立体几何专题突破 讲义-2025届高三数学二轮专题复习

“立体几何”专题突破 立体几何是高中数学的重点内容，是考查空间想象能力的主要载体.高考主要考查三视图，柱、锥、台、球的表面积和体积，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间向量. 几何元素间的位置关系、度量关系和运用空间向量解决几何问题是考查重点. 试题突出基础性，适度关注综合性、应用性和创新性.多层次、多角度考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力. 考向1: 空间几何体基本结构与度量的考查 主要内容有简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）与简单旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球)的概念及性质，空间几何体的表面积与体积计算. 1.1 简单几何体的体积、表面积计算 例1.（2024年全国新课标1卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 解析：设圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：，圆柱和圆锥的侧面积相等，可得，解得，圆锥的体积为：．故选：． 1.2 与球有关的组合体 例2（2022·新高考Ⅰ改编）已知正四棱锥的高为h，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为， A. B. C. D. 解析：∵ 球的体积为，所以球的半径, 设正四棱锥的底面边长为2a，由球的截面性质可得： 提醒：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题解决. 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 考向2:空间点、直线、平面位置关系的考查 主要内容有直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直关系的判定、性质及应用，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，两平面所成的二面角. 2.1 利用综合法通过推理进行判断 例3如图2，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1 上运动，则( ) A.三棱锥A－D1PC的体积不变; B.A1P∥平面ACD1； C. DP⊥BC1； D.平面PDB1⊥平面ACD1. 解析：对于选项A，如图3，由题意知 AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C， 图2 从而BC1∥平面AD1C， 故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等， 所以以P为顶点，平面AD1C为底面的三棱锥A－D1PC 的体积不变，故A正确； 对于选项B，连接A1B，A1C1，则A1C1∥AC，易知A1C1∥平面AD1C， 由选项A知，BC1∥平面AD1C，图3 又A1C1∩BC1＝C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P⊂平面A1C1B， 所以A1P∥平面ACD1，故B正确； 对于选项C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC， 则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误； 对于选项D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥平面ACD1，从而由面面垂直的判定定理 知平面PDB1⊥平面ACD1，故D正确.故选:ABD 提醒：以空间点、直线、平面的位置关系为基础，建立和形成以公理、定义、判定、性质为主线的立体几何知识体系是进行空间线面位置关系判断的前提，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断. 2.2 利用向量法通过计算进行判断 例4在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 解析：如图4，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ，则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为，图4 则，所以平面与平面不垂直，故A错误； 故选：C. 提醒：“空间向量”的引入，给我们处理立体几何问题提供了一种新的视角与更加有效的工具. 用向量法解题思路：（1）分析问题中的关键要素；（2）用向量表示相关要素；（3）进行向量运算求得向量的结果；（4）将向量结果翻译成几何结论. 2.3 综合法、向量法（坐标法）综合应用 例5如图5，在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的菱形，，，E为AB的中点，O为AD的中点，. （1）证明：. （2）求二面角的余弦值.图5 解析：（1）证明：连接OE,如图6， 因为底面ABCD为菱形，所以， 又OE为的中位线，所以，从而， 因为，，所以平面POE， 又平面POE，所以； 图6 （2）因为PO是等腰三角形PAD的中位线，所以 由（1）知，所以平面，， 因为底面ABCD为菱形，且，所以， 分别以，，的方向为x,y,z轴的正方向建立如图7所示的直角坐标系， 则，，，，. 图7 设平面的一个法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角为，则. 故二面角的余弦值为. 提醒：求解立体几何问题可以用“综合法”“向量法””坐标法”，在具体解题时不一定运用一种方法进行到底，可以灵活选用，视情况而定. 一般地对于线面位置关系之间的有关“平行”与“垂直”的证明，可以选用“综合法”直接处理，而对于空间角的有关计算，有时采用“向量法”“坐标法”更为方便与简洁. 考向3:立体几何的应用性与创新性考查 主要内容是设置实际情境或者数学情境，以开放题和应用题等形式改变立体几何考查的方式. 实现典型问题的变式转化和解决问题方法的灵活选择. 3.1 设置实际情境考查数学阅读和知识运用 例6定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图8，则这天降雨属于哪个等级（ ） 图8 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 解析：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B. 提醒：以实际情境考查空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先应从实际情境中抽象出简单几何体，同时明确实际数据的几何意义，要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 对于求三棱锥的体积注意等体积转化法应用. 3.2 以多选题、探究题创新试题考查方式 例7在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图9所示，下列说法正确的是（ ） 图9 A．点的轨迹是一条线段 B．与是异面直线 C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值 解析：图10 如图10，分别找线段,中点为,,连接, 因为正方体，易得 面，面，所以面， ，面，面，所以面， 又 所以平面平面， 因为与平面的垂线垂直，又平面， 所以直线与平面平行，所以面， 又点是侧面内的动点，且面面， 所以点的轨迹为线段，故选项A正确； 由图10可知，与是异面直线，故选项B正确； 当点与点重合时，直线与直线平行，故选项C错误； 因为，面，面， 所以面，则点到平面的距离是定值， 又三角形的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项D正确. 故选：ABD. 提醒：立体几何中的动点轨迹问题，一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面. 例8等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝＝(如图11)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图12). 图12 图11 若不存在，请说明理由. ∴A1D⊥平面BCED. 以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图13， 假设存在符合条件的点P,过P作PH∥DE交BD于点H， 图13 因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60° 提醒：立体几何中的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题. 处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断. 学科网（北京）股份有限公司 $$