山西省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编：空间向量与立体几何

山西省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西吕梁·三模）在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．4.5 3．（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西晋城·二模）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西临汾·二模）如图所示，在三棱锥中，围绕棱PA旋转后恰好与重合，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西临汾·一模）在平行四边形中，，，，分别为，的中点，将沿直线折起，构成如图所示的四棱锥，为的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面平面 B．四棱锥体积的最大值为 C．无论如何折叠都无法满足 D．三棱锥表面积的最大值为 二、多选题 9．（2024·山西吕梁·三模）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（    ） A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为 10．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，G为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．CG与所成角的余弦值为 B．与平面的交点H是的重心 C．三棱锥的外接球的体积为 D．与平面所成角的正弦值为 11．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 12．（2024·山西晋中·三模）在正四棱台中，则下列说法正确的是（    ） A．若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为 B．若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为 C．若侧棱长为为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），则不可能成立 D．若侧棱长为为棱的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小部分的体积为4 13．（2024·山西临汾·二模）在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB和CD（包括端点）的动点，直线PQ与平面ABC、平面ABD所成角分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的正负与点P，Q位置都有关系 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 14．（2024·山西吕梁·二模）已知圆台的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为 . 15．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为 . 16．（2024·山西运城·一模）已知圆锥的高为，其顶点和底面圆周都在直径为的球面上，则圆锥的体积为 . 17．（2024·山西晋城·一模）若一个正棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为，则的最小值为 ，该棱台各棱的长度之和的最小值为 ． 四、解答题 18．（2024·山西太原·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，. (1)点在侧棱上，且平面，确定在侧棱上的位置； (2)若平面平面，且，求二面角的余弦值. 19．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，. (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．（2024·山西吕梁·三模）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，. (1)求证：，并求三棱锥的体积； (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 21．（2024·山西临汾·三模）如图1，在平面四边形中，，，，，点在上，且满足．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列问题．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 22．（2024·山西朔州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，分别为上的点，平面．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 23．（2024·山西晋城·二模）如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点． (1)若，求证：平面； (2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长． 参考答案： 1．C 【分析】利用条件先判定为正三角形，再作出圆锥及其内切球的轴截面，利用正三角形的性质计算球半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形， 又，所以，则为正三角形，边长为， 如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面， 设中点分别为，内切球球心为O， 由正三角形内心的性质易知    即内切球球半径为1，所以体积. 故选：C 2．A 【分析】由椭圆定义可知，点与点都在以为焦点的椭圆上，由到中点距离取最大值时得到，故此时体积最大. 【详解】 由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上， 所以焦距为，即， 由椭圆定义可知长轴长为，即， 所以到中点距离的最大值为短半轴长， 所以中，，， 所以，又， 所以当垂直平面时四面体体积最大，最大值为， 故选：A. 3．D 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 4．C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 5．B 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面积公式以及扇形弧长解得，再结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得， 则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 故选：B. 6．C 【分析】设，结合题意证明为等边三角形，再由边长关系确定为三棱锥外接球的的球心，最后利用棱锥的体积公式结合三角形的面积公式求出半径. 【详解】 如图，取中点，连接， 因为 所以， 又，且都在平面内， 所以平面，且， 设则，且为等边三角形， 所以为三棱锥外接球的的球心，半径， 所以， 解得， 所以， 故ABD错误，C正确； 故选：C. 7．A 【分析】如图，取的中点为，连接，设为的中心，为的中心，由对称性可得在平面中，且平面，平面，结合解三角形可得，从而可求外接球半径，故可得其体积. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为，故为等边三角形且， 因为为等边三角形，故， 由余弦定理可得， 故，而为等边的边上的中线， 故，同理，故， 而为三角形内角，故. 设为的中心，为的中心，则在上且在上， 因为、均为等边三角形其它们有公共边， 由对称性可得在平面中， 设为外接球的球心，连接，则平面，平面， 而平面，平面，故，连接， 则由四点共圆可得， 故，所以即外接球半径为， 故棱锥的外接球的体积为. 故选：A 8．C 【分析】根据题意，连接,判断选项A;当平面平面,四棱锥体积最大，判断选项B;利用线面垂直，判断选项C;当在根据对称性此时的面积最大，求出表面积，判断选项D. 【详解】选项A，平行四边形,所以，又,分别为中点，所以,即四边形为平行四边，所以,又平面,平面,所以平面，又是中点，所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面，故A正确； 选项B，当平面平面,四棱锥的体积最大，因为，所以最大值为 ,故B正确； 选项C，根据题意可得 ,只要 , ,平面,所以平面，即,故C错误； 选项D，当,根据对称性可得,此时的面积最大，因此三棱锥表面积最大，最大值为,选项D正确. 故选：C 9．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线夹角的取值范围，判断A的真假；平面平面，B选项很好判断；先确定点位置，再展开成平面，转化成平面上两点之间的距离问题判断C的真假；先得到是线段上一点，连接并与交于点，分当与重合，在线段（不含点）上，在线段（不含点，）上和与重合四种情况，得到截面积的最大值，判断D的真假. 【详解】对于，如图： 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则 则， 因为 所以， 故，则的取值范围为，故A不正确； 对于B，在正方体中，平面平面，显然成立.故B正确； 对于C：正方体的棱长为2，为空间中的一动点，在上取点，使，在上取点，使,如图： 由得，即，故为线段上一点. 将平面沿展开至与平面共面，如下图： 易知：， 则. 在平面图中，当三点共线时，取得最小值，为，故C正确； 对于D：因为，所以，又，可知是线段上一点，如图： 连接并与交于点. 当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4. 当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为. 当在线段（不含点）上时，如图： 延长与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为. 由图可知：梯形的面积一定小于矩形的面积，且矩形面积为， 所以. 当与重合时，截面为矩形，面积为. 故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 10．ABC 【分析】对于A，连接，可得即为异面直线与所成角或其补角；对于B，可得四面体为正四面体，证明平面即可判断；对于C，三棱锥和正方体有相同的外接球，求出即可；对于D，可得为直线与平面所成的角，即可求出判断. 【详解】对于A，连接，则由正方体的性质可知， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 连接，设，则为的中点， 连接，则， 在中，， 即与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，连接，则， 则四面体为正四面体， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可得，因为，平面 所以平面，垂足为，又四面体为正四面体， 所以为的中心，即为的重心，故B正确； 对C，由于三棱锥的顶点均为正方体的顶点， 所以三棱锥和正方体有相同的外接球，所以外接球半径， 体积为，故C正确； 对D，连接，并延长交于点，由选项B知平面， 所以为直线与平面所成的角，由为正三角形， 且为的重心，所以为的中点，也是的中点， 在中，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：本题考查空间角中的线线角的余弦值的求法，线面角的正弦值的求法， 法一：作出空间角再利用解三角形的知识求解，法二建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 11．BC 【分析】根据体积公式即可求解A，根据平面中两点距离最小即可求解B，根据线线垂直可得线面垂直，进而求解C，根据数量积的运算律即可求解D. 【详解】对于A,连接相交于，故 ，，A错误； 对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折， 使其与共面，得到菱形，则，B正确； 对于C，由且,平面, 故平面，平面，， 若，平面,则平面， 故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确； 对于D，，， 由于平面，故平面， 平面，故 （与的夹角为钝角），D错误． 故选：BC. 12．ACD 【分析】根据正四棱台的几何性质确定其内切球球心的位置，即可得该棱台的侧棱长，从而可判断A；根据几何体的外接球的几何性质确定上下底面截面圆半径，分析截面与球心位置，从而可判断B；利用空间直线与平面的位置关系，建立空间直角坐标系验证是否垂直，从而可判断C；根据棱台截面分割图形性质，结合锥体体积关系求解，可判断D. 【详解】对于A，如图（1），设分别为棱的中点，则， 当正四棱台存在内切球时，球的大圆为等腰梯形的内切圆， 根据切线长定理，可知，此时，正四楼台侧面的高为，侧棱长为，故A正确； 对于B，当正四棱台的外接球半径为时，其上、下底面均为球的截面圆对应的内接正方形， 截面圆的半径分别为，因为，故截面圆均为外接球的小圆， 设为外接球球心，截面圆的圆心，则为正四棱台的高， 如图（2），此时截面圆在球心同侧， 如图（3），此时截面圆在球心异侧， 因此符合要求的棱台有2个，故B错误； 对于C，当侧楼长为正四棱台的高为1，取棱的中点连，接设与交于点 则为线段上的动点时，直线在平面内，根据正四棱台的性质， 可知假设与不重合），则必有平面， 建立如图（4）所示的空间直角坐标系， 则， 则即与不垂直，故平面不成立，故假设不成立，故C正确； 对于D，当侧棱长为时，正四棱台的高为1，根据条件可作出符合题意的截面， 如图（5）所示， 截面下方的多面体体积根据截面性质， 可以得出分别为楼的中点，且故 同理可得，所以根据棱台的体积公式，可得正四棱台的体积为 所以截面上方多面体的体积为4，故较小部分的体积为4，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 13．BCD 【分析】取的中点，连接，过点在平面内分别作，垂足分别为，利用线面角的定义可判断AB选项；求出的最大值和最小值，结合线面角的定义即可判断选项CD. 【详解】取的中点，连接，过点在平面内分别作， 垂足分别为，如图所示， 在正四面体ABCD中，均为等边三角形，因为为的中点， 所以，又因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平面. 所以直线与平面所成的角为， 即，同理可得：， 所以的正负只由点位置确定，与点位置无关， 故选项A错误，选项B正确； 设，则，且, 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 所以， 则， 将正四面体ABCD补成正方体，如图所示： 连接，在线段上取点，使得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以平面，因为平面，所以， 所以平行四边形为矩形，则， 因为且，所以四边形为矩形， 则，且. 因为平面，平面，所以， 设，因为四边形为正方形，所以， 所以，且， 则， 所以， 则， ， 故选项C，D都正确， 故选：BCD. 14．5 【分析】作出圆台轴截面图象，根据梯形中位线性质，圆台侧面积公式可求上底和下底的半径，根据图形性质即可求出母线. 【详解】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：. 又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分， 所以根据圆台侧面积公式可知：，解得，所以. 又圆台的高为3，所以圆台的母线长为. 故答案为：5. 15． 【分析】根据图象找到三棱柱外接球球心位置，利用几何关系求出半径，再求出外接球体积；然后求出水的体积表达式，结合基本不等式求出水体积的最大值，最后计算结果即可. 【详解】 如图，取的中点，连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心，为三棱柱外接球的球心， 所以为外接圆半径，且， 所以直三棱柱的外接球的体积为， 又水的体积，且，当且仅当时取等号， 则容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比的最大值为， 故答案为：. 16． 【分析】求出圆锥的底面半径，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积. 【详解】取圆锥的轴截面如下图所示： 设圆锥的外接球为球，易知，且，，则， 故圆锥的底面半径为， 因此，该圆锥的体积为. 故答案为：. 17． 6 42 【分析】根据正棱台共有条棱，从而得到不等式，求出的最小值为6，得到棱的长度之和最小值. 【详解】因为正棱台的侧棱有条，底面有条棱，所以正棱台共有条棱， 由，得， 所以的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为． 故答案为：， 18．(1)为侧棱上靠近处的三等分点； (2) 【分析】（1）根据平面，得出，结合底面是直角梯形，，且，得出，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面平面， 平面，面， 底面是直角梯形，，且， ，则， 为侧棱上靠近处的三等分点； （2）平面平面，且， ，平面平面，平面， 平面，（为中点） 如图所示建立空间直角坐标系， 依题意有，，， ，则， ，，显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 取得， ， 二面角的大小的余弦值为. 19．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线和平行四边形的性质得到，再证明，从而得到，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可. 【详解】（1） 取中点，连接，， 因为分别为中点， 所以且， 因为四边形为菱形，为中点， 所以且， 所以且，则四边形为平行四边形， 所以， 又侧面为直角梯形，，，且为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，四边形为菱形， 所以三角形为等边三角形， 因为为中点， 所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为，则，又，所以， 所以， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 此时. 20．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）设，连接，即可证明平面，平面、平面，再由锥体的体积公式计算可得； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值最大值，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）设，连接， 为底面圆的内接正三角形， 为中点， 又， ； ， ； 平面平面平面平面， 平面平面平面平面， 又平面， 又平面，又平面， 所以， 又平面， 平面平面平面； 为中点，，即， 又平面，平面， 平面平面， ， ， 又平面， . （2）为中点，又， 为中点，， ， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ， 设， ； 设平面的法向量， 则，令，解得：， 设直线与平面所成角为， ， 令，则， ， 当，即时，， ，此时， ， 点到平面的距离. 21．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定先证出平面，由线面垂直的性质及判定，结合菱形对角线的性质即可证出结论； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可． 【详解】（1）因为，，，所以四边形为菱形， 因为，，，所以，， 又因为，所以，即， 在中，由，可得， 因为，，所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设，过作，则以为原点，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    可得，， 因为，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 22．(1) (2) 【分析】（1）可证，，故可建立如图所示空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标形式可求的长. （2）利用向量法可求面面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，故，， 而底面是正方形，故， 因平面，故平面， 而平面，故， 又，故，故， 故分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设，故， 故， 由，故，故， ， 设，故， 故， 因，故，所以，故， 故. （2）因为为的中点，故，故，， 设平面的法向量为， 则，故，取，则，， 故， 由（1）可得，故，而， 设平面的法向量为， 则，故，取，则，， 故， 故. 故平面与平面夹角的余弦值为. 23．(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明线面平行； （2）设，求平面的法向量，结合线面夹角的向量运算分析求的值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，平面， 可得平面， 且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设， 则， 若，则，， 由题意可知：平面的法向量， 因为，且平面， 所以∥平面. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以或，即线段BF的长为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$