专题01 直线与方程（一）（八大基础题型+优选提升，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题01 直线与方程（一）（八大题型，60题）（原卷版） 直线的倾斜角 1．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 8．（23-24高二上·江苏南京·期中）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 直线斜率的定义 9．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·江苏常州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，点，则直线AB的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 12．（23-24高二上·江苏南京·期中）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 13．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（ ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 斜率与倾斜角的变化关系 14．（22-23高二上·江苏淮安·期中）经过两点，的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．1 D． 15．（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线上有点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D．2 17．（23-24高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 18．（22-23高二上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角取值范围是 B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 已知两点求斜率 19．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 20．（23-24高二上·江苏常州·期中）若过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江苏南京·期中）若将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·江苏盐城·期中）过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点，，共线，则 ． 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 26．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 27．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28．（22-23高二上·江苏泰州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·江苏苏州·期中）直线与线段没有公共点，其中，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 直线的点斜式方程 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 34．（22-23高二上·江苏无锡·期中）经过点且倾斜角为的直线方程为 ． 35．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 直线的两点式方程 36．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·江苏连云港·期中）直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B．5 C． D． 38．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（23-24高二上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 40．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 41．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 直线的一般式方程 42．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 43．（23-24高二上·江苏淮安·期中）（多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 44．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 45．（23-24高二上·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 46．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线与直线平行，则 ． 47．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 48．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 49．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 50．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 一、单选题 51．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在中，，AB的中点，重心，则BC边所在直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 52．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 53．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 54．（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 55．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 三、填空题 56．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线过点，且与以、为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 . 57．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为 . 58．（22-23高二上·江苏南通·期中）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 四、解答题 59．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程． 60．（22-23高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. (1)求直线的斜率； (2)求直线的方程. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与方程（一）（八大题型，60题）（解析版） 直线的倾斜角 1．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的概念求解即可. 【详解】根据直线倾斜角的概念和规定可知，. 故选：B. 2．（22-23高二上·江苏连云港·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可得到结果. 【详解】因为直线，即 所以，且 所以 故选:D. 3．（23-24高二上·江苏连云港·期中）经过两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由题意可知的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 5．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解. 【详解】因为直线过，两点，可得， 又因为，所以，可得， 设直线的倾斜角为，则，因为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 6．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为一条直线经过两点，， 所以该直线的斜率为， 则有该直线的倾斜角满足，因为， 所以， 故选：B 7．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】由于直线MN的倾斜角为，则该直线MN的斜率为， 又因为，，所以，解得. 故选：B 8．（23-24高二上·江苏南京·期中）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得. 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 直线斜率的定义 9．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围. 【详解】因为直线经过点，且不经过第三象限 所以， 又， 所以. 故选：D. 10．（22-23高二上·江苏常州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角. 【详解】因为一条直线经过两点和， 所以该直线的斜率为： 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 11．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，点，则直线AB的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】C 【分析】利用点的坐标求直线的斜率，再利用斜率的定义求倾斜角即可. 【详解】，设倾斜角为，，又，所以. 故选：C. 12．（23-24高二上·江苏南京·期中）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨把三角形的一个顶点放在原点，然后作图分析直角边所在直线的倾斜角，结合直线垂直的斜率关系可解. 【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示， 因为直线OA的倾斜角为，， 所以直线OB的倾斜角为或，即或， 因为，所以当时，； 当时，. 所以． 故选：B 13．（23-24高二上·江苏扬州·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（ ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ACD 斜率与倾斜角的变化关系 14．（22-23高二上·江苏淮安·期中）经过两点，的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得轴，再列式计算作答. 【详解】因为直线倾斜角为，则轴，而点，， 因此，解得， 所以. 故选：C 15．（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可. 【详解】，，即，； ，，即，； 为垂直于轴的直线，. 综上所述可得：. 故选：D 16．（22-23高二上·江苏南通·期中）已知直线上有点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求得正确答案. 【详解】因为直线上有点， 所以，解得， 又，所以l的倾斜角为2． 故选：D． 17．（23-24高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项. 【详解】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则，    所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 18．（22-23高二上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角取值范围是 B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A：直线倾斜角范围为，正确； B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误； C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确； D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC 已知两点求斜率 19．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接代入直线斜率公式即可. 【详解】经过，两点的直线的斜率是. 故选：B. 20．（23-24高二上·江苏常州·期中）若过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解. 【详解】过，两点的直线的斜率， 又直线的倾斜角为，即， 所以，解得， 故选：A. 21．（23-24高二上·江苏南京·期中）若将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可. 【详解】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线l的斜率. 故选：A. 22．（22-23高二上·江苏盐城·期中）过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率公式可求直线的斜率，从而可求直线的倾斜角. 【详解】设过，两点的直线的倾斜角为，， ∴， 可得. 故选：D. 23．（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解. 【详解】解：如图，以为原点建系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，， 且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为， 则，即点， 同理， 又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 24．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点，，共线，则 ． 【答案】3 【分析】利用的斜率相等，列出方程求解. 【详解】由，，三点共线， 可得，， 解得， 故答案为：3 直线与线段的相交关系求斜率范围 25．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B.    26．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案. 【详解】   由，则直线的斜率， 由，则直线的斜率， 由图可知，，解得. 故选：A. 27．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围. 【详解】设直线与线段交于点，其中， 所以，. 故选：A. 28．（22-23高二上·江苏泰州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】如图所示， 设直线l的倾斜角为，， 则，， ∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴， 即， ∴． 故选：A． 29．（22-23高二上·江苏苏州·期中）直线与线段没有公共点，其中，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】直线化为， 由题可知，当直线经过点时，解得， 当直线经过点时，解得， 若直线与线段没有公共点， 则有或， 即. 故选：A 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 直线的点斜式方程 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截距的意义直接得解. 【详解】由已知， 令，得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 32．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，然后按照题意进行平移，最后根据两直线方程相同列出等式计算即可. 【详解】由题意，设直线l的方程为， 则平移后直线方程为， 由于平移后与原直线重合，则， 解得，即直线l的斜率为. 故选：B. 33．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 34．（22-23高二上·江苏无锡·期中）经过点且倾斜角为的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先求出斜率，再结合直线的斜截式公式，即可求解 【详解】解：直线过点，且倾斜角为， 所以，直线的斜率， 所以，直线的方程为，即． 故答案为：． 35．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 直线的两点式方程（39为多选题） 36．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据方向向量的定义解答即可． 【详解】直线可化成斜截式方程， 所以直线的斜率为， 由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为, 所以选项中可以是直线的方向向量，即正确. 故选：. 37．（23-24高二上·江苏连云港·期中）直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用横截距的意义直接求解即可. 【详解】当时，， 所以直线在x轴上的截距为5. 故选：B 38．（23-24高二上·江苏徐州·期中）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 39．（23-24高二上·江苏·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 【答案】CD 【分析】利用反例说明A、B，根据倾斜角与斜率的共线判断C，根据两点式方程判断D； 【详解】对于A：如倾斜角为的直线的斜率为，而倾斜角的直线的斜率为，故A错误； 对于B：如直线的斜率为，但是其倾斜角为，故B错误； 对于C：斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，故C正确； 对于D：当时，经过的直线方程为，此时适合； 当时，经过的直线方程为，此时适合； 当，时，经过的直线方程为， 也即， 故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：，D正确； 故选：CD 40．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线. 【详解】将点代入两条直线可得， 所以点都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：. 41．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 直线的一般式方程 42．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 43．（23-24高二上·江苏淮安·期中）（多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 【答案】ACD 【分析】求出直线的纵截距和横截距即可判断A，通过特例法判断B，由直线恒过定点，结合斜率、纵截距的符号即可判断C、D. 【详解】对于A，时，l的方程化为，令得直线的纵截距为， 令得直线的横截距为，即直线在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当时，，直线不过第二象限，错误； 对于C，时，将l的方程化为， 所以不论a为何值，直线l恒过定点，令得直线的纵截距为， 且直线斜率，所以直线不过第四象限，正确；    对于D，时，直线l的斜率，令得直线的纵截距为， 直线l恒过定点，所以直线过第二、三、四象限，正确.    故选：ACD 44．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 45．（23-24高二上·江苏徐州·期中）直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由是线段的中点，可得A、两点坐标，后可得直线方程. 【详解】因A、两点在x轴和轴上，设， 因是线段的中点，则， 故直线的截距式方程为：. 故答案为：. 46．（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线平行，通过分类讨论即可得出的值. 【详解】由题意， 直线与直线平行， 当时，直线与直线不平行，舍去， 当时，，解得：， 综上，. 故答案为：. 47．（23-24高二上·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得结合是直角三角形，可知M为AB的中点，由此即可得解. （2）设直线AB的方程可写成， 将代入得， 结合基本不等式即可得解，注意取等条件. 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又 ，且， 则，而是直角三角形， 故M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 48．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 49．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点； （2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解. 【详解】（1）因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 50．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程;， 即与联立，， 解得：，顶点的坐标为； （2）所在直线方程为，设点， 是中点，，， 在所在直线方程为上， ,解得：,， 的方程为：，即. 一、单选题 51．（23-24高二上·江苏镇江·期中）在中，，AB的中点，重心，则BC边所在直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】C 【分析】先根据中点坐标公式求出，再利用重心求出点，即可求出斜率. 【详解】因为，AB的中点， 设，则，解得， 设，因为重心，所以，解得， 所以BC边所在直线的斜率为. 故选：C. 52．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将代入直线方程即可求解轴上的截距. 【详解】因为直线经过两点和，则直线方程为，化简得， 令，则直线在轴上的截距为. 故选：B. 53．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，再利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示    由图象可知，或，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 54．（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 55．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 【答案】BD 【分析】对A，令即可判断正误； 对B，化简直线方程，根据定点满足的系数为0，且满足方程即可； 对C，令即可判断正误； 对D，根据B可得过定点判断即可 【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误； 对B，，解可得，故过定点，故B正确； 对C，当时，，显然与重合，故C错误； 对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确； 故选：BD 三、填空题 56．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线过点，且与以、为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出图形，计算出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】如下图所示： 过点作轴的垂线，设，，， 设直线与线段的公共点为点，当点在线段（不包括端点）上运动时， 直线的倾斜角为锐角，此时直线的斜率； 当点在线段（不包括端点）上运动时，直线的倾斜角为钝角， 此时直线的斜率. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 57．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率公式求出，，再结合图形求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：设，，， 可得，， 要使得直线与以点，为端点的线段相交， 则直线的斜率或， 所以直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 58．（22-23高二上·江苏南通·期中）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】解：如图， ，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，， 又直线倾斜角的范围是：，且 直线l的倾斜角的范围为． 故答案为：． 四、解答题 59．（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意设直线方程为，分别令，，得到，，再由求解； （2）由，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ， 则直线方程为， 令，得；令，得， 所以， 解得， 此时直线方程为，即； （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时直线方程为， 即. 60．（22-23高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，且. (1)求直线的斜率； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据、点的位置画出直线，根据已知点在轴上且，结合图形求出直线与轴非负半轴所夹角度，即为直线的倾斜角，进而求出直线斜率； （2）由（1）求出直线的斜率进而求出直线的方程，根据直线的方程求出点坐标，然后根据点和点坐标求解直线方程即可. 【详解】（1）如图，，，可知直线平行于轴， 已知点在轴上且，可知直线与轴非负半轴所夹角度为， 即直线的倾斜角为，故直线的斜率. （2）由（1）可知，可得直线的方程为，即， 将代入，即求得点坐标为. 已知，，可得直线的方程为， 化简得. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$