2.2.3 一元二次方程的解法 课件 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

湘教版·初中数学·九年级上册·第二章 2.2.3 一元二次方程的解法 因式分解法 回顾旧知 2.说一说：我们学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法： 公式法： 1.什么叫做分解因式？因式分解的方法有哪些？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 平方差公式 a²-b²= 完全平方公式 a²±2ab+b²= ma+mb+mc= m(a+b+c) (a+b)(a-b) (a±b)² 3.在横线写出下面多项式因式分解的结果： (1)4x²+6x= ； (2)x(x-2)-4x+8= ； (3)9x²-4= ； (4)4x²-(x-2)²= . 2x(x+3) (x-2)(x-4) (3x+2)(3x-2) (3x-2)(x+2) 回顾旧知 新知探究 小亮是这么解的： 小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零， 所以小亮的解法不对 . 解方程： 把方程两边同除以 ，得 解得 怎么少了一个根？ 小亮的解法对吗？ 为什么？ 上面这样的方程可以用什么方法来解呢？ 新知探究 解方程： 配方法 公式法 解： 解： 用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较麻烦. 公式法相对简单些，而且c等于0. 再想一想还有没有更简单的方法呢？ 新知探究 像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 解方程： 观察这个方程的左侧，发现可以因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为：x(x-3)=0 若a·b=0，则a=0或b=0 例题精讲 例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1) (3)(35-2x)²-900=0. 解 (1)方程可化为 因式分解，得 由此得 解得 x²-8x=0. x=0或x-8=0. x(x-8)=0. x₁=0，x₂=8. 例题精讲 例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1) (3)(35-2x)²-900=0. (2)方程可化为 因式分解，得 由此得 2x(5x-1)-3(5x-1)=0. 5x-1=0或2x-3=0. (5x-1)(2x-3)=0. 解得 例题精讲 (3)方程可化为 因式分解，得 由此得 (35-2x)²-30²=0. 65-2x=0或5-2x=0. (65-2x)(5-2x)=0. 解得 x₁=32.5或x₂=2.5. 例 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-5)=3x； (2)2x(5x-1)=3(5x-1) (3)(35-2x)²-900=0. 归纳小结 　　 利用因式分解法解一元二次方程的实质就是通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 归纳小结 因式分解法的基本步骤 1.移项：将方程的右边化为0; 2.分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 1.用因式分解法解下列方程 小试牛刀 例 用因式分解法解方程：x²-10x+24=0. 解: 配方，得 因式分解，得 由此得 解得 x²-10x+5²-5²+24=0. x-4=0或x-6=0. (x-5+1)(x-5-1)=0. x₁=4或x₂=6. 原方程可化为 (x-5)²-1²=0. 例题精讲 (x-4)(x-6)=0. 即 思考： 能不能直接把方程左边因式分解得到这步？ 可以看出， 我们能把方程x2 - 10x + 24 = 0因式分解后， 写成 (x - 4 )(x-6)= 0， 则4和6就是方程的两个根. 归纳小结 一般地， 若我们能把方程x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后， 写成 x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0， 则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根. 反过来，如果d和h是方程x²-bx+c=0的根，则方程的左边就可以分解成 x² - bx + c=(x - d)(x - h). 2.用因式分解法解下列方程： 小试牛刀 x2 +(a+b)x+ab ＝ 0 (x+a)(x+b)＝ 0 课堂小结 1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( ) A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝ x 2－4 C． x 2＋5 x －2＝0 D．12(2－ x)2＝3 2.一元二次方程x(x －3)＋3－ x ＝0的根是( ) A．1 B．3 C．1和3 D．1和2 C B 3. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x 2－4 x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( ) A．5 B ．7 C．5或7 D．10 B 当堂检测 当堂检测 4. 用因式分解法解方程x²+8x-9=0，可得（ ） A. (x+8)(x-1)=0 B. (x-8)(x+1)=0 C. (x-9)(x+1)=0 D. (x-1)(x+9)=0 D 5. D 6. 已知一元二次方程的两根分别是x₁=3，x₂=-5，则这个方程可能是（ ） A. x²-7x+10=0 B. (x-3)(x+5)=0 C. (x+3)(x+5)=0 D. (x-1)(x-5)=0 B 7.如果x 2－ x －1＝(x ＋1)0，那么x的值为 ． 2 当堂检测 当堂检测 8. 用因式分解法解下列方程： (1) x²-7x=0； (2) x(x-3)=5x； (3) x²+6x+8=0； (4) (x+1)²-4=0； (5) 2x(x-1)=1-x； (6)4x²-20x+25=0 . 9．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， 得x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10， ∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当堂检测 拓展提升 换元法 1.若实数a，b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0，则a+b= . 2.解方程： 在已知或未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它，从而化简问题，这就是换元法. 当然有时候要通过变形才能换元，一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解. $$