专题5.4 正弦型函数及图像变换（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题5.4 正弦型函数及图像变换 【考纲要求】 1. 掌握正弦型函数的概念，会利用正弦型函数的图像和性质解决问题. 2. 理解正弦型函数的图像变换，掌握图像变换的方法. 【考向预测】 1.正弦型函数的图像和性质 2.正弦型函数的图像变换 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 (1)振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． (2)平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． (3)周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． (4)函数的图像经变换得到的图像的两种途径 考点一：正弦型函数的概念和性质 【例1】函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 【变式探究】函数的频率和初相分别是(　　) A．和 B．和－ C．和 D．和－ 【例2】函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】设函数(＞0) 的最小正周期为，则= . 【例3】一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，则正弦型函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【例4】函数（，，为常数，＞0，＞0，）在闭区间上的图像如图所示，则为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式. 【例5】函数的最小正周期是 ，当= 时，函数有最大值；当= 时，函数有最小值. 【变式探究】函数（其中＞0）的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由ω＝，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 考点二：三角函数的图像变换 【例1】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【变式探究】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【例2】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（       ） A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 【变式探究】为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（       ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【例4】指出正弦型函数的图像经过怎样的变化可以得到函数的图像. 【变式探究】已知函数，说明此函数是由如何变换而来的. 【例5】若将的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像正好关于原点对称，则的最小正值为 ． 三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 正弦型函数及图像变换 【考纲要求】 1. 掌握正弦型函数的概念，会利用正弦型函数的图像和性质解决问题. 2. 理解正弦型函数的图像变换，掌握图像变换的方法. 【考向预测】 1.正弦型函数的图像和性质 2.正弦型函数的图像变换 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 4．三角函数图像变换 (1)振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． (2)平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． (3)周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． (4)函数的图像经变换得到的图像的两种途径 考点一：正弦型函数的概念和性质 【例1】函数的振幅为 ， 最小正周期为 ，初相为 . 【答案】4，， 【解析】根据振幅、周期、初相的概念可知振幅为4，周期==，初相为 . 故答案为：4，，. 【变式探究】函数的频率和初相分别是(　　) A．和 B．和－ C．和 D．和－ 【答案】D 【解析】∵==，频率==，初相=－. 故选：D. 【例2】函数的最小正周期是，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵=，∴=. 故选：C. 【变式探究】设函数(＞0) 的最小正周期为，则= . 【答案】 【解析】∵==， ∴，=，∴ = . 故答案为：. 【例3】一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，则正弦型函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵==，∴==，， 由最高点和最低点可知，正弦型函数解析式为， 带入最高点得，∴，∴正弦型函数解析式为. 故选：C. 【变式探究】已知正弦型函数（＞0，＞0，0＜＜）在一个周期内的图像如下图所示，则为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵=－=，∴==，∴=2， 由图知振幅A=2，∴，带入最高点，得， ∴正弦型函数的解析式为，=. 故选：D. 【例4】函数（，，为常数，＞0，＞0，）在闭区间上的图像如图所示，则为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图像知=0－()==，∴=3. 故选：C. 【变式探究】已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式. 【答案】 【解析】解：设正弦型曲线的解析式为，由题可知，==， ∴==，，此时，带入最高点，可得，， ∴正弦型函数的解析式为. 【例5】函数的最小正周期是 ，当= 时，函数有最大值；当= 时，函数有最小值. 【答案】，， 【解析】=，当，时，函数有最大值； 当，时，函数有最小值. 【变式探究】函数（其中＞0）的最小正周期为. (1)求的值； (2)求函数的最小值及取得最小值时相应的值. 【答案】(1)=2 ； (2)当时， 【解析】解：(1)∵=，∴=2. (2)由(1)知=2，， 当=时，取得最小值， 此时解得. 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由ω＝，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 考点二：三角函数的图像变换 【例1】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【解析】∵对于来说，根据左加右减可知，只需将的图像向右平移个单位， 即可得到的图像 . 故选：A． 【变式探究】要得到的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】∵=， ∴要得到的图像，只需将的图像向左平移个单位. 故选：B． 【例2】把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把函数的图像向左平移个单位长度可得， 再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得， 故选：A 【变式探究】将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），然后再把图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为 ． 【答案】 【解析】将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）可得到， 然后再把图像向右平移个单位可得=， 故则所得函数图像的解析式为：. 【例3】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（       ） A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度， 再向上平移1个单位长度， 故选：C. 【变式探究】为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（       ） A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】B 【解析】对于A，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得图像的解析式为，故A错误； 对于B，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故B正确； 对于C，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位,所得图像的解析式为，故C错误； 对于D，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故D错误； 故选：B. 【例4】指出正弦型函数的图像经过怎样的变化可以得到函数的图像. 【答案】如解析 【解析】解：=，对这种变换有两种方法：第一种方法，先平移后伸缩：把的图像向左平移个单位得到，然后再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，最后把纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）即可得到；第二种方法，先伸缩后平移：把的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后把图像往左平移个单位得到=，最后把纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）即可得到. 【变式探究】已知函数，说明此函数是由如何变换而来的. 【答案】向左平移个单位 【解析】解：因为，根据三角函数的图象变换，将函数向左平移个单位，即可得到的图象． 【例5】若将的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图像向右平移个单位， 所得函数为，图像是偶函数，即关于y轴对称， 可得，即， 当时，的最小正值是， 故答案选：C. 【变式探究】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像正好关于原点对称，则的最小正值为 ． 【答案】 【解析】的图像向左平移个单位长度可得， 要使图像正好关于原点对称，则=，=， 当时有最小正值 . 故答案为：. 三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$