大单元复习03 函数的概念与性质 -2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（人教A版专用）

大单元复习03 函数的概念与性质（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 6 【考点1】函数的定义域 6 【考点2】函数的值域 7 【考点3】函数的解析式 7 【考点4】函数图象 8 【考点5】分段函数 10 【考点6】函数单调性判断与证明 11 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 12 【考点8】不等式恒成立 13 【考点9】函数奇偶性 14 【考点10】幂函数 15 【考点11】函数的应用 16 知识梳理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 三、函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 四、函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 五、分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 六、函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 七、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 八、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 九、奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 十、函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 十一、函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 十二、抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.试判定函数h(x)＝f(x)＋g(x)与M(x)＝f(x)·g(x)在定义域D上的奇偶性.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，试判定函数y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]的单调性.则y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 十一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 十二、幂函数的图象与性质 观察问题中的函数图象，填写下面表格 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 十三、常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 十四、解决函数实际应用问题的基本步骤 解函数应用题步骤用框图表示如图： 热考题型 【考点1】函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【考点2】函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（    ）. A．， B．， C．， D．， 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【考点3】函数的解析式 一、单选题 1．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 5．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，下面的选项中所有序号结论全正确的是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 三、填空题 6．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 【考点4】函数图象 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 二、多选题 4．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的图象如图，则（    ）    A． B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 5．（22-23高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 三、填空题 6．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 【考点5】分段函数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高三上·河北保定·开学考试）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 5．（20-21高一上·山东威海·期末）已知函数，则（  ） A． B．若，则 C．在上是减函数 D．若关于的方程有两解，则 三、填空题 6．（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 【考点6】函数单调性判断与证明 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 三、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 四、解答题 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 6．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. (1)求实数的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； (3)已知，且，证明：. 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 一、单选题 1．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（   ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【考点8】不等式恒成立 一、单选题 1．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若恒成立，则a的取值范围为 ． 【考点9】函数奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）设，函数是定义在上的奇函数，且当时，．若是上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ）． A． B． C．为减函数 D．为奇函数 5．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 【考点10】幂函数 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 5．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知幂函数在上单调递减，则 B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是 C．已知，，，则恒成立 D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    【考点11】函数的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 2．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 5．（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期中）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．函数的值域是 D．函数在上单调递增 三、填空题 6．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习03 函数的概念与性质（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 6 【考点1】函数的定义域 6 【考点2】函数的值域 9 【考点3】函数的解析式 11 【考点4】函数图象 14 【考点5】分段函数 18 【考点6】函数单调性判断与证明 22 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 28 【考点8】不等式恒成立 32 【考点9】函数奇偶性 35 【考点10】幂函数 39 【考点11】函数的应用 42 知识梳理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 三、函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 前提条件 定义域相同 对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 四、函数的表示方法 函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 五、分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 六、函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 七、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 八、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 九、奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 十、函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 十一、函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 十二、抽象函数的奇偶性 设函数y＝f(x)与y＝g(x)是奇函数，且它们公共定义域为D.试判定函数h(x)＝f(x)＋g(x)与M(x)＝f(x)·g(x)在定义域D上的奇偶性.则h(x)是奇函数，M(x)是偶函数. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，试判定函数y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]的单调性.则y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 十一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 十二、幂函数的图象与性质 观察问题中的函数图象，填写下面表格 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 十三、常见函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 十四、解决函数实际应用问题的基本步骤 解函数应用题步骤用框图表示如图： 热考题型 【考点1】函数的定义域 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A C BCD BD 1．A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 2．A 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 4．BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【详解】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 5．BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 6． 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 【考点2】函数的值域 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（    ）. A．， B．， C．， D．， 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C A C AB AB 1．C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 2．A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 3．C 【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围. 【详解】由有意义可得， 设，则，， 所以， 所以， 故选：C. 4．AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 5．AB 【分析】根据同象函数的定义，结合各函数的定义域与值域判断即可. 【详解】，，则. 对A，，，则，满足同象函数的定义，故A正确； 对B，，，则，满足同象函数的定义，故B正确； 对C，，，则，不满足同象函数的定义，故C错误； 对D，，，则，不满足同象函数的定义，故D错误； 故选：AB 6．13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 【考点3】函数的解析式 一、单选题 1．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、多选题 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（    ） A． B．的最小值为 C．的定义域为 D． 的值域为 5．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，下面的选项中所有序号结论全正确的是（    ）    A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 三、填空题 6．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A B CD AC 1．D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 2．A 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 3．B 【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得. 【详解】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，. 故选：B. 4．CD 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，则，A错误； 当时，，当且仅当时取等号，B错误； 在中，，解得，因此的定义域为，C正确； 显然，，于是，因此 的值域为，D正确. 故选：CD 5．AC 【分析】观察题图结合二次函数图象的性质即可逐一判断每一序号，从而即可求解. 【详解】由图可知，故结论①正确； 由图可知，故结论②正确； 由图可知二次函数图象开口向下，所以，且，对称轴，所以，故结论③不正确； 由图可知二次函数图象与轴有两个交点，所以，故结论④正确； 由图可知对称轴，故结论⑤正确； 综上所述：下面的选项中所有序号结论正确的有①②④⑤. 故选：AC. 6． 【分析】使用换元法求函数的解析式，然后代值计算即可. 【详解】由题意，， 令，则， 所以函数解析式为， 所以， 则． 故答案为：. 【考点4】函数图象 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．2 二、多选题 4．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的图象如图，则（    ）    A． B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 5．（22-23高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 三、填空题 6．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A C ACD AC 1．D 【分析】利用函数的定义一一分析选项即可. 【详解】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应， 符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象； 对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义， 则D中图象不是函数图象． 故选：D 2．A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 3．C 【分析】根据题意求的解析式，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 作出的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 4．ACD 【分析】根据函数的图像找到对应的定义域、值域和函数值. 【详解】由图像可知，当时，，所以，A对； 由图像可知，定义域为；值域为；B错、C对； 当时，只有时才有对应的与之对应，D对. 故选：ACD 5．AC 【分析】 先求得变换后的解析式，然后将原点坐标代入验证即可. 【详解】向右平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项A正确；.. 向左平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项B错误； 向上平移个单位得到，当时，，函数图像过原点，选项C正确； 向下平移个单位得到，当时，，函数图像不过原点，选项D错误. 故选：AC 6．3 【分析】作出函数的图象，根据定义作出的图象，求出交点B的坐标即可得解. 【详解】作出函数的图象如图： 根据定义可得的图象如图： 由解得或，得， 所以的最大值为3. 故答案为：3 【考点5】分段函数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 3．（23-24高一上·天津滨海新·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高三上·河北保定·开学考试）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 5．（20-21高一上·山东威海·期末）已知函数，则（  ） A． B．若，则 C．在上是减函数 D．若关于的方程有两解，则 三、填空题 6．（23-24高二下·重庆·期末）设函数，则不等式的解集为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A B BD ABD 1．A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 所以. 故选：A 2．A 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 3．B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 4．BD 【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 5．ABD 【分析】根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出的图象，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：由题意得：， 所以，故A正确； 对于B：当时，，解得a=1，不符合题意，舍去 当时，，解得，符合题意，故B正确； 对于C：做出的图象，如下图所示：    所以在上不是减函数，故C错误； 对于D：方程有两解，则图象与图象有两个公共点， 如下图所示    所以，故D正确. 故选：ABD 6． 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【考点6】函数单调性判断与证明 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 三、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的最大值和最小值分别是 ． 四、解答题 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 6．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令. (1)求实数的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由； (3)已知，且，证明：. 参考答案： 题号 1 2 3 答案 D A AB 1．D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 2．A 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 3．AB 【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可. 【详解】， 化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得， 即， 设， 由得， 即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误. 故选：. 4．1， 【分析】利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数，由此求得函数的值域． 【详解】解：任取，，且， ， ，，且， ， ，即． 所以函数在区间上是减函数， 故当时，函数有最大值为1，时，函数有最小值为． 所以函数的最大值是1，最小值是， 故答案为：1，． 5．(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）由的范围去掉绝对值符号，将写成分段函数，画出图象即可； （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，利用单调函数的定义证明即可. 【详解】（1）函数， 得， 得， 函数的图象如下： （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【点睛】， 6．(1)， (2)在上单调递增，在上单调递减 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令和，得到，再由二次函数的性质，求得，得到，进而得到的解析式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由，化简得到，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：由，均有且， 令，可得， 令，可得. 因为曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，所以， 又因为曲线与恰有一个交点，所以有两个相等的实数根， 则， 因为，可得，解得， 所以，则. （2）函数在上单调递增，在上单调递减. 设且， 则 ， 其中 当时，，则，即， 此时函数在上单调递增； 当时，，则，即， 此时函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （3）证明：因为， 由，可得，即， 所以，整理得， 又因为，由基本不等式，可得. 【考点7】利用函数单调性求参（或解不等式） 一、单选题 1．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·三模）已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（   ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A D BCD CD 1．A 【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故选项中A正确，B、C、D错误. 故选：A. 2．A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 3．D 【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 4．BCD 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又， 所以，即.A错误，B正确. 设，则， 又，所以，所以， 又当时，，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减.C正确. 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为,D正确. 故选：BCD 5．CD 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 6． 【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案. 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 【考点8】不等式恒成立 一、单选题 1．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若恒成立，则a的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D C CD BD 1．D 【分析】问题转化为，从而求出的最小值即可． 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 2．D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 3．C 【分析】当时，分或进行讨论，研究的最小值，使得 恒成立的范围；时，利用导函数研究的单调性与最值，求出的取值范围为． 【详解】当时， 若，则，要使恒成立，即， 若，则，要使恒成立， 即，，即 当时， 在上单调递增， 要使恒成立，即 综上所述，的取值范围为， 故选：C． 4．CD 【分析】先把恒成立，转化成求的最小值问题，再在已知等式中解出，代入变形成，即求的最小值问题，在已知中解出用表示的关系式，代入，变形后用基本不等式求解即可. 【详解】由，所以，所以， 又因为，得，因为，所以， 所以，则， 当且仅当时，等号成立.，故， 则的最小值是，因为恒成立， 所以，即，解得.故A，B错. 故选：CD. 5．BD 【分析】对b分类讨论，当 时，由得到在上恒成立，则不存在；当 时，由，结合图象利用数学结合的思想得出a，b的整数解． 【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在， 当时，由可设，， 又的大致图象如下， 那么由题意可知：，再由是整数得到或 因此或-2． 故选：BD 6． 【分析】先把恒成立问题转化为最小值问题，再根据绝对值不等式求最小值即可. 【详解】因为恒成立， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以. 所以. 故答案为：. 【考点9】函数奇偶性 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）设，函数是定义在上的奇函数，且当时，．若是上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ）． A． B． C．为减函数 D．为奇函数 5．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A． B． C． D．的单调递增区间为 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B ABD BC 1．C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．B 【分析】根据奇函数的性质可求解，即可利用分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，且． 当时，函数， 当时，，则，则， 即当时，函数， 所以，因为函数是上的增函数， 则有解得，所以实数的取值范围为 故选：B． 3．B 【分析】根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到，从而得，从而得到结果． 【详解】解：的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选：B. 4．ABD 【分析】利用已知条件，结合赋值法，即可求解． 【详解】，时，，， 而，∴， ，时，， ∴，∴，故B正确； 令，，， 令，，故A正确； ，是奇函数，故D正确． 令，则，为增函数，故C错误． 故选：ABD. 5．BC 【分析】利用奇函数的性质可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证D项. 【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误； 因为，所以，故C正确； 作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号. 故选：BC. 6． 【分析】由函数的奇偶性，单调性去即可求解. 【详解】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 当时，，，, 所以. 又当时，，， 所以. 又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增， 则可得： ，即， 解得， 故答案为： 【考点10】幂函数 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 5．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知幂函数在上单调递减，则 B．函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是 C．已知，，，则恒成立 D．已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C A B ABC AC 1．C 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 2．A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 3．B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 4．ABC 【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据，即可判断选项C；利用的定义域，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，此时幂函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，此时幂函数（为常数）为奇函数，故B正确； 对于C，当时， ，故幂函数（为常数）的图象始终经过点，故C正确； 对于D，当时，幂函数（为常数）的定义域不包含0，故D错误. 故选：ABC 5．AC 【分析】利用幂函数定义及性质求出判断A；利用分段函数单调性求出的范围判断B；作差与0比较判断C；求出函数对称中心坐标判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，A正确； 对于B，依题意，，解得，B错误； 对于C，依题意， ，C正确； 对于D，依题意，，， 即，令，则，， 所以的图象关于点中心对称，D错误. 故选：AC 6．①⑤ 【分析】分别求出在和上的函数值范围，结合卦限概念即可判断. 【详解】对于函数，当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限； 而当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限. 故答案为：①⑤. 【考点11】函数的应用 一、单选题 1．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 2．（21-22高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 5．（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期中）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．函数的值域是 D．函数在上单调递增 三、填空题 6．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D ACD ABD 1．A 【分析】令，结合定义域求解即可. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 令,解得，又，所以. 函数的零点是1. 故选：A. 2．C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 3．D 【分析】 由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围. 【详解】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 4．ACD 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 5．ABD 【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可. 【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确； 对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确； 对C，函数，当时，，故C错误； 对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 6． 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$