专题5.1 任意角和弧度制（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题5.1 任意角和弧度制 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：任意角的概念 4 考点二：终边相同的角 4 考点三：角度与弧度的换算及应用 5 【考纲要求】 1．理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念. 2．掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算． 【考向预测】 1. 任意角的概念 2. 终边相同的角 3. 角度与弧度的换算及应用 4. 弧长公式和扇形面积公式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4. 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5. 弧度制： ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6. 弧度数： 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7. 弧度与角度的换算： （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【考点分类剖析】 考点一：任意角的概念 例1．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 例2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】1. 已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（    ） A．－60° B．－30° C．60° D．30° 2．下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 考点二：终边相同的角 例1．在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 例2．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．在上，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略． 【变式探究】1．是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列各角中，与的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 3. 在四个角–20°，–400°，2000°，600°中，第四象限的角的个数是 ． 考点三：角度与弧度的换算及应用 例1． rad； °． 例2．用弧度制表示为 ． 【变式探究】角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数n，则α rad＝α·()°；n°＝n·. 【变式探究】1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 2．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 考点四：弧长公式和扇形面积公式的应用 例1．一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 例2．已知某扇形的半径为，周长为，则该扇形的面积为 . 【变式探究】1．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 2．一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 任意角和弧度制 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：任意角的概念 4 考点二：终边相同的角 5 考点三：角度与弧度的换算及应用 7 【考纲要求】 1．理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念. 2．掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算． 【考向预测】 1. 任意角的概念 2. 终边相同的角 3. 角度与弧度的换算及应用 4. 弧长公式和扇形面积公式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 角的概念 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形， 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 2. 正角、负角、零角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 4. 终边相同的角： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 5. 弧度制： ①定义：以弧度为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad. 6. 弧度数： 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　. 7. 弧度与角度的换算： （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 8. 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． 【考点分类剖析】 考点一：任意角的概念 例1．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得分针需要顺时针方向旋转. 【详解】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为. 故选：A. 例2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可. 【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 【变式探究】1. 已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（    ） A．－60° B．－30° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】根据负角的概念，结合每秒转30°，可求解. 【详解】∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于． 故选:A． 2．下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用象限角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，小于，但不是锐角，A错； 对于B选项，是第二象限的角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但和的终边不相同，C错； 对于D选项，钝角一定是第二象限的角，D对. 故选：D. 考点二：终边相同的角 例1．在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】，而其它项对应角都不满足. 故选：B. 例2．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的性质进行判断即可. 【详解】与角的终边相同的角为． 故选：B 例3．在上，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角求得正确答案. 【详解】与终边相同的角是， 要使角的终边在区间上，则，对应角为. 故选：D 【方法规律】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略． 【变式探究】1．是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】直接利用角的旋转求出该角为第几象限角． 【详解】是第三象限角， 故选：C． 2．下列各角中，与的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的概念即可求出. 【详解】因为，所以与的终边相同，其他选项经检验不合题意. 故选：C 3. 在四个角–20°，–400°，2000°，600°中，第四象限的角的个数是 ． 【答案】2 【分析】根据已知角确定象限即可. 【详解】–20°在第四象限； –400°在第四象限； 2000°在第三象限； 600°在第三象限， 故第四象限的角有2个. 故答案为：2. 考点三：角度与弧度的换算及应用 例1． rad； °． 【答案】 / 【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行求解即可. 【详解】. 故答案为：； 例2．用弧度制表示为 ． 【答案】/ 【分析】利用弧度制与角度值的转化即可得到答案. 【详解】因为弧度，所以（弧度）． 故答案为： 【变式探究】角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数n，则α rad＝α·()°；n°＝n·. 【变式探究】1．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得. 【详解】. 故选：B 2．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 考点四：弧长公式和扇形面积公式的应用 例1．一钟表的分针长10 cm，经过15分钟，分针的端点所转过的长为（    ） A．30 cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】由弧长公式直接计算. 【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是–， ∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴弧长为（cm）． 故选：C． 例2．已知某扇形的半径为，周长为，则该扇形的面积为 . 【答案】16 【分析】由扇形周长求出扇形弧长，代入扇形面积公式计算即得. 【详解】设扇形的弧长为，依题意，，解得. 故该扇形的面积为. 故答案为：16. 【变式探究】1．已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，根据弧长公式求解即可． 【详解】设这个扇形的圆心角的弧度数为，， 根据扇形的弧长公式得，解得． 故选：A． 2．一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】由扇形面积公式即可得解. 【详解】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$