第11章　三角形分类练习　 2024—2025学年人教版数学八年级上册

三角形分类练习 一、三边关系 1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，10cm B．2cm，2cm，4cm C．2cm，3cm，4cm D．1cm，2cm，3cm 2．若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（ ） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 3．若三角形的三边长都为整数，周长为13，且一条边长为4，则这个三角形的最大边长为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【提升】如图，P是△ABC内一点，连结BP，并延长交AC于点D. (1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系． 【变形拓展】 1.若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是______. 2.已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（ ） A．2a－10 B．10－2a C．4 D．－4 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若，已知点． ①连接AC，当轴时，求m的值： ②若的面积是8，求m的值： 二、三角形的高 1、为△ABC的中线，为△ABC的高，的面积为14，则的长为_________． 2、如图，中，G为重心，，那么=______________； 三、三角形的中线 1．对于下面的两个图形，按下列要求作图（画图要清晰，标示要准确）. 要求：在图①中，过点作交于点，过点作，垂足为点.在图中②过顶点作边上的高，中线. 2.三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3.下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，则BC=_____. 5.如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____． 【变形拓展】 1.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 2.已知△ABC的周长为，是边上的中线，． （1）如图，当时，求的长． （2）若，能否求出的长？为什么？ 3.如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足． （1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 ． （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 四、三角形的角平分线 1.如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变形拓展】 1.如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数. 2.如图，，是的平分线，和的度数满足方程组， （1）求和的度数；（2）求证：.（3）求的度数. 3.如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 五、与三角形有关的角 1．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（　　） A．90° B．180° C．150° D．120° 2．三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各角度数为( ) A． B． C． D． 3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是__________度． 【变形拓展】 1．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ） A．α﹣β B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β 2．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．观察下列个命题：其中真命题是（ ）. （）三角形的外角和是； （）三角形的三个内角中至少有两个锐角； （）直角三角形两锐角互余； （）相等的角是对顶角. A．（）（） B．（）（） C．（）（） D．（）（） 4. 已知三角形三个内角度数之比为2：3：4，则与之对应的三个外角度数之比为_____________. 5．如图，四边形中，、、分别为、、的外角．判断下列大小关系何者正确？　　 A． B． C． D． 【拓展提升】 1.如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．150° 2.如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014=_____． 六、多边形与正多边形的概念 1．下列图形中，是正多边形的是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形 2．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 3．、一个四边形切掉一个角后变成（ ） A．四边形 B．五边形 C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 4.已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 5.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ） A．30° B．40° C．80° D．108° 6.若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星，，，，是正五角星的五个顶点），则图中的度数是 　　度． 【变形拓展】 1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　) A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( ) A．90º B．180º C．270º D．230º 3．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　） A．30° B．36° C．45° D．32° 4．如图，正五边形ABCDE中，，过顶点A作直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 7．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A、42条 B、54条 C、66条 D、78条 8．过多边形的一个顶点可以作9条对角线，那么这个多边形的内角和比外角和大_____． 【拓展提升】 如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c． （1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝______，∠CFG＝______； （2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝______； （3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为______； （4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是多少． 三角形分类练习答案 一、三边关系 1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，10cm B．2cm，2cm，4cm C．2cm，3cm，4cm D．1cm，2cm，3cm【答案】C 2．若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（ ） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 【答案】A【详解】∵一个三角形的三边长分别为x，2x和9，∴，∴3＜x＜9． 3．若三角形的三边长都为整数，周长为13，且一条边长为4，则这个三角形的最大边长为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B【详解】周长为13，且一边长为4，这一边不是最长边，则另两边的和是9， 设最长的边长是x，则另一边是9－x，根据三角形的三边关系得到：9－x＋4＞x，解得：x＜6.5， ∵x是整数，∴x＝6． 【提升】如图，P是△ABC内一点，连结BP，并延长交AC于点D. (1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系． 【详解】解：(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD， ∴AB＋BC＋CA＞2BD. (2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，∴AB＋AD＋PD＋CD＞BD＋PC， ∴AB＋AD＋CD＞BD－PD＋PC，即AB＋CA＞PB＋PC. 【变形拓展】 1.若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是______. 【答案】3<x<6；【详解】根据三角形的三边关系，得：，解得， 2.已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（ ） A．2a－10 B．10－2a C．4 D．－4 【答案】C【解析】试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-1<2+4即a>3，a<7.所以a－3>0，a-7<0. |a－3|＋|a－7|=a-3+（7-a）=4.故选C 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若，已知点． ①连接AC，当轴时，求m的值： ②若的面积是8，求m的值： 解：①∵，，，∴，， ∴，．∴，． ∵轴，∴点A的横坐标与点C的横坐标相等．∴． ②当时，点在第二象限， i当C在AB上方时，如图，连接OC， ∵，，，， ∴．∴． ii当C在AB下方时，如图，连接OC， ∵，，∴（舍）． 当时，点在第四象限，如图，连接OC ∵，， ∴．∴．综上所述，m的值为－4或． 二、三角形的高 为△ABC的中线，为△ABC的高，的面积为14，则的长为_________． 【答案】2或6 【详解】为的高，△ABD的面积为14，AE=7， ，∴ ∵为的中线，∴CD=BD=4， 当AE在内部时 ∵CE=2， ∴DE=CD-CE=2， 当AE在外部时 ∵CE=2，∴DE=CD+CE=6， 三、三角形的中线 1．对于下面的两个图形，按下列要求作图（画图要清晰，标示要准确）. 要求：在图①中，过点作交于点，过点作，垂足为点.在图中②过顶点作边上的高，中线. 2.三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C 3.下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个． 4.△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，则BC=_____. 【答案】9或13∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和18两部分，∴可知分为两种情况： ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，即CD=5，此时BC+CD=18，∴BC=18−CD=18−5=13； ②AB+AD=18，即3x=18，解得x=6，即CD=6，此时BC+CD=15，∴BC=18−CD=15−6=9；经验证，这两种情况都是成立的． 5.如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____． 【答案】2【详解】∵点D是AC的中点，∴AD=AC， ∵S△ABC=12，∴S△ABD=S△ABC=×12=6． ∵BC=3BE，∴S△ABE=S△ABC=×12=4， ∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2， 【变形拓展】 1.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 【答案】6【详解】解：点是的中点，即：，，． ，，，， 即，即． 2.已知△ABC的周长为，是边上的中线，． （1）如图，当时，求的长．（2）若，能否求出的长？为什么？ 【详解】（1）∵，，∴， 又∵的周长为，∴，∴， 又∵是边上的中线，∴； （2）不能，理由如下：∵，，∴， 又∵的周长为，∴，∴， ∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC的长． 3.如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足． （1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 ． （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】(1) 解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）； ∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24 (2) ∵ 由时, ∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等 【拓展提升】 1.如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为_____． 【答案】72020【详解】连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等， △A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等， 所以，＝7S△ABC，同理＝7＝72S△ABC， 依此类推，△A2020B2020C2020的面积为＝72020S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴＝72020． 四、三角形的角平分线 1.如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB， 又∵MN∥BC，∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，∴BM=MP，PN=CN，∴MN=MP+PN=BM+CN，故②正确，△BMP和△CNP都是等腰三角形，故③正确，∵△AMN的周长=AM+AN+MN，MN=BM+CN，∴△AMN的周长等于AB与AC的和，故④正确，不能说明，故①错误； 【变形拓展】 1.如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵在中，是高，∴在中，， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴, 2.如图，，是的平分线，和的度数满足方程组， （1）求和的度数；（2）求证：.（3）求的度数. 【详解】解：（1）①②，得， ，代入①得和的度数分别为和. （2）， （3）是的平分线 ， 3.如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 解.理由：∵与的平分线交于点，∴，. ∵，∴. ∵是的外角，∴，∴. 五、与三角形有关的角 1．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（　　） A．90° B．180° C．150° D．120° 【答案】B【解析】试题解析： . 2．三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各角度数为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：设和外角相邻的内角为x，则外角为4x，∴x+4x=180，解得：， ∴外角为：，∴与外角不相邻的一个内角为：，另外一个内角：； ∴三角形的三个内角分别为：； 3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是__________度． 【答案】135【解析】三角形的三角的和是180度，则外角是：225°-180°=45°,则与这个外角相邻的内角是180°-45°=135°． 【变形拓展】 1．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ） A．α﹣β B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β【答案B】 2．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A 3．观察下列个命题：其中真命题是（ ）. （）三角形的外角和是； （）三角形的三个内角中至少有两个锐角； （）直角三角形两锐角互余； （）相等的角是对顶角. A．（）（） B．（）（） C．（）（） D．（）（）【答案】B 已知三角形三个内角度数之比为2：3：4，则与之对应的三个外角度数之比为_____________. 【答案】7：6：5【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4， ∴三个内角分别为，，， ∴与之对应的三个外角度数分别为，∴与之对应的三个外角度数之比为7：6：5， 4．如图，四边形中，、、分别为、、的外角．判断下列大小关系何者正确？　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可． 【解答】解：如图，连结， ，， ， 多边形的外角和是，． 【拓展提升】 1.如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．150° 【答案】C【详解】如图，过G作∴∵∴∴∴ ∵FB、HG分别为、的角平分线∴， ∵∴ 解得故选：C． 2.如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014=_____． 【答案】.【详解】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD． ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1∠ABC，∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC）． ∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推可知∠A2014∠A°． 六、多边形与正多边形的概念 1．下列图形中，是正多边形的是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形【答案】D 2．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D【分析】求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可 3．、一个四边形切掉一个角后变成（ ） A．四边形 B．五边形 C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形【答案】D 4.已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】A 5.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ） A．30° B．40° C．80° D．108°【答案】B 6.若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B 7.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星，，，，是正五角星的五个顶点），则图中的度数是 　36　度． 【解答】解：如图，正五角星中，五边形是正五边形，， ，． 【变形拓展】 1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　) A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】A 2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( ) A．90º B．180º C．270º D．230º 【答案】C解：∵∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝180°−90°＝90°，∵∠3＋∠4＋∠1＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＝360°−90°＝270°，故选：C． 3．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　） A．30° B．36° C．45° D．32° 【答案】B【详解】 , . ∵AF∥CD， . 4．如图，正五边形ABCDE中，，过顶点A作直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：正五边形的一个内角的度数为： ， ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∵直线l∥BE，∴∠1＝∠AEB＝36°， 8．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6【详解】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°， 设多边形的边数是n，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6. 7．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A、42条 B、54条 C、66条 D、78条 【答案】B【解析】∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°-150°=30°， ∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°=12， ∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n-3）÷2=12×（12-3）÷2=54． 8．过多边形的一个顶点可以作9条对角线，那么这个多边形的内角和比外角和大_____． 【答案】1440°【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12， ∴内角和是（12﹣2）•180°＝1800°，∴这个多边形的内角和比外角和大了：1800°﹣360°＝1440°． 【拓展提升】 如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c． （1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝______，∠CFG＝______； （2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝______； （3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为______； （4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是多少． 【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°． 【详解】（1）∵长方形的对边是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°，∴∠FGD＝∠EGB＝40°，∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°； （2）∵长方形的对边是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴图a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE，∴图c中的∠EFC度数是120°； （3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α． （4）设图a中∠DEF的度数是x°，由（2）中的规律，可得180﹣(9+1)x＝0．解得：x＝18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形分类练习答案 一、三边关系 1．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，4cm，10cm B．2cm，2cm，4cm C．2cm，3cm，4cm D．1cm，2cm，3cm【答案】C 2．若三角形的三边长分别为x、2x、9，则x的取值范围是（ ） A．3＜x＜9 B．3＜x＜15 C．9＜x＜15 D．x＞15 【答案】A【详解】∵一个三角形的三边长分别为x，2x和9，∴，∴3＜x＜9． 3．若三角形的三边长都为整数，周长为13，且一条边长为4，则这个三角形的最大边长为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B【详解】周长为13，且一边长为4，这一边不是最长边，则另两边的和是9， 设最长的边长是x，则另一边是9－x，根据三角形的三边关系得到：9－x＋4＞x，解得：x＜6.5， ∵x是整数，∴x＝6． 【提升】如图，P是△ABC内一点，连结BP，并延长交AC于点D. (1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系． 【详解】解：(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD， ∴AB＋BC＋CA＞2BD. (2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，∴AB＋AD＋PD＋CD＞BD＋PC， ∴AB＋AD＋CD＞BD－PD＋PC，即AB＋CA＞PB＋PC. 【变形拓展】 1.若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是______. 【答案】3<x<6；【详解】根据三角形的三边关系，得：，解得， 2.已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（ ） A．2a－10 B．10－2a C．4 D．－4 【答案】C【解析】试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-1<2+4即a>3，a<7.所以a－3>0，a-7<0. |a－3|＋|a－7|=a-3+（7-a）=4.故选C 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若，已知点． ①连接AC，当轴时，求m的值： ②若的面积是8，求m的值： 解：①∵，，，∴，， ∴，．∴，． ∵轴，∴点A的横坐标与点C的横坐标相等．∴． ②当时，点在第二象限， i当C在AB上方时，如图，连接OC， ∵，，，， ∴．∴． ii当C在AB下方时，如图，连接OC， ∵，，∴（舍）． 当时，点在第四象限，如图，连接OC ∵，， ∴．∴．综上所述，m的值为－4或． 二、三角形的高 为△ABC的中线，为△ABC的高，的面积为14，则的长为_________． 【答案】2或6 【详解】为的高，△ABD的面积为14，AE=7， ，∴ ∵为的中线，∴CD=BD=4， 当AE在内部时 ∵CE=2， ∴DE=CD-CE=2， 当AE在外部时 ∵CE=2，∴DE=CD+CE=6， 三、三角形的中线 1．对于下面的两个图形，按下列要求作图（画图要清晰，标示要准确）. 要求：在图①中，过点作交于点，过点作，垂足为点.在图中②过顶点作边上的高，中线. 2.三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C 3.下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个． 4.△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15、18两部分，则BC=_____. 【答案】9或13∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和18两部分，∴可知分为两种情况： ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，即CD=5，此时BC+CD=18，∴BC=18−CD=18−5=13； ②AB+AD=18，即3x=18，解得x=6，即CD=6，此时BC+CD=15，∴BC=18−CD=15−6=9；经验证，这两种情况都是成立的． 5.如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____． 【答案】2【详解】∵点D是AC的中点，∴AD=AC， ∵S△ABC=12，∴S△ABD=S△ABC=×12=6． ∵BC=3BE，∴S△ABE=S△ABC=×12=4， ∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2， 【变形拓展】 1.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 【答案】6【详解】解：点是的中点，即：，，． ，，，， 即，即． 2.已知△ABC的周长为，是边上的中线，． （1）如图，当时，求的长．（2）若，能否求出的长？为什么？ 【详解】（1）∵，，∴， 又∵的周长为，∴，∴， 又∵是边上的中线，∴； （2）不能，理由如下：∵，，∴， 又∵的周长为，∴，∴， ∴BC+AC=16<AB=21，∴不能构成三角形，故不能求出DC的长． 3.如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足． （1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 ． （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】(1) 解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）； ∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24 (2) ∵ 由时, ∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等 【拓展提升】 1.如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为_____． 【答案】72020【详解】连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等， △A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等， 所以，＝7S△ABC，同理＝7＝72S△ABC， 依此类推，△A2020B2020C2020的面积为＝72020S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴＝72020． 四、三角形的角平分线 1.如图所示，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③和都是等腰三角形；④的周长等于与的和，其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B【详解】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB， 又∵MN∥BC，∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，∴BM=MP，PN=CN，∴MN=MP+PN=BM+CN，故②正确，△BMP和△CNP都是等腰三角形，故③正确，∵△AMN的周长=AM+AN+MN，MN=BM+CN，∴△AMN的周长等于AB与AC的和，故④正确，不能说明，故①错误； 【变形拓展】 1.如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵在中，是高，∴在中，， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴, 2.如图，，是的平分线，和的度数满足方程组， （1）求和的度数；（2）求证：.（3）求的度数. 【详解】解：（1）①②，得， ，代入①得和的度数分别为和. （2）， （3）是的平分线 ， 3.如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 解.理由：∵与的平分线交于点，∴，. ∵，∴. ∵是的外角，∴，∴. 五、与三角形有关的角 1．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（　　） A．90° B．180° C．150° D．120° 【答案】B【解析】试题解析： . 2．三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各角度数为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：设和外角相邻的内角为x，则外角为4x，∴x+4x=180，解得：， ∴外角为：，∴与外角不相邻的一个内角为：，另外一个内角：； ∴三角形的三个内角分别为：； 3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°，则与这个外角相邻的内角是__________度． 【答案】135【解析】三角形的三角的和是180度，则外角是：225°-180°=45°,则与这个外角相邻的内角是180°-45°=135°． 【变形拓展】 1．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ） A．α﹣β B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β【答案B】 2．如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】A 3．观察下列个命题：其中真命题是（ ）. （）三角形的外角和是； （）三角形的三个内角中至少有两个锐角； （）直角三角形两锐角互余； （）相等的角是对顶角. A．（）（） B．（）（） C．（）（） D．（）（）【答案】B 已知三角形三个内角度数之比为2：3：4，则与之对应的三个外角度数之比为_____________. 【答案】7：6：5【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4， ∴三个内角分别为，，， ∴与之对应的三个外角度数分别为，∴与之对应的三个外角度数之比为7：6：5， 4．如图，四边形中，、、分别为、、的外角．判断下列大小关系何者正确？　　 A． B． C． D． 【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可． 【解答】解：如图，连结， ，， ， 多边形的外角和是，． 【拓展提升】 1.如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．150° 【答案】C【详解】如图，过G作∴∵∴∴∴ ∵FB、HG分别为、的角平分线∴， ∵∴ 解得故选：C． 2.如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014=_____． 【答案】.【详解】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD． ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1∠ABC，∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC）． ∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推可知∠A2014∠A°． 六、多边形与正多边形的概念 1．下列图形中，是正多边形的是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形【答案】D 2．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D【分析】求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可 3．、一个四边形切掉一个角后变成（ ） A．四边形 B．五边形 C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形【答案】D 4.已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】A 5.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ） A．30° B．40° C．80° D．108°【答案】B 6.若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B 7.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星，，，，是正五角星的五个顶点），则图中的度数是 　36　度． 【解答】解：如图，正五角星中，五边形是正五边形，， ，． 【变形拓展】 1.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　) A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】A 2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( ) A．90º B．180º C．270º D．230º 【答案】C解：∵∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝180°−90°＝90°，∵∠3＋∠4＋∠1＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＝360°−90°＝270°，故选：C． 3．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　） A．30° B．36° C．45° D．32° 【答案】B【详解】 , . ∵AF∥CD， . 4．如图，正五边形ABCDE中，，过顶点A作直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：正五边形的一个内角的度数为： ， ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∵直线l∥BE，∴∠1＝∠AEB＝36°， 8．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6【详解】∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和=1080°−360°=720°， 设多边形的边数是n，∴(n−2)×180°=720°，解得n=6. 7．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A、42条 B、54条 C、66条 D、78条 【答案】B【解析】∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°-150°=30°， ∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°=12， ∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n-3）÷2=12×（12-3）÷2=54． 8．过多边形的一个顶点可以作9条对角线，那么这个多边形的内角和比外角和大_____． 【答案】1440°【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12， ∴内角和是（12﹣2）•180°＝1800°，∴这个多边形的内角和比外角和大了：1800°﹣360°＝1440°． 【拓展提升】 如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c． （1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝______，∠CFG＝______； （2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝______； （3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为______； （4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是多少． 【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°． 【详解】（1）∵长方形的对边是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°，∴∠FGD＝∠EGB＝40°，∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°； （2）∵长方形的对边是平行的，∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴图a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE，∴图c中的∠EFC度数是120°； （3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α． （4）设图a中∠DEF的度数是x°，由（2）中的规律，可得180﹣(9+1)x＝0．解得：x＝18． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$