1.1集合及其表示课件-2024-2025学年高一上学期北师大版（2021）中职数学基础模块上册

第一章 §1 集 合 1.1　集合及其表示 新知学习 图书馆专区内所有不同的数学书可以组成一个集合． 中国古代四大发明可以组成一个集合． 平面上到原点O的距离等于1的所有点可以组成一个集合． 人们常会将一些研究对象组成一个整体，并且用“集合”这个词表示这个整体． 一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 例1 判断下列对象能否组成集合？ （1）世界第五高的山峰； （2）某班级中所有数学好的同学； （3）全班身高高于1.7m的同学； （4）方程x2+1=0的实数根； （5）与10接近的实数全体； （6）大于8小于10的实数全体； （7）大于3的自然数； （8）所有的长方形。 确定性 一、集合的概念 集合常用大写英文字母表示．如，A，B，C，…．；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…． 关系 语言表述 符号表示 读法 属于 a是集合A的元素 元素a属于集合A 不属于 a不是集合A的元素 元素a不属于集合A a ∉A a ∈ A 点析 1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立. 2.符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性. 例2 已知集合A中的元素x满足,则下列各式正确的是(　　) A.3∈A,且-3∉A B.3∈A,且-3∈A C.3∉A,且-3∉A D.3∉A,且-3∈A D　 即时巩固 例3 方程x2=9的所有实数解组成的集合为A，则-3_____A，5_____A（用符号“∈ ”或“∉”填空）． 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集． 例1 判断下列对象能否组成集合？ （1）世界第五高的山峰； （2）某班级中所有数学好的同学； （3）全班身高高于1.7m的同学； （4）方程x2+1=0的实数根； （5）与10接近的实数全体； （6）大于8小于10的实数全体； （7）大于3的自然数； （8）所有的长方形。 不含任何元素的集合称为空集，记作∅ ． 空集∅也是有限集． 方程x2+1=0无实数解组，也就是说，由其实数解组成的集合里面没有任何元素，这样的集合就是空集 由数组成的集合称为数集． 数学中一些常用数集及其记法见下表： 集合 意义 记法 自然数集 全体自然数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N* 整数集 全体整数组成的集合 Z 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数组成的集合 R 正实数集 全体正实数组成的集合 R+ 实数集R 例3 用符号“∈”或“∉”填空． （1）-1 N；0.5 N； 0 N；7 N； （2）0 N+；8 N*；|-1| N*； （3）-2 Z；0 Z； Z；0.999 Z； （4）-3 Q； Q； π Q； （5）- R；π R； R；（0，1） R；-0.999 R+. 即时巩固 例4 下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合，写出它的元素，并且说出是无限集还是有限集合.如果不能组成集合，请说明理由． （1）数轴上表示大于0且小于1的所有点； （2）方程(2x-3)(x+1)=0的所有实数解； （3）大于-7且小于7的整数； （4）大于3且小于1的所有实数 （5）非常接近0的数． 二、集合的表示方法 下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合，写出它的元素，并且说出是无限集还是有限集合.如果不能组成集合，请说明理由． （1）小于6的自然数， （2）大于3的实数. 除了用这种自然语言表示集合，还可以如何表示集合呢？ 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 小于6的所有自然数组成集合可以表示为{0，1，2，3，4，5}； 中国古代四大发明组成的集合可以表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}； 想一想 集合{1，2，3}与集合{3，2，1}是同一个集合么？ 想一想 由 “study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？ 互异性 无序性 重点关注 用列举法表示集合时,必须注意以下几点: (1)元素与元素之间必须用“,”隔开; (2)集合的元素必须是明确的; (3)不必考虑元素出现的先后顺序; (4)集合的元素不能重复; (5)集合的元素可以表示任何事物; (6)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为. 特性 含义 示例 确定性 集合中的元素必须是确定的.即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合 “个子高的人”不能组成集合,“身高大于170 cm的人”可以组成集合 互异性 同一集合中的元素必须是相互不同的.相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 “方程的所有根的集合”不能表示成{1,1},只能表示成{1} 无序性 集合中的所有元素不存在排列次序 如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合 集合中元素的三个特性 例1 用列举法表示下列集合. （1）4的正因数构成构成的集合； （2）大于-3且小于10的所有偶数组成的集合； （3）平方后等于5的数所组成的集合； （4）方程解集。 大于3的实数组成的集合能用列举法表示出来么？ 这个集合中的元素具有特征性质：元素都是实数并且元素都比3大，所以可以利用元素具有的特征或者性质来表示这个集合： {x∈R|x>3} 2.描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法．描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质． 约定：如果集合的元素是实数，那么“∈R”可略去不写，例如，{x∈R|x>3}可以简写为{x|x>3}． 重点关注 （1）用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式. （2）准确说明集合中元素的共同特征. （3）所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，代表元素的范围明确，可以省略.如非常明确x∈R，则“∈R”可以省略. （4）用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，要准确使用“且”“或”等表示描述语句之间关系的词. 例2 用描述法表示下列集合： （1）小于1的所有整数组成的集合 （2）所有偶数组成的集合 （3）在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合 （4）被4除余1的数组成的集合 {x∈Z| x<1}，也可以表示为{x| x<1且x∈Z} {x| x=2k， k∈Z}，也可以表示为{偶数} {(x，y) | x>0，y>0} 读一读 由点组成的集合称为点集． {x | x=4k+1，k∈Z} （5）方程解集 {x | }，也可以表示为{x|x=-1或x=6} 例3 用适合的方法表示下列的集合 （1）用写出不等式2x+1>7的解集；(2)方程x²-9=0的解集；（3）方程组的解集；（4）所有奇数组成的集合；（5）平面直角坐标系中，一三象限内的点组成的集合。 读一读 方程（组）或不等式（组）的所有解组成的集合称为方程（组）或不等式（组）的解集． 判断 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.(　　) (2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(　　) (3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.(　　) (4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集. (　　) 提示: (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 三、综合题型 思考 下面四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}. 它们是不是相同的集合?它们各自的含义是什么? 提示:它们是互不相同的集合. ①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值组成的集合,所以{x|y=x2+1}=R; ②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值组成的集合,因为y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}; ③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),表示的是满足y=x2+1的数对(x,y)组成的集合,也可以认为是坐标平面上的点(x,y),由于这些点的坐标满足y=x2+1,所以{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}; ④{y=x2+1}表示的是由y=x2+1这一元素组成的单元素集合. 例4 （1）已知集合A含有三个元素a-2,7,12,且-3∈A,求a的值. （2）已知(2,3)∈{(x,y)|2x+3y+c=0},求c的值. 典例剖析 元素与集合的关系 例5 已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值. 解:因为-3∈A,所以a-2=-3,或2a2+5a=-3,解得a=-1,或a=-. 当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足集合元素的互异性,所以舍去a=-1. 当a=-时,经检验,符合题意.故a=-. 反思感悟 先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=- ,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性. 典例剖析 集合中元素的特性及其应用 例6 （1）已知集合A={-1,-2,0,1,2},B={x|x=y2,y∈A},用列举法表示集合B。 （2）集合{x|x=,n∈N,n≤3}，用列举法表示该集合。 典例剖析 集合表示方法 例7 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意. 当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1. 此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}. 反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点. 2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏. 3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用. 典例剖析 已知集合中元素个数求参数范围 分析：明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A 延伸探究1 例5中,若集合A={x|kx2-8x+16=0}中中含有2个元素,试求k的取值范围. 延伸探究2 例8中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值范围. 解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1; (2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即解得k>1. 综上,实数k的取值范围为{k|k=0或k≥1}. 解:由题意得解得k<1,且k≠0. $$