专题5.3 三角函数的图像和性质（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题5.3 三角函数的图像和性质 【考纲要求】 1. 会画正弦、余弦、正切函数的图像，熟练掌握它们各自的性质. 2. 能够利用三角函数的图像和性质求定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性. 【考向预测】 1.三角函数的图像和性质 2.求定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性. 1．正弦和余弦函数的图像 (1)正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. (2)余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 2．函数的周期性 ①周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. ②最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  3．正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 考点一：三角函数的周期性、奇偶性 【例1】函数的最小正周期为，则的值为（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式探究】如果函数（）的最小正周期是，那么常数为（    ） A．4 B．2 C． D． 【例2】下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设函数，则是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【例3】函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的最小正周期是 . 【例4】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【变式探究】函数是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝或T＝来确定；③根据图象来判断．判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 考点二：三角函数的单调性、最值 【例1】函数在区间上的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 【变式探究】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【例3】函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例4】函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 【变式探究】函数的单调递增区间是 . 求三角函数的值域(最值)时，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解． 考点三：三角函数图像的对称性 【例1】若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的图象的一个对称轴方程是（       ） A． B． C． D． 【例2】函数图象的对称中心是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【例3】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 ． 【例4】关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式探究】函数的图象为C，以下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）. ①图象C关于直线对称； ②图象C关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程sin(ωx＋φ)＝±1，也就是令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求x；如果求f(x)图象的对称中心，只需解方程sin(ωx＋φ)＝0，也就是令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 三角函数的图像和性质 【考纲要求】 1. 会画正弦、余弦、正切函数的图像，熟练掌握它们各自的性质. 2. 能够利用三角函数的图像和性质求定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性. 【考向预测】 1.三角函数的图像和性质 2.求定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性. 1．正弦和余弦函数的图像 (1)正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. (2)余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 2．函数的周期性 ①周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. ②最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  3．正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 考点一：三角函数的周期性、奇偶性 【例1】函数的最小正周期为，则的值为（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】由，∴， 故选：A. 【变式探究】如果函数（）的最小正周期是，那么常数为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为的最小正周期是， 所以，解得， 故选：D. 【例2】下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的最小正周期为,故A错误； 为非奇非偶函数，故B错误； ，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 为偶函数，故D错误. 故选:C. 【变式探究】设函数，则是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】由，可得，， 所以函数为偶函数，即是最小正周期为的偶函数. 故选：B. 【例3】函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，最小正周期为， 故选：B. 【变式探究】函数的最小正周期是 . 【答案】 【解析】，故最小正周期， 故答案为：. 【例4】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求； 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求， 故选：B. 【变式探究】函数是（       ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】， 故f(x)是最小正周期为2π的奇函数， 故选：A. 求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝或T＝来确定；③根据图象来判断．判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数． 考点二：三角函数的单调性、最值 【例1】函数在区间上的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，因此，函数在区间上的最大值是. 故选：D. 【变式探究】函数的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以， 所以函数的最大值为， 故选：B． 【例2】函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，即 时，取最大值1， 当，即 时，取最小值大于 ， 故值域为， 故选：C. 【变式探究】函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增， 且，，所以． 故选：A． 【例3】函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为； 故选：B. 【变式探究】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以求单调减区间等价求单调增区间， 因为，所以， 所以单调减区间为， 故选：B. 【例4】函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 【答案】B 【解析】，所以在上递增，在上递减. B正确，ACD选项错误， 故选：B. 【变式探究】函数的单调递增区间是 . 【答案】 【解析】根据复合函数的单调性知，函数的单调增区间对应函数的单调减区间， 根据余弦函数的单调性知，函数的单调减区间为， 所以函数的单调增区间为， 故答案为：． 求三角函数的值域(最值)时，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解． 考点三：三角函数图像的对称性 【例1】若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知（），则（）， 当时，，符合题意，其它都不满足题意， 故选：B. 【变式探究】函数的图象的一个对称轴方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，令，解得， 故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为， 故选：C. 【例2】函数图象的对称中心是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 则图象的对称中心为． 故选：D. 【变式探究】函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，所以， 当k=0时，y=1， 故答案为：B. 【例3】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，则， 即，故的最小值为， 故选：B. 【变式探究】函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 ． 【答案】 【解析】因为函数的图像关于点成中心对称， 所以，解得：， 所以的最小正值为：当k=0时，， 故答案为：. 【例4】关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】D 【解析】对A，，，故A错误； 对B，，，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，，此时，故D正确， 故选：D. 【变式探究】函数的图象为C，以下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）. ①图象C关于直线对称； ②图象C关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 【答案】①②③ 【解析】对于①，，故图象C关于直线对称，①正确； 对于②，，故图象C关于点对称，②正确； 对于③，，则，在上单调递增，故函数在区间内是增函数，③正确； 对于④，由的图象向右平移个单位长度得，不为，④错误； 故答案为：①②③. 对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程sin(ωx＋φ)＝±1，也就是令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求x；如果求f(x)图象的对称中心，只需解方程sin(ωx＋φ)＝0，也就是令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$