专题5.1 弧度制与任意角的三角函数（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题5.1 弧度制与任意角的三角函数 【考纲要求】 1. 理解弧度制的概念，会弧度制和角度制的转化，掌握终边相同的角、弧长和扇形面积公式. 2. 掌握三角函数的定义、符号，并会求任意角的三角函数值. 【考向预测】 1.弧度、终边相同的角、弧长和扇形面积 2.任意角的三角函数 1．角的概念的推广 (1)任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. (3)象限角 ①定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. ②象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 (4)轴线角 ①定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. ②轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 (5)终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 2．弧度制 (1)弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (2)角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， (3)常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 (4)扇形中的弧长公式和面积公式 ①弧长公式：(是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式：. 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z (2)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 考点一：角的概念的推广 【例1】下列命题中正确的是（       ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【答案】C 【解析】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确； B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确； C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确； D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，所以本选项命题不正确， 故选：C． 【变式探究】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（       ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 【答案】B 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以该选项错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确； 对C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，A＝B＝C错误. 如在第二象限，但是并不在集合B,C中， 故选：B． 【例2】终边在第四象限的角的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】终边在第四象限的角的集合是或， 故选：C. 【变式探究】终边在轴负半轴上的角的集合为 . 【答案】 【解析】终边在轴负半轴上的一个角为， 因此终边在轴负半轴上的角的集合为， 故答案为：． 【例3】与800°角终边相同的角可以表示为（       ），． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与800°角终边相同的角可以表示为：（）， 即（）， 故选：C. 【变式探究】与2022°终边相同的角是（       ） A． B． C．222° D．142° 【答案】C 【解析】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°， 故选：C. 【例4】角的终边落在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，即与终边相同，∴在第四象限， 故选：D. 【变式探究】角的终边落在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为，所以角的终边与角的终边相同， 所以角的终边落在第一象限角， 故选：A． 【例5】分针一小时所转过的角是 . 【答案】 【解析】因为一小时等于六十分，即分针顺时针走了一圈，所以分针一小时所转过的角是 故答案为：. 【变式探究】钟表的分针在1.5小时内转了（       ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 【答案】D 【解析】根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ， 故选：D． 要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)的写法都是不规范的． 考点二：弧度制 【例1】化为弧度是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【变式探究】化为弧度是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 【例2】下列说法中，错误的是（       ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】D 【解析】对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确； 对于B选项，的角是周角的，的角是周角的，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误， 故选：D. 【变式探究】下列转化结果正确的是（       ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】D 【解析】由得， 对于A选项：化成弧度是，故A不正确； 对于B选项：化成角度是，故B不正确； 对于C选项：化成弧度是，故C错误； 对于D选项：化成角度是，D正确， 故选：D. 【例3】若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵圆心角为，∴ 圆心角的弧度数为， 又扇形的半径为2，∴该扇形的弧长， 故选：B. 【变式探究】在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为（       ） A．cm B．cm C．cm D． cm 【答案】A 【解析】根据弧长公式，得 (cm)， 故选：A. 【例4】若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设扇形的弧长为，由题得，所以扇形的面积为， 故选：C. 【变式探究】在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为扇形的半径为，圆心角为， 所以由扇形的面积公式得. 故选：B. 【例5】设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为 ． 【答案】 【解析】因为三角形内角和为， 故各内角弧度分别为，，， 故答案为：． 【变式探究】若是三角形的最小内角，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设是三角形的最小内角， 则即， 解得， 故选：D. 关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致；弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用． 考点三：任意角的三角函数 【例1】已知角的终边经过点P，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】角终边过点，，，，， 故选：B. 【变式探究】已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是角α的终边与单位圆的交点，所以， 故选：B． 【例2】已知，则角所在的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以角所在的象限是第二象限， 故选：B． 【变式探究】点落在（       ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】D 【解析】因为， 所以点落在第四象限内， 故选：D. 【例3】已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边过点，故可得， 解得，故. 故选：D. 【变式探究】若角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【解析】∵，故，∴， 故选：C. 【例4】已知角的终边过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 【变式探究】已知角终边上有一点，求下列各式的值． （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1） （2）， ，原式上下同时除以 ， ． 【例5】利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值． 【答案】，，；，，不存在； ，，；，，不存在. 【解析】解：因为0的终边与单位圆的交点是，所以；；； 因为的终边与单位圆的交点是，所以；；不存在； 因为的终边与单位圆的交点是，所以；；； 因为的终边与单位圆的交点是，所以；；不存在． 【变式探究】化简：（1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）根据三角函数定义可得 （2）根据三角函数定义可得 ． 牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论；已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 弧度制与任意角的三角函数 【考纲要求】 1. 理解弧度制的概念，会弧度制和角度制的转化，掌握终边相同的角、弧长和扇形面积公式. 2. 掌握三角函数的定义、符号，并会求任意角的三角函数值. 【考向预测】 1.弧度、终边相同的角、弧长和扇形面积 2.任意角的三角函数 1．角的概念的推广 (1)任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. (3)象限角 ①定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. ②象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 (4)轴线角 ①定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. ②轴线角的表示： 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 (5)终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 2．弧度制 (1)弧度制概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (2)角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， ， (3)常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 (4)扇形中的弧长公式和面积公式 ①弧长公式：(是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式：. 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z (2)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 考点一：角的概念的推广 【例1】下列命题中正确的是（       ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【变式探究】已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（       ） A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．AC D．A＝B＝C 【例2】终边在第四象限的角的集合是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】终边在轴负半轴上的角的集合为 . 【例3】与800°角终边相同的角可以表示为（       ），． A． B． C． D． 【变式探究】与2022°终边相同的角是（       ） A． B． C．222° D．142° 【例4】角的终边落在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式探究】角的终边落在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例5】分针一小时所转过的角是 . 【变式探究】钟表的分针在1.5小时内转了（       ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)的写法都是不规范的． 考点二：弧度制 【例1】化为弧度是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】化为弧度是（       ） A． B． C． D． 【例2】下列说法中，错误的是（       ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【变式探究】下列转化结果正确的是（       ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【例3】若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 【变式探究】在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为（       ） A．cm B．cm C．cm D． cm 【例4】若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式探究】在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（       ） A． B． C． D． 【例5】设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为 ． 【变式探究】若是三角形的最小内角，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致；弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用． 考点三：任意角的三角函数 【例1】已知角的终边经过点P，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，则角所在的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式探究】点落在（       ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【例3】已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 【例4】已知角的终边过点，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知角终边上有一点，求下列各式的值． （1）；       （2）． 【例5】利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值． 【变式探究】化简：（1）； （2）. 牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论；已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$