6.4.3.1余弦定理教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

“余弦定理”教学设计 一．教学内容解析 从教材来看，本节课选自人教版数学必修第二册第六章第6.4.3节，在学习这个知识之前，学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理和坐标表示，并以向量为工具，探究了向量在平面几何中的应用，本课在此基础上研究三角形.三角形是平面几何中最常见最重要的图形之一,三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理，它们为解三角形提供了基本而重要的工具. 本节课利用向量探究三角形边长与角度的关系，突出了向量在解三角形中的应用，展示了以向量为工具解决问题的优越性，发现了向量的巨大作用，感受到向量运算的力量，在证明余弦定理之后。进一步用其解决实际问题，体现了向量教学的整体性以及数学与现实生活的联系和在实际应用中的价值。 在解决实际问题的过程中，感受数学的重要价值，体会学好数学的重要作用，发现数学与生活的密切联系，解决问题，联系以往学习的三角函数、向量的数量积等知识，理解事物之间普遍联系与辩证统一。 根据上述分析，确定本单元的教学重点:引导学生发现它的基本特征，建立清晰系统的知识结构，发展数学表达和数学应用的能力。教学难点：余弦定理的发现，从不同角度证明余弦定理。 1． 教学目标及核心素养 1.经历向量的运算过程，探究三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理及其推论的证明过程。 2.类比余弦定理的学习过程，探究正弦定理，体验向量在解决问题中的优越性； 4.能用余弦定理解决简单的实际问题，以解三角形知识为载体，体会解三角形与现实世界的密切联系。 5.经历把实际问题转化为数学问题的过程，提高学生分析和解决问题的能力。在实际问题的应用过程中,培养学生文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力，发展学生的直观形象，数学建模，逻辑推理和数学运算素养。 6.达成上述目标的标志是：（1）学生知道向量是解三角形问题中的重要数学工具，能利用向量的运算探究三角形的边长和角度的关系。(2)学生在经历余弦定理的证明过程中,掌握几何法、坐标法、向量法等不同证明方法,感受到向量运算的力量:(3)在探究正弦定理的过程中,学生会借助由特殊到一般、类比的思想方法，能够利用向量的运算验证猜想;(4)学生能掌握利用余弦定理、正弦定理，并能利用余弦定理、正弦定理去解三角形,以及解决简单的实际问题.(5)学生能在本单元的学习过程中，能够将实际问题数学化，并利用数学结果解释实际问题，实现不同语言之间的转化，发展直观形象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。 三．学生学情分析 1.知识层面：学生已经掌握了向量的基础知识，能够利用向量去解决平面几何问题，并了解了向量在物理中的应用,积累了一定的数学活动经验，在教师的引导下，能够以向量为工具去研究三角形问题。 2.能力层面：学生数学建模素养尚处于初级阶段，阅读能力还需提升，文字语言、图形语言和符号语言之间的转化能力还需加强，在解决实际问题的过程中，需要教师进行适当指导。 3.情感层面：学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理能力有待于提高。 4.资源层面：运用几何画板软件进行动态绘图，将实际问题数学化，更直观的呈现在学生面前帮助学生克服学习中可能遇到的困难，更好的理解余弦定理及其应用。 四．教学策略分析 基于对教学内容和学生学情的分析，可以采用以下教学策略： 1.“先行组织者”策略：在“创设情境，引入新课”这一环节，引导学生回忆关于三角形的内容，即全等三角形的判定，以及三角形的三边的关系。引出本节课学习的内容，一是为本节课提供知识准备，二是为新知学习提供研究动机和研究方法。 2.过程中渗透研究方法：引导学生经历“发现和猜想-验证和去伪-归纳与概括-应用与拓展”的知识形成过程。 3.分层递进策略：让学生从初中学习的三角形内容进行拓展，再从刚学过的向量出发，引入余弦定理的证明，后来进行余弦定理的推论。 五．教学过程 对于本节课的教学过程，我将以下七个方面展开。 （一）创设情境，引入新课 问题1：关于三角形，我们都学过了哪些内容? 设计意图：这节课主要研究的是三角形，这个问题可以引导学生思考一个三角形中的几何量以及它们之间的关系。判定三角形全等的方法有哪些?等等,为接下来的学习做铺垫。 活动预设：师生共同回顾与三角形相关的学习内容，如全等三角形、勾股定理、锐角三角函数等等。教师可以将其总结至黑板上。（如板书设计中图1所示） 问题2：从刚刚复习的内容我们可以发现，关于三角形，我们已经研究了一个三角形与另外一个三角形的边角关系，还研究了三角形自身边与边的关系及其角与角的关系。那么同学们认为我们还应该研究三角形的什么内容呢？ 设计意图：让学生发现和提出问题，进而用数学问题引出课题，让学生经历从定性研究到定量研究。（判定三角形的全等是对三角形的定性研究，本节课要定量研究三角形，看看三角形自身的边角之间，有什么定量关系。） 活动预设：学生提出我们还需研究三角形自身的边角之间有什么关系，进而引出本节课所要学的内容。 问题3：通过我们刚刚复习的内容，大家可以发现判定三角形全等的四种方法的共同点是什么? 设计意图:把问题引出来,然后接着把问题具体化，例如我们接下来面对的问题是什么?面对是已知三条边，或者已知两边及其夹角的解三角形问题。 活动预设:师生共同探究，在三角形中，给出六个要素中的任意三个要素还不能确定一个三角形，其中必须至少有一个元素是边。 追问:如果已知三角形三边的话会有什么数量关系?如果已知两边一夹角的话会有怎样的数量关系? 活动预设:分析问题，思考方法。 设计意图:从定性到定量发现和提出问题，深挖教材细节,教材在这个地方强调了创新,强调了逻辑思维、理性思维。 问题4:上节课我们已经学了向量这个工具,那么是否可以利用向量去研究三角形的边角问题呢? 设计意图:层层递进，发现和提出问题，在平面图形当中，三角形是最典型、最重要的图形，可以利用向量加法、数量积运算去解决三角形中的边角问题。 活动预设：回顾向量的知识内容，向量既有大小又有方向，向量不仅可以度量还能运算，利用运算，可以把一个几何的问题转化为代数问题，运算有加法、减法、数乘、数量积，准备好这个工具以后,就可以利用向量去解决几何问题。 （2） 合作交流，探究新知 问题1：如图所示，设=a，=b，=c，已知|a|,|b|以及角C，是否可以求出c边的长度。A b c a B C 设计意图：向量法是教材提供的证法,简洁方便充分体现了向量的数形兼备的工具性，让学生感受到向量运算的力量，同时体会向量法在三角形中的应用。 活动预设：建立向量与三角形边的关系，用向量这个工具去解决几何问题的时候，最核心的是“三步曲”的第一步，用向量的方法去表达几何的元素.这里的最核心问题是基底的选择，所选的这两个向量其实就是一个基底.由学生展示并讲解推理论证过程，得到余弦定理的符号语言。 由图可得，c=a-b.A |c|2=c·c=(a－b)·(a－b) |c|2=a·a+b·b－2a·bb c |c|2=a2+b2－2|a|·|b| 所以有： c2=a2+b2－2abB 同理可以得出：b2=a2+c2－2acC a2=c2+b2－2bca 问题2：向量法需要讨论三角形的形状吗?请同学们自己尝试一下。 设计意图：学生亲自书写证明过程，再次熟悉向量解决平面几何问题的“三步曲”，同时发现利用向量法无需对三角形的形状进行分类讨论，证明过程十分简洁,理解向量法是解决数学问题的有力工具。 活动预设:经历推导过程，发现采用向量法证明无需讨论三角形的形状。 问题3：通过以上的学习，我们就得出了一个重要的定理—余弦定理。同学们，是否可以根据我们刚才推出来的符号语言来用文字语言描述它呢？ 设计意图:能够用自己的语言去表述，有助于学生达到真正的理解，同时检验学生的学习情况，是否有着清晰的认知。 活动预设:让学生尝试用文字语言解释符号语言，最后总结：余弦定理即三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 问题4:同学们是否可以回答，这个定理为什么叫余弦定理? 设计意图:让学生能够理解余弦定理的本质，进而能够使用余弦定理，为后续的应用做好铺垫。 活动预设：教师强调余弦定理是勾股定理的推广，这是一个非常重要的刻画边角关系的定理,刻画的是边和角的余弦之间的关系，是三角形与三角函数的桥梁。 问题5：请同学们思考，如果已知三角形的三条边，三角形的三个角可以确定吗? 设计意图：发展学生的逻辑推理和数学运算能力，研究定理的特点，进一步发现定理的推论，掌握定理内容。 活动预设：和同学们一起观察余弦定理的特点，得到余弦定理的推论: 之后由教师总结解三角形的含义：一般地，三角形的三个角A，B，C和他们的对边abc叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2） 应用新知，体验成功 问题1：在中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 设计意图：考察学生对余弦定理的推论的理解与掌握，对特殊角的三角函数值的掌握. 活动预设：先让学生独自解题，之后又教师进行讲解，并将步骤列在板书上。 解：由余弦定理，得 a2=c2+b2－2bc 代入数据，得 a2=602+342－2×60×34×≈1676.78， a≈41（cm） 由余弦定理的推论，得 代入数据，得 =－ 利用计算器，可得B≈106°. 所以C=180°－（A+B）≈180°－（41°+106°）=33° 问题2：如下图所示，一艘船从B处航行到C处，然后从C处航行到A处。已知船员测得BC的距离为600m，但没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，是否可以计算出AB的距离？B A C 设计意图：创设实际问题情境，激发学生思考，调动学生学习数学的积极性，体现数学的重要作用.在这一过程中发展学生数学抽象、数学建模等核心素养与转化与化归思想，体现数学的价值。 活动预设：学生计算，教师指导，在解决实际生活问题的过程中，积累数学基本活动经验.掌握余弦定理并能应用余弦定理解决实际生活问题. (四)梳理小结，盘点收获 建立解三角形的知识体系，总结解决问题的方法，能够灵活应用余弦定理，并为后续正弦定理的类比学习打好基础。教师引导学生回顾本节知识，并列出以下框架图。 （五）延伸思考，提高层次 请同学们预习正弦定理，了解余弦定理的其他证明方法以及相关的数学史内容。 设计意图：给教学留白，让学生深度思考。 (六)推荐作业，巩固拓展 采取分层作业的形式，包括： 必做题： 1.课本第44页第1、2、3题，第52页的第6、7题，第53页的8、9、12、15、16题。 2.梳理本节课的学习收获，查阅余弦定理在各领域的应用，加深对指数函数的理解和认识。 选做题: 课本53页第21、22题。 设计意图：帮助不同层次的学生巩固知识，拓展能力。 (七)板书设计 图1 复习三角形的内容 图2 推理余弦定理的过程 图3 余弦定理的小结 学科网（北京）股份有限公司 $$