数列-江西省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

江西省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----数列 一、单选题 1．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·三模）已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．15 3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（    ） A．37 B．38 C．39 D．40 4．（2024·江西宜春·三模）设等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．（2024·江西赣州·二模）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（    ） A．48 B．24 C．12 D．8 6．（2024·江西景德镇·三模）已知是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江西上饶·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·江西南昌·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．51 B．34 C．17 D．1 二、多选题 9．（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 10．（2024·江西新余·模拟预测）若，成等差数列，成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（    ）. A． B． C． D． 11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列满足：，，数列的前项和为，则（    ） A．当时，若递增，则或 B．当时，数列是递增数列 C．当，时， D．当，时， 12．（2024·江西南昌·三模）已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（2024·江西南昌·三模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则数列的前项和为 . 14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 15．（2024·江西鹰潭·二模）设数列的前项和为，，，，则 . 16．（2024·江西景德镇·三模）不经过第四象限的直线与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为 . 17．（2024·江西上饶·二模）在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为 ． 四、解答题 18．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列． 19．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和． 20．（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 21．（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 (1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； (2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； (3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 22．（2024·江西上饶·二模）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束． (1)写出数列，经过6次“变换”后得到的数列； (2)若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由； (3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值． 参考答案： 1．A 【分析】先根据等比中项的定义得出；再根据等差数列的通项公式得出，化简即可解答. 【详解】因为是与的等比中项， 所以. 又因为数列为等差数列，公差为， 所以，化简得，即， 所以. 故选：A. 2．B 【分析】由与的关系，将式子化简，可得，当，即可得到是等差数列，排除D，当，即可得到是等比数列，排除A，然后由计算，即可排除C. 【详解】因为，且，则， 化简可得， 若，则，且， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以，则，排除D； 若，则，即，且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 所以，则，排除A； 再由计算， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或， 取，此时，排除C； 故选：B 3．B 【分析】首先求出，再根据递推公式及得到，从而求出的通项公式，再利用放缩法求出，即可得解. 【详解】因为， 当时，，，. 当时，由及，即，所以， 所以数列是以为首项､1为公差的等差数列，因此，则， ， 又当时，， ， 对于， ， 即， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再利用放缩法，结合裂项相消法求出的范围. 4．A 【分析】利用等差数列求和公式化简可得，将化简可得，计算可得结果. 【详解】设的公差为d，由，得， 化简为， 所以． 故选：A． 5．B 【分析】利用韦达定理确定，根据等差数列性质有，在应用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为，是方程的两根，所以， 又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：， 设的前6项和为，则. 故选：B 6．A 【分析】根据给定的递推公式求出，再利用等比数列求出通项公式即得. 【详解】数列的前项和，由，，得，解得， 因此数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 所以. 故选：A 7．D 【分析】首先根据因为是等差数列，可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得解. 【详解】因为是等差数列， 所以可设，所以， 所以为等差数列， ， 所以， 所以. 故选：D 8．C 【分析】由题意列方程组可求出，，再由等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以由可得：， 解得：， 所以. 故选：C. 9．ABD 【分析】根据题意，结合等比数列的定义和等差数列的定义及判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 对于A中，由，且， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确； 对于B中，由，且， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C中，由，可得， 即时，， 又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为． 所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误． 对于D中，当时，即， 所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确． 故选：ABD. 10．BCD 【分析】设公比为，根据等差数列和等比数列可得，运算求解即可. 【详解】因为成等比数列，设其公比为，则， 又因为成等差数列，则， 可得，则， 整理可得，解得或或， 结合选项可知：A错误，BCD正确， 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出A项的正误；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，得出B项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，判断出C项的正误；当，时，利用递推公式与不等式的性质，计算出，从而判断出D项的正误． 【详解】对于A，若且数列是递增数列， 当时，， 由可得， 又 是单调递增数列，所以，即， 解得或，故A项错误； 对于B，因为且， 所以，数列是递增数列，故B项正确； 对于C，当时，， 结合，可知，，，可知是递增数列，， 则，即， 所以，即， 所以， 当时，，所以， 所以，故C项正确； 对于D，当时，，可， 所以，． 因此的前项和为中，，结合，可知， 综上所述，当，时，不成立，故D项错误． 故选：BC 【点睛】思路点睛：C选项关键在于通过放缩得到，然后利用累乘法和等比数列求和公式求解可得． 12．AD 【分析】设等比数列公比为，由已知条件得，解得，再使用等比数列的通项公式及数列求和公式求解即可. 【详解】由题意，设等比数列公比为， 则，解得或， 由因为数列为单调递减的等比数列， 所以， 所以， . 故选：AD. 13． 【分析】由已知定义先求出，，代入后结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，小于的所有正奇数都与互质，共有个，所以， 小于且大于0的所有与不互质的数是3的倍数，故与互质的数共有，即， 所以 则其前项和为 故答案为：. 14． 【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解. 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 15．（） 【分析】根据题意，由与的关系可得，从而可得，即可得到结果. 【详解】因为，当时，， 两式相减可得，即， 所以，又，所以， 所以，所以，且也符合上式， 所以，所以，. 故答案为：（） 16． 【分析】设不经过第四象限的直线（，），设，问题转化为该函数有三个零点，根据函数函数零点的关系，把，都用表示出来，再根据，，成等差数列，可得的取值范围，进一步求出的最小值. 【详解】易知必存在斜率，设：， 不经过第四象限，， 设，，，其中， ，，为方程的三个根， 构造函数， 则，所以，易知. 我们先将视作为定值，则由， 可得. 又，且，. 于是的取值随着的增大而减小， 故当时取最大值，此时，解得. 同理. ，. 若，，成等差，所以， 即， 整理即，解得， ， 即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：函数有三个零点，可把写成的形式，展开后，利用多项式相等表示出，，.和，的关系是解决这问题的关键点. 17． 【分析】根据题意可得，利用数量积公式得，进一步由正弦定理、结合三角恒等变换将所求转换为求三角函数值域即可. 【详解】根据题意，又， 所以， 而， 由正弦定理有， 所以， 所以 ， 而的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 所以的取值范围是， 所以的取值范围为. 故答案为：. 18．(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义可求出的值； （2）令（周期），结合新定义，即可求证； （3）根据定义分别证明充分性和必要性，d为非负整数，是公差为d的等差数列，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【详解】（1），，，． （2）证明：不妨设的周期为， 记，， 则当时，是常数， 记，使得当时，是常数，结论正确． （3）证明：充分性； 若为公差为的等差数列，则 于是，． 因此，      必要性：因为， ，， ，于是，． 因此． 故数列是公差为的等差数列． 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 19．(1) (2) 【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解； （2）先求出，然后结合错位相减求和即可求解． 【详解】（1）数列满足， 当时，， 两式相减可得，，所以， 当时，也满足上式， 所以； （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减的，， 所以． 20．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由，，成等差数列可得：，利用两边同时除以，即可构造为，所以第一问就可以得证并计算通项； （2）关键是对通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到和，最后就能证明不等式成立. 【详解】（1）由，，成等差数列可得：， 因为，可得，所以两边同时除以得：， 上式可化为： 所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列 所以，即 （2）因为 所以 又因为 所以， （当n＝1时等号成立）， 综上可知：. 21．(1)是“H数列”；理由见解析 (2)1，2，3，6； (3)证明见解析 【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可. （2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解. （3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，也成立， 所以， 对任意m，且，， 是“H数列”. （2）因为 ，，， 所以，所以， 由已知得也为数列中的项， 令，即， 所以，所以d为6的正因数， 故d的所有可能值为1，2，3，6. （3）设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即， 当时，则，故，此时数列为“H数列”； 当时，，取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意m，且，， 显然，所以为数列中的项， 是“H数列”. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论. 22．(1)； (2)不可能结束，理由见解析； (3)64. 【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“变换”后得到的数列即可； （2）先假设数列经过不断的"变换"结束，不妨设最后的数列设数列，，，且，，则非零数量可能通过“变换”结束，或者数列为常数列，进而得到可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明； （3）先往后推几项，发现规律，假设1次“变换"后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字按近时，再继续推，往后会发现次“变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可. 【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为 ；；；；；， 所以，数列，经过6次“变换”后得到的数列为. （2）数列经过不断的“变换”不可能结束 设数列，，，且，， 依题意，，，所以， 即非零常数列才能通过“变换”结束． 设（为非零自然数）． 为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能 ，，；，，；，，；，，． 而任何一种可能中，数列的第三项是0或． 即不存在数列，使得其经过“变换”成为非零常数列， 由①②得，数列经过不断的“变换”不可能结束． （3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为． 数列经过6次“变换”得到的数列分别为： ；；； ；；． 所以，经过6次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列， 变化的是，除了3之外的两项均减小18． 因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为2，5，3． 接下来经过“变换”后得到的数列分别为： 3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，， 至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小， 所以经过次“变换”得到的数列各项和达到最小， 即的最小值为64． 【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：（1）根据定义写出几项；（2）找出规律；（3）写成通项；（4）证明结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$