第四单元多边形的面积（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

多边形的面积 板块一：考点精讲 1．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 2．平行四边形的面积 【知识点归纳】 平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高） 【解题思路点拨】 （1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应的高，代入公式即可求得． 3．梯形的面积 【知识点归纳】 梯形面积＝（上底+下底）×高÷2． 4．三角形的周长和面积 【知识点归纳】 三角形的周长等于三边长度之和． 三角形面积＝底×高÷2． 5．组合图形的面积 【知识点归纳】 方法： ①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减． ②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减． ③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形． 板块二：高频考点 一、选择题 1．下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 2．如下图，两个长方形的长和宽分别相等，A、B分别是左边长方形上下两条边的中点，比较下面两个图形中阴影部分的面积（    ）。 A．平行四边形的面积 B．三角形的面积 C．他们的面积一样大 D．无法确定 3．一个三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，另一条斜边长5cm，斜边上的高长（    ）。 A．1cm B．2cm C．2.4cm D．3.75cm 4．如图：三个完全相同的长方形中，阴影部分的面积（      ） A．甲面积大 B．乙面积大 C．丙面积大 D．一样大 5．一个梯形的下底长是上底长的3倍，把上底延长12厘米，这个梯形就变成了一个面积是126平方厘米的平行四边形，这个梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．72 B．84 C．96 D．108 6．如图中各图形的底都是3厘米。下列说法正确的是（    ）。 A．③的面积是④的面积的2倍 B．①和②面积相等 C．⑤的面积是⑥的面积的一半 D．以上均不正确 7．下图是一个直角三角形和一个正方形组成的梯形，已知直角三角形的面积是15平方厘米，那么梯形的高是（    ）厘米，面积是（    ）平方厘米。 A．6；51 B．112；16.5 C．3；33 D．33；51 8．一个梯形的上底长3厘米，下底长5厘米，如果下底增加4厘米，面积就增加6平方厘米。原来梯形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．16 C．18 D．24 二、填空题 9．一个三角形的面积是6cm2，底是2cm，高是（ ）cm。 10．一个三角形的面积是5.8平方厘米，与这个三角形等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 11．平行四边形的底扩大为原来的5倍，高缩小为原来的，平行四边形的面积( )。 12．如图，正方形的周长是80厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 13．甲木条长9厘米，乙木条长是甲木条的，用这两种木条共三根围成一个等腰三角形，等腰三角形的周长是（ ）厘米． 14．一个三角形的面积是48cm2，底是12cm，高是（ ）cm． 15．下图直角三形的面积是( )平方厘米，斜边上的高是( )厘米。 三、判断题 16．一个三角形的高不变，对应的底扩大到原来的4倍，面积就扩大到原来的2倍。( ) 17．一个长方形的长增加到6厘米，宽增加到3厘米，它的面积增加18平方厘米．( ) 18．经过平行四边形的每个顶点只能做一条高线。( ) 19．两个三角形的底和高相等，它们的面积相等，形状也相同。( ) 20．图形和的面积相等。( ) 21．一个三角形的底和高都扩大到原来的2倍，它的面积也扩大到原来的2倍。( ) 22．把一个长方形木框拉成平行四边形，周长不变，面积也不变。( ) 23．一个用木条钉成的平行四边形，捏住对角把它推成一个长方形，它们的周长相等。( ) 四、解答题 24．一个果园的形状是平行四边形，底是235米，高是62米，如果每棵果树占地10平方米，这个果园一共可植多少棵树？ 25．一块梯形玻璃板，上底是1.5米，下底是3.5米，高是2米．如果每平方米玻璃板可卖35元，这块玻璃板共可卖多少元？ 26．学校水塘是一个三角形，它的底是60米，高是40米，水塘的面积有多少平方米？ 27．把一个长27厘米、宽16厘米的长方形拉成一个高为13厘米的平行四边形（以长方形的长为底）后，面积减少了多少平方厘米？ 28．王大伯靠着一面墙，用篱笆围了一块梯形的菜地（如图）．已知篱笆长28米，其中一条边长6米，求这块梯形菜地的面积是多少平方米？              29．一个平行四边形底是5分米，高是4分米，与它等底等高的三角形面积是多少平方分米？ 30．市场上每平方米塑料布的价格是3.3元，小李买了一块底是1.5米，高是0.8米的三角形塑料布，共花了多少钱？ 31．有一块平行四边形草地，底长25m，高是底的一半．如果每平方米的草可供3只羊吃一天，这块草地可供多少只羊吃一天？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D B A A A 1．C 【分析】因为每个小方格的面积是1平方厘米，数一数阴影部分由多少个方格组成，不足一格按半个计算；用方格的个数乘1平方厘米即可。图形①由16个整格组成；图形②由14个整格组成；图形③由16个整格，4个半格，组成2个整格，共有16＋2＝18（个）整格组成；分别求出它们的面积，再比较解答。 【详解】根据分析可得： 图①的面积是：16×1＝16（平方厘米） 图②的面积是：14×1＝14（平方厘米） 图③的面积是：18×1＝18（平方厘米） 18平方厘米＞16平方厘米＞14平方厘米， 所以上面三个图形面积大小排列顺序正确的是③＞①＞②。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法，弄清楚阴影部分有多少个方格组成，是解答本题的关键。 2．C 【分析】由于两个长方形都相等，可以假设长方形的长是4，宽是2，由此即可知道左边的平行四边形的底是4÷2＝2，高是2；右边的三角形底是4，高是2，根据平行四边形的面积公式：底×高；三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求出各自的面积，再比较即可。 【详解】假设两个长方形的长是4，宽是2 平行四边形的面积：（4÷2）×2 ＝2×2 ＝4 三角形的面积：4×2÷2 ＝8÷2 ＝4 所以三角形的面积＝平行四边形的面积 故答案为：C。 【点睛】本题主要考查平行四边形和三角形的面积公式，熟练掌握它们的面积公式并灵活运用。 3．C 【分析】根据三角形的面积公式可知，两条直角边相乘的积÷2＝斜边长与斜边的高的积÷2，据此求解。 【详解】3×4÷5＝2.4（cm） 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握三角形面积的求解公式是解题的关键。 4．D 【详解】由图中可以看出，三幅图中的甲、乙两幅是等底等高的，丙种的三角形的底和高与前两幅图中的底和高交换，计算面积时，底和高之间是乘法运算，根据乘法交换律，丙图的三角形的面积等于前两幅图中的面积． 5．B 【分析】由“梯形的下底长是上底长的3倍，把上底延长12厘米”可知：下底比上底多2倍是12厘米，所以上底是12÷2＝6厘米，下底是6×3＝18厘米，再根据平行四边形的面积公式求出梯形的高，最后带入梯形的面积公式计算即可。 【详解】上底：12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 下底：6×3＝18（厘米） 高：126÷18＝7（厘米） （6＋18）×7÷2 ＝24×7÷2 ＝168÷2 ＝84（平方厘米） 故答案为：B 【点睛】本题考查梯形、平行四边形的面积公式及简单的差倍问题，求出梯形上、下底及高的值是解题的关键。 6．A 【分析】根据平行四边形的面积公式：底×高，三角形的面积公式：底×高÷2，分别求出各图形的面积，再比较大小即可。 【详解】①的面积＝3×4＝12（平方厘米） ②的面积＝3×4÷2＝6（平方厘米） 所以①和②面积不相等。 ③的面积＝3×2＝6（平方厘米） ④的面积＝3×2÷2＝3（平方厘米） 所以③的面积是④的面积的2倍。 ⑤的面积＝3×2＝6（平方厘米） ⑥的面积＝3×4÷2＝6（平方厘米） 所以⑤的面积和⑥的面积相等。 故答案为：A 【点睛】分别求出各图形的面积，是解答此题的关键。 7．A 【分析】观察图形可知，梯形高等于三角形的高也就是正方形的边长，已知三角形面积和底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，求出三角形的高，进而求出梯形的上底、下底和高的长度，再根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】梯形的高：15×2÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 梯形面积：（6＋6＋5）×6÷2 ＝（12＋5）×6÷2 ＝17×6÷2 ＝102÷2 ＝51（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】本题也可以利用正方形面积加上三角形面积的和求出梯形面积。 8．A 【分析】下底增加4厘米，则增加部分是一个底是4厘米，高于梯形等高的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据可得三角形的高（梯形的高），再将数据代入梯形的面积公式即可解答。 【详解】6×2÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） （3＋5）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键是求出梯形的高。 9．6 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，可知h＝2S÷a，已知三角形的面积是6平方厘米，底是2厘米，据此解答。 【详解】6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。 10．11.6 【分析】等底等高的平行四边形和三角形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，据此解答。 【详解】5.8×2＝11.6（平方厘米） 与这个三角形等底等高的平行四边形的面积是11.6平方厘米。 【点睛】掌握三角形和平行四边形的面积计算公式是解题关键。 11．不变 【分析】根据平行四边形的面积S＝ah，底扩大为原来的5倍，高缩小为原来的，那么新的平行四边形的面积为5a×（h÷5）＝ah×5÷5＝ah，与原来平行四边形的面积相等。据此解答。 【详解】由分析可知，平行四边形的底扩大为原来的5倍，高缩小为原来的，平行四边形的面积不变。 【点睛】学会灵活运用平行四边形的面积公式以及积的变化规律是解题关键。 12．400 【分析】正方形的周长是80厘米，则边长是80÷4＝20（厘米）。观察图形可知，平行四边形的底和高都与正方形的边长相等，平行四边形的面积＝底×高，据此代入数据计算。 【详解】80÷4＝20（厘米） 20×20＝400（平方厘米） 则平行四边形的面积是400平方厘米。 【点睛】本题考查了有关正方形的周长和平行四边形的面积的计算。明确平行四边形的底和高都等于正方形的边长是解题的关键。 13．22.5 【详解】试题分析：先根据一个数乘分数的意义，求出乙木条的长度，进而结合题意，根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，确定出围成等腰三解形三条边的长度，进而根据三角形周长的计算方法解答即可． 解：9×=4.5（厘米）， 两种木条三根围成一个等腰三解形，因为4.5+4.5=9，所以不能用4.5厘米、4.5厘米、9厘米的三根木条；只能用9厘米、9厘米和4.5厘米的木条， 9+9+4.5=22.5（厘米）； 答：等腰三角形的周长是22.5厘米． 故答案为22.5． 点评：解答此题的关键是先一个数乘分数的意义，求出乙木条的长度，进而根据三角形的特性，判断出围成等腰三解形三条边的长度，根据三角形周长的计算方法解答即可． 14．8 【详解】试题分析：根据三角形的面积公式S=ah÷2，得出h=2S÷a，把三角形的面积48cm2，底12cm代入关系式求出高． 解：48×2÷12， =96÷12， =8（厘米）， 答：高是8厘米． 故答案为8． 点评：本题主要是灵活利用三角形的面积公式S=ah÷2解决问题． 15． 6 2.4 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，高＝三角形的面积×2÷底，代入数据计算即可。 【详解】4×3÷2＝6（平方厘米），三角形的面积是6平方厘米。 6×2÷5＝2.4（厘米），斜边上的高是2.4厘米。 【点睛】此题主要考查了三角形面积公式的灵活运用。明确在直角三角形中，两条直角边就是对应的底和高，斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边。 16．× 【分析】分析题目，三角形的面积＝底×高÷2，三角形的高不变，对应的底扩大到原来的多少倍，则面积也扩大到原来的多少倍，据此解答。 【详解】一个三角形的高不变，对应的底扩大到原来的4倍，面积也扩大到原来的4倍。 故答案为：× 【点睛】掌握三角形的面积公式是解答本题的关键。 17．× 18．× 【分析】经过平行四边形的一个顶点可以向两条对边各做一条高。 【详解】经过平行四边形的每个顶点能做两条高线。如下图： 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查平行四边形高的画法，解题时注意顶点位置是两边交点。 19．× 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，则当两个三角形的底和高相等，它们的面积也相等，但是它们的形状不一定相等，如下图所示，两个三角形底和高都相等，但它们的形状不同。 【详解】根据三角形的面积公式可知，两个三角形的底和高相等，它们的面积相等，但它们的形状不一定相同。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握三角形的特征和面积公式是解题的关键。 20．× 【分析】根据公式：平行四边形的面积＝底×高、三角形的面积＝底×高÷2，计算出两个图形的面积，再进行大小比较，即可解答。 【详解】平行四边形的面积： 3×1＝3（平方厘米） 3×1÷2＝1.5（平方厘米） 3≠1.5 故答案为：× 21．× 【分析】可采用假设法解决此题。设三角形的底为2厘米，高为1厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”分别计算出原来三角形的面积和现在三角形的面积；再用现在三角形的面积除以原来三角形的面积即可得到扩大的倍数。 【详解】原来三角形的面积：2×1÷2＝1（平方厘米） 现在三角形的面积：（2×2）×（1×2）÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 4÷1＝4 所以三角形的面积就扩大到原来的4倍。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确三角形面积计算公式是解决此题的关键。 22．× 【分析】根据长方形和平行四边形的周长就是组成它们的线段的和，因为每条线段长度没有改变，据此判断周长的变化，又因为长方形拉成平行四边形后高变短了，底没变，据此判断面积的变化即可。 【详解】由分析可得： 组成长方形的4条边还是平行四边形的4条边，所以周长没变。 长方形变成平行四边形后，长＝底，宽＞高，所以面积变小了。 综上所述：把一个长方形木框拉成平行四边形，周长不变，面积变小了。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了对长方形、平行四边形周长和面积的意义、特征及应用。 23．√ 【分析】根据题意可知，平行四边形和长方形的周长都是四根木条的长度之和，所以它们的周长是相等的。 【详解】有分析可知，一个用木条钉成的平行四边形，捏住对角把它推成一个长方形，它们的周长相等。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】一个用木条钉成的平行四边形，捏住对角把它推成一个长方形，周长不变，面积变大了。 24．1457棵 【分析】平行四边形的面积＝底×高，代入数据先算出果园的面积，再用果园的面积除以10，即可算出答案。 【详解】果园的面积：235×62＝14570（平方米） 14570÷10＝1457（棵） 答：这个果园可以植1457棵树。 25．175元 【详解】试题分析：一块梯形玻璃板，上底是1.5米，下底是3.5米，高是2米．根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2可求出梯形的面积，再乘35就是共可卖的钱数，据此解答． 解：（1.5+3.5）×2÷2×35 =5×2÷2×35 =175（元） 答：这块玻璃板共可卖175元． 【点评】本题的重点是根据梯形的面积公式求出玻璃板的面积，再根据总价=单价×数量进行计算． 26．1200平方米 【详解】试题分析：根据三角形的面积=底×高÷2，代入数据求出水塘的面积． 解：60×40÷2， =2400÷2， =1200（平方米）； 答：水塘的面积有1200平方米． 点评：此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用． 27．81平方厘米 【分析】根据“长方形面积＝长×宽、平行四边形面积＝底×高”，分别求出长方形、平行四边形的面积，再相减即可。 【详解】27×16－27×13 ＝27×（16－13） ＝27×3 ＝81（平方厘米） 答：面积减少了81平方厘米。 【点睛】熟练掌握长方形、平行四边形的面积计算公式，是解答此题的关键。 28．66平方米 【详解】（28-6）×6÷2= 66（平方米） 29．10平方分米 【详解】5×4÷2=10（平方分米） 答：与它等底等高的三角形面积是10平方分米． 30．1.98元 【详解】试题分析：先依据三角形的面积公式求出塑料布的面积，再乘每平方米的价格，问题即可得解． 解：1.5×0.8÷2×3.3， =0.6×3.3， =1.98（元）； 答：共花了1.98元钱． 点评：此题主要考查三角形的面积的计算方法在实际生活中的应用． 31．937只 【详解】25÷2=12.5(m) S=ah =25×12.5 =312.5(m2) 3×312.5=937.5≈937（只） 答：这块草地可供937只羊吃一天． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$