专题5.6 解三角形（正、余弦定理）（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题5.6 解三角形（正、余弦定理） 【考纲要求】 1. 熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，会根据已知条件选择正确的公式来求解三角形. 2. 能结合前面所学三角函数的知识来解决三角形的有关综合问题. 【考向预测】 1.正弦定理 2.余弦定理 3.面积公式 1．正弦定理: ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 适用范围：两角及一边 变形形式：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 2．余弦定理: a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 适用范围：两边及一角、三边 3．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 4．常用公式 A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)， cosA＝－cos(B＋C)， tanA＝－tan(B＋C) 考点一：正弦定理 【例1】中，若，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】在中，已知，，，则__________． 【例2】在中，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 【变式探究】在中，角、、的对边分别、、，则“”是“”的（ ）． A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，， 则　　 A． B． C． D． 【例4】在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 【变式探究】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ） A． B． C． D． 【例5】在中，若等式成立，则的形状是（ ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式探究】在中，，则为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，这是解题过程中常用的方法，也是利用正弦定理解题的关键． 考点二：余弦定理 【例1】中内角所对的边分别为，已知，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】在中，，，，则 . 【例2】的三个内角､､满足，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】的内角的对边分别为，，则角B的大小为( ) A． B． C． D． 【例3】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【变式探究】在中,已知三边，，，满足，则( ) A． B． C． D． 【例4】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b=（       ） A．4 B． C． D．2 【例5】在锐角中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式探究】在中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是解答题目的关键．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 考点三：面积公式与正余弦定理的结合 【例1】在中，若，，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________. 【变式探究】在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 【例3】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式探究】在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法等. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 解三角形（正、余弦定理） 【考纲要求】 1. 熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，会根据已知条件选择正确的公式来求解三角形. 2. 能结合前面所学三角函数的知识来解决三角形的有关综合问题. 【考向预测】 1.正弦定理 2.余弦定理 3.面积公式 1．正弦定理: ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 适用范围：两角及一边 变形形式：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 2．余弦定理: a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 适用范围：两边及一角、三边 3．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 4．常用公式 A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)， cosA＝－cos(B＋C)， tanA＝－tan(B＋C) 考点一：正弦定理 【例1】中，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中， ， 由正弦定理得：， 即，解得：. 故选：B. 【变式探究】在中，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】由正弦定理有：，． 故答案为：. 【例2】在中，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 【答案】B 【解析】中，， 由正弦定理，，， ，所以，可为锐角也可为钝角，所以或， 因此“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式探究】在中，角、、的对边分别、、，则“”是“”的（ ）． A． 充分必要条件 B． 充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：∵，由正弦定理得（为三角形外接圆得半径），∴，必要性：∵，由正弦定理得，，∴，所以两条件可以互推. 故选：A. 【例3】的内角，，的对边分别为，，.若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理及得：，解得， 在中，，，于是为锐角，所以. 故选：C 【变式探究】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意，在中，，则， 又由，，则有 ，即， 故选：． 【例4】在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，则， 故或.因为，所以，所以， 故选：A. 【变式探究】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】边换角后约去，得， 所以，但B非最大角，所以， 故选：A. 【例5】在中，若等式成立，则的形状是（ ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形. 故选：A. 【变式探究】在中，，则为（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵，由正弦定理可得，， ∴，， ∴为等边三角形， 故选B. 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，这是解题过程中常用的方法，也是利用正弦定理解题的关键． 考点二：余弦定理 【例1】中内角所对的边分别为，已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得：，所以. 故选：A. 【变式探究】在中，，，，则 . 【答案】 【解析】，所以． 故答案为：. 【例2】的三个内角､､满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 可设， 由余弦定理可得. 故选：B. 【变式探究】的内角的对边分别为，，则角B的大小为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】中，， 由正弦定理得，由余弦定理得：， 又，∴， 故选：B. 【例3】在中，角所对的边分别为，若，则（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由得，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 【变式探究】在中,已知三边，，，满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵中,已知三边，，满足， ∴，即， ∴， 又由，得， 故选：D． 【例4】在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为由正弦定理可得，所以， 又，所以. 故选：D. 【变式探究】 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b=（       ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，即. 又，所以， 由余弦定理得：， 从而， 故选：B. 【例5】在锐角中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】在锐角中，若， 则=， 由余弦定理得 = =，∴， 故选：D. 【变式探究】在中，若，，，则=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理得，， ， 化简得，，， ∴， 故选：C. 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是解答题目的关键．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 考点三：面积公式与正余弦定理的结合 【例1】在中，若，，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 【变式探究】在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，则， 故选：A. 【例2】已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】由于，，， ∵，∴，， 由余弦定理得，解得， ∴的面积， 故答案为：. 【变式探究】在中，，，若的面积等于，则边长为__________． 【答案】 【解析】因为，故， 所以.又，所以， 故， 从而， 故答案为：． 【例3】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在锐角中，，， ，，① 又，是锐角，， 由余弦定理得：， 即， ②， 由①②得：，解得． 故选：． 【变式探究】在中，，，分别是角，，所对的边，若的面积，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 整理得：， 由余弦定理得：， 即，即， 又，解得. 故选：C. 正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法等. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$