3.1.2 函数的单调性（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

3.1.2 函数的单调性 题型一 对函数单调性定义的理解 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（多选）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 题型二 定义法讨论函数的单调性 1．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 4．（23-24高一上·四川·期中）已知函数满足． (1)求的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 题型三 求函数的单调性或单调区间 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 . 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 4．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 题型四 利用函数的单调性求参数 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·云南曲靖·期末）已知函数，且满足对任意的实数都有，则实数的取值范围是 ． 题型五 利用函数的单调性比较大小 1．（23-24高一上·云南曲靖·月考）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 4．函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 题型六 利用函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·重庆·定时检测）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北衡水·月考）已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州黔东南·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用函数的单调性求最值或值域 1．（23-24高一上·山东临沂·月考）函数（）的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林长春·月考）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·宁夏青铜峡·月考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域是 . 题型八 根据函数的最值或值域求参数 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数在区间上的最小值为5，则的值为 . 4．（22-23高一上·湖北·月考）若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 1．（23-24高一上·山西运城·月考）已知设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北荆州·月考）关于函数，，为自然数集，下列说法正确的是（    ） A．函数只有最大值没有最小值 B．函数只有最小值没有最大值 C．函数没有最大值也没有最小值 D．函数有最小值也有最大值 4．（23-24高一上·吉林白山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·贵州·月考）函数，，若，使成立，则的取值范围是 ． 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的单调性 题型一 对函数单调性定义的理解 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足， 但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 2．下列说法正确的是（   ） A．所有的函数在其定义域上都具有单调性. B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是. C．若函数为R上的减函数，则. D．若函数在定义域上有，则函数是增函数. 【答案】C 【解析】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故D错误. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（多选）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】AB选项，在是减函数，且， 故，，AB正确； CD选项，因为，， 所以，，C正确，D错误.故选：ABC 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【解析】对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立， 则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数， 且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义， 所以在R上不是增函数，故D错误；故选：BC． 题型二 定义法讨论函数的单调性 1．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)2；(2)在上单调递增，证明见解析 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. （2）函数在上单调递增，证明如下： 令，则. 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析 【解析】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ，即， 所以在上单调递减. 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 4．（23-24高一上·四川·期中）已知函数满足． (1)求的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)2；(2)在上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）函数，由，得，解得， 因此，则， 所以. （2）函数在上单调递减． 任取，且，则 ， 由，得，，，，， 因此，即， 函数在上单调递减． 题型三 求函数的单调性或单调区间 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：任取，则， 又，所以，即， 所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即， 所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即， 所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即， 所以函数在为增函数，故D错误；故选：A. 2．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 . 【答案】和 【解析】由图像可知，在和上单调递减， 则其单调递减区间是和. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【解析】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 4．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】设，由可得，或， 则函数，由在单调递减，在单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知， 函数的单调递减区间是. 题型四 利用函数的单调性求参数 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数在区间上单调递增, 则对称轴，得， 根据选项可得是二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增， 设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立. 所以.故选：A 3．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得.故选：A 4．（21-22高一上·云南曲靖·期末）已知函数，且满足对任意的实数都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的实数都有，即，即f(x)在R上单调递减. ，解得. 故答案为：. 题型五 利用函数的单调性比较大小 1．（23-24高一上·云南曲靖·月考）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增， 又，所以.故选：A 2．（22-23高一上·北京·期中）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有， 可得函数是定义域在上的增函数， 所以（1）（3）．故选：． 3．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称，所以， 又因为函数在上是增函数， 所以，所以.故选：A 4．函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误； 对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数， ，C正确.故选：C. 题型六 利用函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·重庆·定时检测）若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数在R上是增函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，，解得， ∴实数的取值范围是．故选：C． 2．（22-23高一上·河北衡水·月考）已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即，即， 函数是上的增函数，故，解得.故选：A 3．（23-24高一上·贵州黔东南·月考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数， 根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递减函数， 又由不等式，可得， 即，解得， 即实数的取值范围为.故选：A. 4．（22-23高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，且定义域为，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增， 故，等价于， 由，即，，解得； 由，即，解得； 故实数的取值范围为.故选：C. 题型七 利用函数的单调性求最值或值域 1．（23-24高一上·山东临沂·月考）函数（）的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又，， 所以函数（）的值域是故选：A. 2．（23-24高一上·吉林长春·月考）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：.故选：C． 3．（23-24高一上·宁夏青铜峡·月考）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值． 根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以．故选：B 4．（23-24高一上·浙江杭州·月考）函数的值域是 . 【答案】 【解析】的定义域为， 由于函数和函数均为上的单调递增函数， 所以， 故值域为. 题型八 根据函数的最值或值域求参数 1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以.故选：D. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数， 若函数当时，， 当时，，此时函数的最大值为4，符合要求， 当时，在上单调递减，故， 若有最大值，则，则， 综上可知，故选：A 3．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数在区间上的最小值为5，则的值为 . 【答案】20 【解析】当时，不满足题意； 当时，在上单调递减， 所以解得满足条件； 当时，在上单调递增，所以，解得（舍去）. 故答案为：20. 4．（22-23高一上·湖北·月考）若在上的最大值为，则实数的最大值为 . 【答案】 【解析】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 1．（23-24高一上·山西运城·月考）已知设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】当，即时，在上单调递增， 所以， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以； 综上：函数的最大值为1故选：B 2．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任取， 从而, 因为，所以，所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式，即． 因为在R上单调递增，所以，解得．故选：A. 3．（23-24高一上·湖北荆州·月考）关于函数，，为自然数集，下列说法正确的是（    ） A．函数只有最大值没有最小值 B．函数只有最小值没有最大值 C．函数没有最大值也没有最小值 D．函数有最小值也有最大值 【答案】D 【解析】，， 由反比例函数的性质得： 在上单调递减，此时， 在上单调递减，此时， 又因为，为自然数集， 所以在上取到，时,， 同理在上取到，时,， 所以当，为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D. 4．（23-24高一上·吉林白山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【答案】AB 【解析】，化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得，即， 设， 由得，即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误.故选：. 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，且，则两边同时除以可得， 令，则原不等式为，因此函数在上单调递减， 由，得，又，于是，解得， 所以使成立的x的取值范围是. 6．（23-24高一上·贵州·月考）函数，，若，使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由以及可得； 再由以及可得； 若，使成立可得， 即，解得； 又，因此的取值范围是. 故答案为： 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由，则， 又当时，，则， ； （2）令，则，即， 当时，，且，即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以，即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增，则恒成立， 所以恒成立， 又，即，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$