精品解析：冀教版2023-2024学年八年级数学下册期末达标测试卷(八)

期末达标测试卷(八) 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共48分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. D. ，且 2. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（ ） A. (2，5) B. (－8，5) C. (－8，－1) D. (2，－1) 3. 如图，在中，于点B，于点F．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走路程是（　 　） A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米 5. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ） A. ∠BAC=∠DCA B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. ∠BAC=∠ADB 6. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为（　　） A. 70 B. 720 C. 1680 D. 2370 7. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　） A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 8. 在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）的关系如图，有下列说法：①他们进行的是800m比赛；②乙全程的平均速度为6.4m/s；③甲摔倒之前，乙的速度快；④甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s；⑤甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 在中，，则边上中线的取值范围为（ ）（提示：可以构造平行四边形） A. B. C. D. 11. 超市有，两种型号瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买型瓶（个），所需总费用为（元），则下列说法不一定成立的是（ ） 型号 A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元） 5 6 A. 购买型瓶的个数是为正整数时的值 B. 购买型瓶最多为6个 C. 与之间的函数关系式为 D. 小张买瓶子的最少费用是28元 12. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 13. 如图，DE是线段AB的中垂线，，，，则点A到BC的距离是　　 A. 4 B. C. 5 D. 6 14. 如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜2 B. ﹣2＜k＜0 C. 0＜k＜4 D. 0＜k＜2 15. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　） A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2 二、填空题（每小题3分，共9 分） 17. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是_____℉． 18. 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____. 19. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____． 三、解答题（共63分） 20. 如图，在中，将沿x轴向右平移2个单位长度，再沿 y轴向下平移1个单位长度得到． （1）求的三个顶点坐标； （2）求的面积． 21. 某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图． 最喜爱传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 18 a 围棋类 14 0.28 喜剧类 8 0.16 国画类 b 0.20 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中a的值； （2）补全频数分布条形图； （3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？ 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 24. 预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县需要8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县， 消毒液的运费价格如下表(单位：元/吨)，设从C县调运x吨到A县． 起点 终点 A县 B县 C县 60 100 D县 35 70 （1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式． （2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 25. 如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； （3）直线与矩形没有公共点，直接写出k取值范围． 26. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ； （2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷(八) 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共48分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. D. ，且 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解． 【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0 解得，且 故选A． 【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质． 2. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（ ） A. (2，5) B. (－8，5) C. (－8，－1) D. (2，－1) 【答案】D 【解析】 【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）． 故选D． 【点睛】本题考查点的坐标变换，熟练掌握点的坐标变换规律：左减右加，上加下减是解答的关键. 3. 如图，在中，于点B，于点F．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，平行四边形的性质； 先根据四边形的内角和定理求出，再根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 4. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　） A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解. 【详解】解：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， 所以多边形的边数为360°÷24°=15， 所以小明一共走了：15×10=150米． 故选B． 【点睛】本题考查多边形的外角和，熟练掌握运用多边形的外角和是解题关键. 5. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ） A. ∠BAC=∠DCA B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BAC=∠ABD D. ∠BAC=∠ADB 【答案】C 【解析】 【详解】A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD矩形； B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形； C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形； D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形； 故选C． 6. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为（　　） A. 70 B. 720 C. 1680 D. 2370 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 故答案选C． 7. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　） A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC， ∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°， ∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键． 8. 在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）的关系如图，有下列说法：①他们进行的是800m比赛；②乙全程的平均速度为6.4m/s；③甲摔倒之前，乙的速度快；④甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s；⑤甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】①由函数图象可以直接得出比赛的距离； ②由路程÷时间就可以得出速度得出结论； ③由函数图象可以得出相同的时间乙走的路程少，所以乙的速度慢； ④由600÷80就可以求出甲再次投入比赛后的平均速度而得出结论； ⑤由待定系数法分别求出BC和OD的解析式就可以求出结论． 【详解】①由函数图象，得：甲乙比赛的距离为800米，故正确； ②题意，得800÷125=6.4m/s，故正确； ③由函数图象，得 甲摔倒之前，甲的速度快．故错误； ④由题意，得600÷80=7.5m/s，故正确； ⑤设BC的解析式为y=kx+b，OD的解析式为y=k1x，由题意，得 解得：，k1=6.4， ∴y=7.5x-100，y=6.4x， 7.5x-100=6.4x， 解得：x=． 800-6.4×=≠300，故错误． 综上所述，正确的有3个． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质的运用，行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长． 10. 在中，，则边上中线的取值范围为（ ）（提示：可以构造平行四边形） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线（延长AD至点E，使AD=ED）构建平行四边形，然后利用三角形成立的条件即可求出范围． 【详解】解：延长至点E，使，连接、． ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∴（平行四边形的对边相等）， 在中，AE=AD+DE=2AD，，即， ． 故选择：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、三角形的三边关系．掌握平行四边形的判定及其性质、会利用三角形的三边关系求范围是解题关键．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 11. 超市有，两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买型瓶（个），所需总费用为（元），则下列说法不一定成立的是（ ） 型号 A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元） 5 6 A. 购买型瓶的个数是为正整数时的值 B. 购买型瓶最多为6个 C. 与之间的函数关系式为 D. 小张买瓶子的最少费用是28元 【答案】C 【解析】 【分析】设购买A型瓶x个,B()个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A型瓶x个， ∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B型瓶的个数是, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, =5; x=3时, =3; x=6时, =1; ∴购买B型瓶的个数是()为正整数时的值，故A成立; 由上可知，购买A型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A型瓶的个数最多为6，故B成立; 设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是()个， ④当0≤x<3时，y=5x+6×()=x+30， ∴k=1>0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元; ②当x≥3时，y=5x+6×()-5=x+25， ∵.k=1>0随x的增大而增大， ∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元; 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元. 故C不成立，D成立 故选:C. 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式. 12. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案. 【详解】①当，、的图象都经过一、二、三象限 ②当，、的图象都经过二、三、四象限 ③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限 ④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有A. 故选A. 【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质. 13. 如图，DE是线段AB的中垂线，，，，则点A到BC的距离是　　 A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作于利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． 【详解】解：作于H． 垂直平分线段AB， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选A． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 14. 如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜2 B. ﹣2＜k＜0 C. 0＜k＜4 D. 0＜k＜2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0）， ∴﹣2k+b=0，∴，解得：． ∵直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限， ∴， 解得0＜k＜2． 故选D． 【点睛】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征． 15. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解． 【详解】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图： 由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF， 设正方形ABCD的边长为2a， 则正方形ABCD的面积为4a2， ∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等 ∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝， ∴正方形EFGH边长GF＝ ， ∴HF＝GF＝ ， ∴MF＝PH＝， ∴ . 故选A． 【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关键． 16. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　） A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2 【答案】A 【解析】 【分析】由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得． 详解】解：由题意知OA4n=2n， ∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)， ∴A2018坐标为(1009，1)， 则A2A2018=1009－1=1008(m)， ∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2)． 故选：A． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得． 二、填空题（每小题3分，共9 分） 17. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是_____℉． 【答案】77 【解析】 分析】把x=25直接代入解析式可得． 【详解】当x=25时，y＝×25+32=77 故答案为：77． 【点睛】考核知识点：求函数值． 18. 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____. 【答案】x<2 【解析】 【分析】由题意可得-6k+b=0，k<0，继而把b=6k代入关于x的不等式3kx-b>0中进行求解即可. 【详解】由题意知y=kx+b过点(-6，0)，y随着x的增大而减小， 所以-6k+b=0，k<0， 所以b=6k， 解关于x的不等式3kx-b>0，则有3kx-6k>0， 解得：x<2， 故答案为x<2. 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，正确得出k、b间的关系是解题的关键. 19. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6． 【详解】∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴AP=AM=6， 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形． 三、解答题（共63分） 20. 如图，在中，将沿x轴向右平移2个单位长度，再沿 y轴向下平移1个单位长度得到． （1）求的三个顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题考查了平移的性质， （1）根据平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 观察图形，可知，，， 因为由沿x 轴向右平移2个单位长度，再沿 y 轴向下平移1个单位长度得到， 所以，，． 【小问2详解】 因为平移只改变图形的位置，不改变图形的大小， 所以的面积等于的面积， 观察图形，可知． 21. 某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图． 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 18 a 围棋类 14 0.28 喜剧类 8 0.16 国画类 b 0.20 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中a的值； （2）补全频数分布条形图； （3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？ 【答案】（1）a=0.36；（2）补图见解析；（3）420人. 【解析】 【分析】（1）首先根据围棋类是14人，频率是0.28，据此即可求得总人数，然后利用18除以总人数即可求得a的值；用50乘以0.20求出b的值，即可解答； （2）根据b值，画出直方图即可； （3）用总人数1500乘以喜爱围棋的学生频率即可求解； 【详解】（1）14÷0.28=50（人）， a=18÷50=0.36． （2）b=50×0.20=10， 频数分布直方图，如图所示， （3）1500×0.28=420（人）， 答：若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有420人． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知识点． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF （1）求证：AE=CF； （2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）矩形ABCD的面积为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF； （2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°， ∵BE=DF， ∴OE=OF， 在△AOE和△COF中， ∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE=CF； （2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=∠COD=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6， ∴AC=2OA=12， 在Rt△ABC中，BC==6， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的运用． 24. 预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县需要8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县， 消毒液的运费价格如下表(单位：元/吨)，设从C县调运x吨到A县． 起点 终点 A县 B县 C县 60 100 D县 35 70 （1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式． （2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】（1） （2）从C县调6吨到A县，调4吨到B县，再将D县的4吨调往B县，总运费最低，最低运费是1040元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系． （1）设从C县调运x吨到A县，则从C县调运吨到B县，从D县调运吨到A县，从D县调运吨到B县，根据总运费每吨的运费运输重量，即可得出y关于x的函数关系式； （2）由从C县调运到A县及从D县调运到A县的重量非负，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：依题意，得 ∴调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式是： ； 【小问2详解】 解：由（1）知，y是x的一次函数，且，因此函数值随x的增大而减小，又 ∴当时，（元） ∴从C县调6吨到A县，调4吨到B县，再将D县的4吨调往B县，总运费最低，最低运费是1040元． 25. 如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与矩形有公共点．求b的取值范围； （3）直线与矩形没有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的表达式； （2）结合图形，当直线平移到过、时与矩形有一个公共点，则可求得的取值范围； （3）由题意可知直线过，结合图象可知当直线过点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：，， ，， 设直线表达式为， ，解得， 直线表达式为； 【小问2详解】 解：直线可以看到是由直线平移得到， 当直线过、时，直线与矩形有一个公共点，如图1， 当过点时，代入可得，解得， 当过点时，可得， 直线与矩形有公共点时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：， 直线过，且， 如图2，直线绕点旋转，当直线过点时，与矩形有一个公共点，逆时针旋转到与轴重合时与矩形有公共点， 当过点时，代入可得，解得， 直线与矩形没有公共点时的取值范围为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 26. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． （1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ； （2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明． 【答案】（1）DE+DF=AD；（2）详见解析；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE-DF=AD． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，易证△APE≌△DPF，即可得AE=DF，所以DE+DF=AD；（2）取AD的中点M，连接PM，根据菱形的性质，即可得△MDP是等边三角形，利用SAS易证△MPE≌△FPD，再由全等三角形的对应边相等可得ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD． 【详解】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P， ∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°， ∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°， ∴∠APE=∠DPF， 在△APE和△DPF中 ∴△APE≌△DPF（ASA）， ∴AE=DF， ∴DE+DF=AD； （2）如图②，取AD的中点M，连接PM， ∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形， ∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°， ∴△MDP是等边三角形， ∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°， ∵∠PAM=30°， ∴∠MPD=60°， ∵∠QPN=60°， ∴∠MPE=∠FPD， 在△MPE和△FPD中， ∴△MPE≌△FPD（ASA） ∴ME=DF， ∴DE+DF=AD； （3）如图， 在整个运动变化过程中， ①当点E落在AD上时，DE+DF=AD， ②当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=AD． 【点睛】本题考查了全等三角形判断和性质，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$