第三单元角的度量（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量 板块一：考点精讲 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．角的分类（锐角直角钝角） 【知识点归纳】 根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量 板块二：高频考点 一、选择题 1．用一个放大6倍的放大镜看30°的角，这个角是（ ）． A．30° B．60° C．180° 2．下面的量角器中的角是（    ）。 A．130 B．50 C．180 3．下图是用一副三角尺拼出的图形，∠1的度数是（    ）。 A．100° B．105° C．75° 4．把两个钝角拼在一起，拼成的角（    ）。 A．大于180° B．等于180° C．小于180° 5．两个因数的积是150，如果两个因数同时乘3，积是（    ）。 A．1350 B．450 C．600 6．如图，∠1=90°，∠2=40°， ∠5=（  ） A．40° B．50° C．60° 7．下列说法正确的是（    ）。 A．一条直线就是一个平角 B．圆就是一个周角 C．两个锐角不能拼成一个平角 8．两把三角尺如图相拼，∠1的度数是（    ）。 A．95° B．105° C．100° 二、填空题 9．如图，在 中，线段有（ ）条，射线有（ ）条，直线有（ ）条． 10．数一数，下图中有( )个锐角，( )个钝角，( )个直角． 11．如图，已知∠1＝40°，∠4＝90°，∠2＝( )，∠3＝( )，∠5＝( )。 12．下图，点到直线的距离是( )厘米。如果，那么可计算出( )。 13．下午2点整，时针和分针形成的较小角是( )°，再经过20分钟，分针走过的角的度数是( )°。 14．钟面上，从上午10时到11时，时针走了( )°，分针走了( )°。 15．5时整钟面上时针与分针所成的角是( )角。 16．一副三角尺按图所示摆放，那么∠1＝( )°。 三、判断题 17．两个锐角的和一定大于钝角，小于平角．(       ) 18．两个锐角之和一定是直角。( ) 19．一个钝角加一个锐角一定等于平角。( ) 20．大于90°的角是平角．( ) 21．计量角的单位是“度”，用符号“∠”来表示。( ) 22．用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角变成20°。( ) 23．在同一个三角形中，角越大，角所对的边也越长。( ) 24．两个锐角的和不一定是一个钝角。( ) 四、解答题 25．图中，∠1=55°，∠2是直角，你能求∠3、∠4、∠5各是多少度吗？ 26．如图．大正方形和小正方形拼成一个新图形，你知道∠ACF是多少度吗？ 27．如图有两个长方形，图中的和是否相等？说明理由。 28．小军说：“有一个角，可以用三角尺上的一个角量2次，而且这个角是一个锐角。”这个角是多大？ 29．已知：∠AOD=∠BOE=53° 求：∠DOE=？ 30．将一个30°的角放在5倍放大镜下，在放大镜下看到的这个角是多少度？ 31．如下图，将长方形纸的一角折叠过来，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 32．高高在早上9：00的时候准时写作业，分针顺时针旋转300°时，高高正好写完数学的作业，请问： 写完数学作业的时候是几点？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A A B C B 1．A 【分析】角的大小只和角的开口大小有关 【详解】角的大小只跟角的开口大小有关，放大镜只能把形状放大无法改变开口大小 故答案为：A 【点睛】本题考查对角的认识，掌握角的大小影响因素是本题关键 2．B 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差。 【详解】根据上图可知，量角器中的角是50°。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查学生对用量角器测量角的度数方法的掌握。 3．B 【分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，即可得到某些特殊的角度，观察图形可知，45°＋60°＝105°，据此解答。 【详解】观察图形可得： 45°＋60°＝105° 故答案为：B 【点睛】熟练掌握三角板中各个角的度数，是解答此题的关键。 4．A 【分析】大于90°小于180°的角是钝角，因此假设这两个钝角都是91°，然后再计算出这两个钝角的和后，再选择即可。 【详解】91°＋91°＝182° 182°＞180°，因此拼成的角大于180°。 故答案为：A 【点睛】此题考查的是平面图形的拼接，熟练掌握钝角的特点是解答此题的关键。 5．A 【分析】根据积的变化规律，如果两个因数扩大相同的倍数（0除外），积扩大的倍数就等于两个因数扩大倍数的乘积，据此解答。 【详解】根据积的变化规律可知，两个因数的积是150，如果两个因数同时乘3，积应该乘9，即150×9＝1350。 故答案为：A 【点睛】掌握积的变化规律并学会灵活运用是解答此题的关键。 6．B 7．C 【分析】锐角是大于0度而小于90度的角；平角是180度的角；周角是360度的角；直线没有端点，可以无限延长；角有一个顶点两条边，据此解答。 【详解】A．角有一个顶点两条边，平角是180度的角，所以该说法错误； B．角有一个顶点两条边，圆是一个封闭的图形，所以该说法错误； C．平角是180度，锐角是大于0度而小于90度的角，所以该选项正确。 故答案为：C 【点睛】本题考查对角的认识和分类，结合题意分析解答即可。 8．B 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此计算出∠1的度数即可。 【详解】∠1＝45°＋60°＝105° 故答案为：B 【点睛】此题考查的是用三角尺拼角，熟记两个三角尺每个角的度数是解答此题的关键。 9． 1 4 1 【分析】线段是指有两个端点组成的，可以测量长短，不可以无限延伸；射线有一个端点，不可以测量长短，可以无限延伸；直线没有端点，不可以测量长短，可以无限延伸． 【详解】线段有1条，射线有4条，直线有1条． 故答案为1；4；1． 10． 4 3 2 11． 140° 40° 50° 【分析】根据平角的定义可求∠2、∠3的度数，根据∠4的度数可知∠1、∠5的和是90°，根据互余的定义可求∠5的度数。 【详解】∠2＝180°﹣40°＝140°， ∠3＝180°﹣140°＝40°， ∠4＝90°， ∠5＝90°﹣40°＝50° 【点睛】考查了图形中角与角之间的关系，本题的关键是对平角的定义、垂直的定义的理解和掌握。 12． 15 45 【分析】直线外一点到这条直线直线垂线段的长度叫做点到直线的距离，确定垂线段的长就能知道距离。 由图可知，是右边这个直角三角形的一个内角，三角形的内角和等于180°，所以＝180°－90°－另一个内角，而另一个内角与组成一个平角，因此先用180°减去算出另一个内角，再用三角形的内角和去减，就能算出。据此解答。 【详解】答题空1中，垂线段的长是15cm，因此点到直线的距离是15cm。 180°－135°＝45°     ＝180°－90°－45°＝45° 【点睛】本题考查线段与角的综合。解题时先观察所求的角是否与其他角形成直角或平角，如果有，则可以直接计算。如果不能直接计算，可以尝试把角放到三角形中，借助三角形的内角和进行计算。本题中把放到直角三角形中，找到“＝180°－90°－另一个内角”是思考的基础，通过180°－算出是解题的关键。 13． 60 120 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，根据表针之间或走过几个大格，计算出角度即可。 【详解】下午2点整，时针指着2，分针指12，时针和分针形成的较小角，时针与分针之间有2个大格，是2×30°＝60°；再经过20分钟，分针走过4个大格，分针走过的角的度数是4×30°＝120°。 即下午2点整，时针和分针形成的较小角是60°，再经过20分钟，分针走过的角的度数是120°。 14． 30 360 【分析】钟面上，6时整时，时针与分针之间的夹角是180°，有6个大格，因此每个大格是：180°÷6＝30°， 从上午10时到11时，时针走了1个大格，分针走了1圈，一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，1周角是360°，依此填空。 【详解】180°÷6＝30°，即钟面上，从上午10时到11时，时针走了30°； 分针走了1圈，即分针走了360°。 【点睛】此题考查的是平角、周角的特点，熟练掌握对钟面时间的认识是解答此题的关键。 15．钝 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，把12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上5时整，时针与分针之间有5个大格，因此时针和分针所成的角是（5×30）度，再根据大于90度小于180度的角是钝角，小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，判断即可。 【详解】据分析得出： 5×30＝150（度） 150°角属于钝角。 【点睛】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答；关键是能正确判断钟面上5时整，时针和分针所间隔的格数。 16．105 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。因此∠1＝180°－45°－30°，依此计算。 【详解】∠1＝180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° 【点睛】此题考查的是用三角尺拼角，熟练掌握平角的特点是解答此题的关键。 17．× 18．× 【分析】锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角。可以列举两个锐角相加，看它们的和是不是90度即可。 【详解】根据分析可得： 假设有两个锐角分别是20°，30°，它们的和是：20°＋30°＝50°； 50°＜90°，它们的和是一个锐角。 所以判断错误。 【点睛】本题考查的是对角的分类的掌握，用举例的方法可以快速判断。 19．× 【分析】钝角为大于90°小于180°的角，锐角为大于0°小于90°的角，平角为180°；据此解答。 【详解】根据分析举例：100°＋30°＝130°，所以一个钝角加一个锐角一定等于平角这个说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握对角的分类的认识，以及各种角的度数是解答本题的关键。 20．× 【详解】平角是180度的角，由此判断即可． 21．× 【详解】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。通常用符号“∠”表示，记作∠1，读作“角1”。角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。 故答案为：×。 22．× 【分析】角的大小由角两边的张口大小决定，用一个2倍的放大镜看一个10°的角，角两边的张口大小不变，所以角的度数也不变。 【详解】用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角还是10°，原题干说法错误。 故答案为：× 23．√ 【分析】用身边可见的三角形举例判断即可，如三角尺等物品。 【详解】三角尺中直角最大，直角对边是斜边也是最长的，所以在同一个三角形中，角越大，角所对的边也越长。 故答案为：√ 【点睛】本题考查三角形的基本特征，应细心观察并总结经验便于数学学习。 24．√ 【分析】小于90°的角叫做锐角，则两个锐角的和小于180°。可能是锐角、直角或者钝角。举例解答即可。 【详解】假如这两个锐角均为10°，10°＋10°＝20°，则两个锐角的和是锐角。假如这两个锐角均为45°，45°＋45°＝90°，则两个锐角的和是直角。假如这两个锐角均为60°，60°＋60°＝120°，则两个锐角的和是钝角。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握锐角、直角和钝角的定义，灵活运用定义解决问题。 25．∠3=35°、∠4=55°、∠5=125° 【详解】试题分析：先根据直角的定义求出∠3的度数，再根据平角的定义分别求出∠5和∠4的度数． 解：∠3=90°﹣55°=35°， ∠5=180°﹣55°=125°， ∠4=180°﹣125°=55°． 答：∠3=35°、∠4=55°、∠5=125°． 点评：考查了角的度量，关键是熟悉平角等于180°，直角等于90°． 26．90° 【详解】90°÷2+90°÷2=90° 27．∠1＝∠2，理由见详解 【分析】 如图所示，长方形四个角都是直角，、的度数分别与∠3组成一个直角，则∠1＝∠2＝90°－∠3。据此解答即可。 【详解】∠1＝∠2，长方形四个角都是直角，∠1、∠2的度数分别与其中间的那个角的度数相加都是90度，即分别组成一个直角。 【点睛】解决本题的关键是明确长方形的四个角均为直角，即90°。 28． 【分析】根据题意，量两次是锐角，那么所求的角是30度，30度加30度等于60度，其余的角量两次不是锐角，据此解答。 【详解】根据题意分析可得： 答：这个角是。 【点睛】解答此题的关键，熟知三角板上各个角的度数，然后找到符合题意的即可。 29．74° 【详解】试题分析：根据平角的定义，角的和差关系计算即可求解． 解：∠DOE=180°﹣（∠AOD+∠BOE）， =180°﹣106°， =74°． 答：∠DOE=74°． 点评：考查了角的度量，解题的关键是熟悉平角等于180°，掌握角之间的计算． 30．30度 【详解】放大镜看角没有放大角的度数，角叉开的大小不变，所以这个角依然是30度． 31．80° 【详解】∠2＝180°－2∠1＝180°－100°＝80° 答：∠2是80°。 32．9时50分 【分析】根据题意，分针顺时针旋转300°时，即转动了：300°÷30°＝10（格），分针每走一格是5分钟，所以分针共走了：10×5＝50（分），早上9时就是9时，由此即可计算出高高写完数学作业的时刻是多少。 【详解】300°÷30°＝10（格） 10×5＝50（分） 9时＋50分＝9时50分 答：写完数学作业的时候是9时50分。 【点睛】熟练掌握一般时间，钟面上时针与分钟所在的位置及对应的夹角，要明确：钟面上有12个大格，每个大格是30°。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$