专题5.2 同角三角函数的关系及诱导公式（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题5.2 同角三角函数的关系及诱导公式 【考纲要求】 1.熟练掌握同角三角函数的关系，并会用其变形求值. 2.熟练掌握诱导公式，会用其变形求值. 【考向预测】 1.同角三角函数的关系 2.诱导公式变形求值 1．同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． (2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．诱导公式 (1)诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系 (sinα＋cosα)2＝1＋sin2α； (sinα－cosα)2＝1－sin2α； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α. 考点一：同角三角函数的基本关系 【例1】已知是第三象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知， ，则（       ） A． B． C． D． 【例2】若为第二象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，，则（          ） A． B． C． D． 【例3】若，则（       ） A． B． C．3 D．5 【变式探究】已知，则（       ） A． B． C． D． 【例4】已知，，则 . 【变式探究】已知，则的值为 ． 【例5】已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（       ） A． B． C． D． 【例6】化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】化简：＝ . 已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解． 考点二：诱导公式 【例1】（       ） A． B． C． D． 【变式探究】的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（       ） A． B． C． D． 【变式探究】等于（       ） A． B． C． D． 【例3】已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【变式探究】若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【例4】若，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，则等于（       ） A． B． C． D． 【例5】已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知角的终边经过点，则的值为（        ） A． B． C． D． 【例6】已知，求： （1）； （2）． 【变式探究】已知，且，求 . ①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 同角三角函数的关系及诱导公式 【考纲要求】 1.熟练掌握同角三角函数的关系，并会用其变形求值. 2.熟练掌握诱导公式，会用其变形求值. 【考向预测】 1.同角三角函数的关系 2.诱导公式变形求值 1．同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα． (2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．诱导公式 (1)诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系 (sinα＋cosα)2＝1＋sin2α； (sinα－cosα)2＝1－sin2α； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α. 考点一：同角三角函数的基本关系 【例1】已知是第三象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第三象限角，且， 所以， 故选：A. 【变式探究】已知， ，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ，,, 所以. 故选：D． 【例2】若为第二象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为第二象限角，则， 则， 故选：D. 【变式探究】已知，，则（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 故选：A. 【例3】若，则（       ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【解析】由题意得：， ，， 故选：A. 【变式探究】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 【例4】已知，，则 . 【答案】 【解析】将两边平方可得， 则， 故答案为：. 【变式探究】已知，则的值为 ． 【答案】2 【解析】原式， 故答案为：2. 【例5】已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点的纵坐标为，且， 所以在第三象限，所以， ，， 故选：B. 【变式探究】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 所以， 故选：D． 【例6】化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故选：D. 【变式探究】化简：＝ . 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． 已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解． 考点二：诱导公式 【例1】（       ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】， 故选：. 【变式探究】的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，， 故选：A． 【例2】（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A. 【变式探究】等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 【例3】已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， 又∵为第三象限角，∴， 故选：D. 【变式探究】若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ，，， ， 故选：D. 【例4】若，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 故 故选：B. 【变式探究】已知，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴， ∴， 故选：D. 【例5】已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点，所以，因此， 故选：B. 【变式探究】已知角的终边经过点，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，所以， 所以，所以， 故选：C. 【例6】已知，求： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：由题意，，所以， （1）； （2）． 【变式探究】已知，且，求 . 【答案】2 【解析】解：因为且， 所以sin α＝－，则tan α＝－2， ＝ ＝－tan α ＝2． ①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$