精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟练习试题

2023－2024学年第二学期浙教版八年级数学期末模拟练习试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为庆祝淮阴中学120周年，学校开展了“百廿华章 竖起脊梁”为主题的演讲比赛，各位选手得分情况如下表： 成绩（分） 80 82 86 90 92 100 人数 4 4 7 5 6 4 30名同学的成绩的众数和中位数分别是（ ） A 86，86 B. 86，88 C. 90，88 D. 86，80 4. 下列计算正确的是（    ） A B. C. D. 5. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称图形 7. 已知，，是反比例函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接；再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于E．则以下结论：①平分；②平分；③垂直平分线段；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是正______边形． 12. 实数a，b在数轴上位置如图所示，化简______． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______． 14. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是__________． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm． 16. 如图，正方形中，点E在边上，点F在边上，若，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确结论有___________． 三、解答题（本题有8小题，第17－19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标（不需要写过程），并画出相应的平行四边形． 20. 为了响应市“科学应对、群防群控、增强体质、战胜疫情”的号召，学校决定开展多项体育活动比赛，从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表： 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 甲组成绩统计图： 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的众数是______________； （2）______________，乙组成绩的中位数是______________； （3）已知甲组成绩的方差，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 21. 如图，将边长为4cm的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，与AB，AC分别交于点G，H（点G不与点B重合）． （1）求证：四边形AG是平行四边形； （2）若四边形AG是菱形，求的长． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 23. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 24. 如图1所示，在正方形中，，对角线上一点，，，分别为垂足，连结． （1）与的数量关系式___________； （2）如图2，过点作，交直线于点，连结．点为中点，回答以下问题： 当点在线段上时，求； 是否存在一点，使得，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年第二学期浙教版八年级数学期末模拟练习试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 为庆祝淮阴中学120周年，学校开展了“百廿华章 竖起脊梁”为主题的演讲比赛，各位选手得分情况如下表： 成绩（分） 80 82 86 90 92 100 人数 4 4 7 5 6 4 30名同学的成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 86，86 B. 86，88 C. 90，88 D. 86，80 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格给出的数据即可求解． 【详解】∵成绩为86分的人数最多， ∴众数为86， 把30名同学的成绩从小到大排列后，第15名和第16名的成绩为86分，90分， ∴中位数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的性质对各项进行运算即可． 【详解】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】矩形的性质：对边平行且性质，四个角都是直角，对角线相等且互相平分，菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，矩形与菱形都是轴对称图形与中心对称图形，根据矩形与菱形的性质即可解答本题． 【详解】解：矩形与菱形的对角相等，故A不符合题意； 矩形与菱形的对边平行且相等，故B不符合题意； 矩形对角线相等，菱形的对角线互相垂直，故C符合题意； 矩形与菱形都是中心对称图形，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形的含义，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 7. 已知，，是反比例函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数（k≠0）中， ∵， ∴此函数图象在一、三象限， ∵-3＜-2＜0， ∴点（-3，y1），（-2，y2）在第三象限， ∴y2＜y1＜0， ∵2＞0， ∴（1，y3）点在第一象限， ∴y3＞0， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，掌握这些特征是解题的关键． 8. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故选：B． 9. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B．若，则k的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设B点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得． 【详解】解：设B点坐标为， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 10. 如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接；再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于E．则以下结论：①平分；②平分；③垂直平分线段；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可知平分，判断①；和平行四边形的性质，推出，判断②；交于点，角平分线和平行四边形的性质，推出，，判断③；条件不足，无法得到，判断④． 【详解】解：由作图方法可知：，平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； 如图：交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段；故③正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 综上：正确的是①②③； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握平行加角平分线，往往会出现等腰三角形，是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：．根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形是正n边形， 则， 解得：． ∴这个正多边形是正六边形． 故答案为：六． 12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】## 【解析】 【分析】依据数轴即可得到，即可化简． 【详解】解：由题可得，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，，以及二次项的系数不为0，求出的取值范围，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 又∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴满足条件的所有非负整数k：， ∴满足条件的所有非负整数k的和为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求出参数．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程的二次项系数不为0，是解题的关键． 14. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用对称性求出点B的坐标为，再利用函数图象法进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象交于，两点， ∴由对称性可知，点B的坐标为， 由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，即此时， ∴若，则的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的下方时自变量的取值范围是解题的关键． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm． 【答案】9.6 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∵ ∴ ∴， 故的长为, 故答案为：9.6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16. 如图，正方形中，点E在边上，点F在边上，若，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确结论有___________． 【答案】①②③④⑤⑥ 【解析】 【分析】过点B作于H．利用角平分线的判定和性质定理得出，，再利用证明,，利用全等三角形的性质，即可判断③④⑤，设，则，设，则，利用勾股定理求出x即可判断①②⑥． 【详解】解：如图，过点B作于H． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴,， ∴，故③正确， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确， ∵， ∴假设，则， 设，则， ∵， ∴ 解得， ∴，故①正确， ∴，故②正确， ∴， ∴，故⑥正确． 故答案为：①②③④⑤⑥． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 三、解答题（本题有8小题，第17－19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减； （2）先根据二次根式的性质和二次根式的除法化简计算各项，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题型，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ，即， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ，． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，第四个顶点的坐标可以是什么？在平面直角坐标系中标出点并写出坐标（不需要写过程），并画出相应的平行四边形． 【答案】或或，画图见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线中点坐标相同，求出点D的坐标，再画出对应的图形即可． 【详解】解：如图1所示， 设点D的坐标为， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ∴， ∴， ∴， 同理可求得剩下图2，图3，图4，图5，图6中点D的坐标分别为， 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟知平行四边形对角线中点坐标相同是解题的关键． 20. 为了响应市“科学应对、群防群控、增强体质、战胜疫情”的号召，学校决定开展多项体育活动比赛，从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表： 成绩 7 8 9 10 人数 1 9 5 5 甲组成绩统计图： 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）甲组成绩的众数是______________； （2）______________，乙组成绩的中位数是______________； （3）已知甲组成绩的方差，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 【答案】（1）8 （2）3，8 （3）0.75，乙组的成绩更加稳定 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义进行解答； （2）用总人数减去其他成绩的人数即可解出m的值，再根据中位数的定义进行解答； （3）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组成绩8分出现的次数最多，出现了9次， 所以甲组成绩的众数是8． 故答案为：8； 【小问2详解】 ， 把乙组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位数是：， 所以乙组成绩的中位数是8． 故答案：3，8； 【小问3详解】 乙组平均成绩是：（分）， ， ∵， ∴乙组的成绩更加稳定． 【点睛】本题主要考查了中位数、众数、方差实际应用，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，将边长为4cm的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，与AB，AC分别交于点G，H（点G不与点B重合）． （1）求证：四边形AG是平行四边形； （2）若四边形AG是菱形，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）cm 【解析】 【分析】（1）过C点作CDA交AD的延长线于D，根据平移变换法则即可证明； （2）根据菱形的性质可得=x，易证是等腰直角三角形，在列出等式即可求解． 【小问1详解】 证：过C点作CDA交AD的延长线于D，如图， ∵把ACD沿着DA方向平移得到， ∴，， ∵CD， ∴， ∴四边形AG是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形AG是菱形， ∴， 设=xcm， 则cm， ∵， ∴=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即x=， 解得x=， ∴AH=cm． 【点睛】本题考查了平移变换、平行四边形判定、菱形的性质等腰直角三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握以上的性质即可． 22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）30件；（2）每件衬衫应降价10元或20元 【解析】 【分析】（1）根据“每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件”直接计算即可得出答案； （2）设每件衬衫应降价x元，商场每天要获利润1200元，可列方程求解． 【详解】解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴每件衬衫降价5元，可售出20+5×2＝30（件）； （2）设每件衬衫应降价x元，据题意得： （40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得：x＝10或x＝20． 答：每件衬衫应降价10元或20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确抓住题目中的相等关系，列出方程是解题的关键． 23. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 【答案】（1）(3，4) （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题； （2）取点F（6，0），连接FP，CF，则O、F关于直线对称，由（1）知，点P的横坐标为3，即点P在直线上，故PC+PO=PF+PC，则当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，由此求解即可； （3）分当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，两种情况利用菱形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3， ∴点B的坐标为(4，3)， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴k=12， ∴反比例函数解析式为y=， 设点P的横坐标为m(m>0)， ∵． ∴， ∴， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ， ∴点P的坐标为(3，4)． 【小问2详解】 解：取点F（6，0），连接FP，CF， ∴O、F关于直线对称， 由（1）知，点P的横坐标为3， ∴点P在直线上， ∴PF=PO， ∴PC+PO=PF+PC， ∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF， ∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF=； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t） 如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， ∴点Q的坐标为或； 如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， ∴同理可得点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或 【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，已知两点坐标求两点距离，轴对称最短路径问题等等，解题关键在于作辅助线和分情况讨论． 24. 如图1所示，在正方形中，，是对角线上一点，，，分别为垂足，连结． （1）与的数量关系式___________； （2）如图2，过点作，交直线于点，连结．点为中点，回答以下问题： 当点在线段上时，求； 是否存在一点，使得，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），存在， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得到，，从而可证明，得到，再通过矩形的判定得到四边形为矩形，从而得到，最终即可得到答案； （2）由，，得到四边形为平行四边形，从而可得到，由（1）可得，，，再根据角度的转变和等腰三角形的性质从而可得到，进而得到为等腰直角三角形，即可得到答案；分两种情况：当在上时，当在上时，分别讨论，求出符合情况的值即可． 【小问1详解】 解：， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，为对角线， ，， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 由（1）可得，，， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； 存在，， 假设当在上时成立，使得， 四边形是正方形，为对角线，点为中点， ，， 在和中， ， ， ， ，， 四边形矩形，为等腰直角三角形， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 当在上时，如图所示， 此时， 不存在， 综上所述，当时，使得． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及采用分类讨论的思想去解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$