第2单元分数混合运算（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册北师大版

第2单元分数混合运算讲义-数学六年级上册北师大版 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 目录导航 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 易错考点 1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。 ①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 ②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算； ③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。 2、解决问题 （1）用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题，方法是： 第①种方法：可以先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。 第②种方法：也可以用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。 （2）“已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？” 第①种方法：首先明确谁占单位“1”的几分之几，求出甲数，再用单位“1”减去甲数，求出乙数。 第②种方法：先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数。 （3）用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤： ①要找准单位“1”。 ②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。 ③设未知量为X，根据等量关系式，列出方程。 ④解答方程。 （4）要记住以下几种算术解法解应用题： ①对应数量÷对应分率=单位“1” 的量 ②求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 ③已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用列方程解答。 3、要记住以下的解方程定律： 加数 +加数 = 和； 加数 = 和–另一个加数。 被减数–减数 = 差； 被减数=差+减数； 减数=被减数–差。 因数×因数 = 积； 因数 = 积÷另一个因数。 被除数÷除数 = 商； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商。 4、绘制简单线段图的方法： 分数应用题，分两种类型，一种是知道单位“1”的量用乘法，另一种是求单位“1”的量，用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系，在审题确定单位“1”的量。 绘制步骤： ①首先用线段表示出这个单位“1”的量，画在最上面，用直尺画。 ②分率的分母是几就把单位“1”的量平均分成几份，用直尺画出平均的等分。标出相关的量。 ③再绘制与单位“1”有关的量，根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。 ④问题所求要标出“？”号和单位。 【第二部分】 例题精讲 1．《诗经》是中国最早的一部诗歌总集，总共有305篇诗歌，又称“诗三百”，分为《风》《雅》《颂》三部分。《风》占总篇数的，《雅》的篇数比《风》的少，《雅》有多少篇？ 【答案】105篇 【分析】把《诗经》总篇数看作单位“1”，《风》占总篇数的，用《诗经》总篇数×，求出《风》的篇数，再把《风》的篇数看作单位“1”，《雅》的篇数比《风》的少，即《雅》的篇数是《风》的（1－），用《风》的篇数×（1－），即可求出《雅》的篇数。 【详解】305××（1－） ＝160× ＝105（篇） 答：《雅》有105篇。 2．洗衣机厂有甲乙两个分厂，每个分厂10月份都计划生产14000台洗衣机。上旬甲厂完成计划的，乙厂完成计划的。上旬甲厂比乙厂多生产多少台洗衣机？ 【答案】2000台 【分析】把每个分厂10月份计划生产的总台数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总台数×即可求出上旬甲厂完成计划的台数，用总台数×即可求出乙厂完成计划的台数，再求出差即可。 【详解】14000×－14000× ＝14000×（－） ＝14000× ＝2000（台） 答：上旬甲厂比乙厂多生产2000台洗衣机。 【第三部分】 针对性训练 一、选择题 1．，这是运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 2．一桶油有10升，第一次倒出总量的，第二次倒出余下的，则（    ）。 A．第一次倒出的多 B．第二次倒出的多 C．两次倒出的一样多 3．笑笑在计算时，错误地算成了，她计算的结果与正确结果相差（    ）。 A． B． C． 4．幸福小学六年级有学生240人，比五年级少，五年级有多少人？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 5．女生的人数是男生人数的，男生的人数比女生人数多（    ）。 A． B． C． 6．一根电线长3m，第一次剪去，第二次剪去，还剩（    ）m。 A．1 B． C． 二、填空题 7．根据“现价比原价降低”，可以写出的等量关系式是( )。 8．甲班人数比乙班人数多，是把( )班人数看作整体“1”，甲班人数是乙班人数的( )。 9．的运算顺序是先算( )法，再算( )法。 10．，运用了( )律。 11．奇思看一本150页的书，第一天看了全书，第二天看了全书。 (1)表示( )。 (2)表示( )。 (3)表示( )。 12．我们学过加、减、乘、除这四种运算。现在规定“*”是一种新的运算，表示，若，则( )。 三、判断题 13．甲数比乙数多，乙数就比甲数少。( ) 14．水果店运来一批水果，其中的是苹果，其余是梨，梨的数量是苹果的。( ) 15．奇思上山的速度为4千米/时，下山的速度为6千米/时，那么他上下山的平均速度就是5千米/时。( ) 16．一袋大米重5千克，吃去，又添上千克，这袋大米仍是5千克。( ) 17．张叔叔的工资增加后又减少了，他现在的工资比原来少了。( ) 四、计算题 18．直接写得数。                                                             19．脱式计算。                    20．解方程。                         五、解答题 21．一个长方体的长为12分米，宽是长的，高是宽的，这个长方体的高是多少分米？ 22．我国幅员辽阔，陆地面积约是960万平方千米，其中林地面积约占，耕地面积约是林地面积的。我国耕地面积约是多少万平方千米？ 23．某县前年绿色蔬菜总产量是720万千克，比去年少。去年该县绿色蔬菜总产量是多少万千克？ 24．一辆车从甲地开往乙地，行180千米后，再行全程的即可到达。从甲地到乙地有多少千米？ 25．2021年是中国共产党成立100周年，阳光小学举行了“向党献礼”手绘报比赛，共150幅作品，其中五、六年级作品占全部作品的，一、二年级作品占五、六年级作品的，一、二年级作品有多少幅？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C C C C 1．C 【分析】乘法交换律公式，乘法结合律公式，乘法分配律公式。据此分析解答。 【详解】据分析可知，，这是运用了乘法分配律。 故答案为：C 2．A 【分析】根据题意得：第一次倒出油量为，运用分数乘法得出第一次倒出的油量；第二次倒出的油量，在剩下的油量乘，运用分数乘法计算得出第二次倒出油量。再通过比较两个分数大小，将两个分数通分化为同分母分数，再进行比较得出答案。 【详解】一桶油第一次倒出：（吨）＞1，第二次倒出： ＜1。即第一次倒出的油量大于第二次倒出的油量，第一次倒出的多。 故答案为：A 3．C 【分析】直接用即可，计算时，利用乘法分配律，写成，后边根据减法的性质去括号，括号前边是减号，去掉括号，括号里的加号变减号，其中抵消，只算。 【详解】 她计算的结果与正确结果相差。 故答案为：C 4．C 【分析】将五年级人数看作单位“1”，六年级人数是五年级的，六年级人数÷对应分率＝五年级人数，据此列式计算。 【详解】 （人） 五年级有300人。 故答案为：C 5．C 【分析】将男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的。求一个数比另一个数多几分之几，将两个数的差除以另一个数即可。那么，将男生和女生的分率差除以女生分率，即可得解。 【详解】（1－）÷ ＝× ＝ 所以，男生的人数比女生人数多。 故答案为：C 6．C 【分析】把电线的长度看作单位“1”，第一次剪去，用电线的长度×，求出第一次剪去的长度，再用电线的长度－第一次剪去的长度－第二次剪去的长度，即可解答。 【详解】3－3×－ ＝3－1－ ＝2－ ＝（m） 一根电线长3m，第一次剪去，第二次剪去，还剩m。 故答案为：C 7．原价现价（答案不唯一） 【分析】将原价看作单位“1”，现价比原价降低，现价是原价的，原价×现价对应分率＝现价，原价－原价×现价比原价降低几分之几＝现价，现价÷对应分率＝原价，据此分析。 【详解】根据“现价比原价降低”，可以写出的等量关系式是原价现价、原价－原价现价、现价÷＝原价。 8． 乙 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”；所以把乙班人数看作单位“1”，甲班人数是乙班人数的（1＋），据此解答。 【详解】1＋＝ 甲班人数比乙班人数多，是把乙班人数看作整体“1”，甲班人数是乙班人数的。 9． 乘除 加 【分析】整数的四则混合运算顺序在分数中同样适用，要先算乘除，再算加减。 【详解】的运算顺序是先算乘除法，再算加法。 10．乘法分配 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。逆用乘法分配律同样可以。 【详解】 →乘法分配律 ，运用了乘法分配律。 11．(1)两天一共看了多少页 (2)第一天比第二天多看多少页 (3)还剩多少页没有看 【分析】（1）将全书页数看作单位“1”，全书页数×第一天和第二天看的对应分率的和＝第一天和第二天一共看的页数； （2）将全书页数看作单位“1”，全书页数×第一天和第二天看的对应分率的差＝第一天比第二天多看的页数； （3）将全书页数看作单位“1”，1－第一天看的对应分率－第二天看的对应分率＝还剩下没有看的对应分率，全书页数×还剩下没有看的对应分率＝还剩下没有看的页数。 【详解】（1）表示两天一共看了多少页。 （2）表示第一天比第二天多看多少页。 （3）表示还剩多少页没有看。 12．4 【分析】根据新运算的定义可知，，据此计算出结果即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝4 所以，。 13．× 【分析】先把乙数看作单位“1”，则甲数是乙数的（1＋），再用甲数和乙数的差除以甲数，求出乙数就比甲数少几分之几，再和比较即可。 【详解】1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 则乙数比甲数少。 故答案为：× 14．× 【分析】把这批水果的总数量看作单位“1”，其中的是苹果，则梨占总数量的（1－）；用梨的数量除以苹果的数量，即是梨的数量是苹果的几分之几，据此判断。 【详解】（1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 梨的数量是苹果的，原题说法错误。 故答案为：× 15．× 【分析】把奇思走的路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，用1除以上山的速度，求出上山的时间；用1÷下山的速度，求出下山用的时间，再用上山的路程＋下山的路程，再除以上山时间与下山时间，求出奇思的平均速度，再进行比较，即可解答。 【详解】1÷4＝（时）；1÷6＝（时） （1＋1）÷（＋） ＝2÷（＋） ＝2÷ ＝2× ＝（千米/时） 奇思上山的速度为4千米/时，下山的速度为6千米/时，那么他上下山的平均速度就是千米/时。 原题干说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】从“吃去”可知，以一袋大米的质量为单位“1”，吃了（5×）千克，用这袋大米原来的质量－吃了的质量＋又添上的质量，就是这袋大米现在的质量。据此解答。 【详解】5－5×＋ ＝5－4＋ ＝1（千克） 这袋大米现在是1千克，原说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】设张叔叔原来的工资为1，先把张叔叔原来的工资看作单位“1”，先增加，则增加后的工资是原来的（1＋）；单位“1”已知，用原来的工资乘（1＋）求出增加后的工资； 又减少，是把增加后的工资看作单位“1”，减少后的工资是增加后工资的（1－）；单位“1”已知，用增加后的工资乘（1－），求出他现在的工资； 最后把他现在的工资与原来的工资进行比较，得出结论。 【详解】设张叔叔原来的工资为1。 1×（1＋）×（1－） ＝1×× ＝ ＜1 他现在的工资比原来少了。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．；；；7 ；；； 【解析】略 19．；；；5 【分析】（1）先把除法转化成乘法，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （2）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法； （3）先算乘法，再算加法； （4）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 20．x＝140；； 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （1）方程等号左右两边同时减去4，然后等号左右两边再同时除以，即可解出方程； （2）方程等号左右两边同时减去，即可解出方程。 （3）先化简方程得到，等号左右两边同时除以，即可解出方程； 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 21．5分米 【分析】从题意可知：先以长为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。用12×＝10分米求出宽；再以宽为单位“1”，用10×即可求出高。 【详解】 ＝ ＝5（分米） 答：这个长方体的高是5分米。 22．124.8万平方千米 【分析】把陆地面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用陆地面积乘即可求出林地面积；再把林地面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用林地面积乘即可求出耕地面积。 【详解】（万平方千米） 答：我国耕地面积约是124.8万平方千米。 23．900万千克 【分析】已知前年绿色蔬菜总产量是720万千克，比去年少，把去年绿色蔬菜总产量看作单位“1”，则前年绿色蔬菜总产量是去年的（1－），单位“1”未知用除法计算，用前年绿色蔬菜总产量除以（1－），即可求出去年绿色蔬菜总产量。 【详解】720÷（1－） ＝720÷ ＝720× ＝900（万千克） 答：去年该县绿色蔬菜总产量是900万千克。 24．270千米 【分析】将全程看作单位“1”，再行全程的即可到达，说明已经行了全程的，已经行的距离÷对应分率＝全程，据此列式解答。 【详解】 （千米） 答：从甲地到乙地有270千米。 25．20幅 【分析】把作品的总数看作单位“1”，已知五、六年级作品占全部作品的，单位“1”已知，用作品的总数乘，求出五、六年级的作品数量； 已知一、二年级作品占五、六年级作品的，是把五、六年级的作品数量看作单位“1”，单位“1”已知，用五、六年级的作品数量乘，求出一、二年级的作品数量。 【详解】150×× ＝90× ＝20（幅） 答：一、二年级作品有20幅。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$