 又因为，可得， 则，解得，即， 由题意可知：的重心，则欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 77．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线过直线和直线的交点． (1)若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线的倾斜角为，且，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）联立两直线方程求出交点，分类讨论斜率是否存在两种情况，利用点到直线的距离分别求解直线方程； （2）由同角三角函数的关系知弦求切，得到直线的斜率，再由点斜式方程可得. 【详解】（1）由得：，∴ 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，其方程为，适合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 即 ∵ 坐标原点到直线的距离为， ∴ ，解得， 此时直线的方程为 ∴ 直线的方程为或． （2）∵ 直线的倾斜角为，且， 由，， ∴ ， ∴ 当时，直线的方程为； 当时，直线的方程为. ∴ 直线的方程为或 78．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据过点求出，再根据两直线垂直的充要条件即可求出； （2）先根据在两坐标轴上的截距相等求出，再根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线之间的距离公式即可得解. 【详解】（1）当过点时，，所以， 因为，所以，即，于是； （2）由：， 令，则，令，则， 因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故； 又，所以，所以， 则：与：之间的距离， 所以与之间的距离为. 79．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． (1)已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； (2)已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“共轭线对”的含义求直线方程即可； （2）根据题意得到，然后分别求出点到，的距离得到，最后根据基本不等式求范围即可. 【详解】（1）由题意得，与的交点为原点，且，解得， 所以直线的方程为. （2）由题意得，，， 设：，：， 点到，的距离分别为，， 则， 因为，当时等号成立，所以，， 所以点到，的距离之积的范围为. 80．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离. (2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)存在，3x＋4y－12＝0或 【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组， 可得定点的坐标，再求到直线的最大距离； （2）假设存在点和点满足条件，由条件列方程求 即可. 【详解】（1）将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. 当垂直与直线时，点到直线的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 所以，故， 所以直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以点到动直线的最大距离为； （2）假设存在点和点满足要求，则 ，解方程可得或， 所以直线的方程为或， 故存在直线或. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$