第六章 几何图形初步 重点题型 线段、角的运动问题　 课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 重点题型 线段、角的运动问题 荣老师告诉你 线段和角的运动问题的主要表现形式有动点、翻折、旋转等，是各类考试的重点和难点. 熟识与把握这类题目，有助于学生提升研究问题的能力，延展问题运用的方法. 满分题溯源 类型 动点、动线问题 1 此类问题的解决方法主要是化动为静，用含时间的代数式表示线段长度(或角度的大小)，然后利用线段(或角度)之间的关系列方程求解，有时需要分类讨论. 满分题溯源 角度1 线段中的动点问题 例1 [期末· 广州]如图1，线段AB=20 cm，C 为AB 的中 点，点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿线段AB 向右运动，到点B 停止；点Q 从点B 出发，以1 cm/s 的速度沿线段BA 向左运动，到点A 停止. 若P，Q 两点同时出发，当其中一点停止 运动时，另一点也随之停 止. 设点P 的运动时间为x(x ＞ 0)s. 满分题溯源 (1)AC=_______cm. (2)是否存在某一时刻，使得C，P，Q 三点中，有一点恰好为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由. 10 解：存在. 依题意，得AP=2x cm，BQ=x cm，由(1)可知AC=BC=10 cm.分三种情况讨论： 满分题溯源 ①当点C 为PQ 的中点时，则PC=QC. 因为PC=AC－AP=(10 － 2 x)cm ， QC=BC－BQ=(10－x)cm，所以10 －2x= 0 －x， 解得x=0(不合题意，舍去)； 满分题溯源 ② 当点P 为CQ 的中点时，则PC=PQ， 如图2 所示. 因为PC=AP－AC=(2x－1 0) cm， 所以BP=AB－AP=(20 －2x) cm. 所以PQ=BP－BQ=20－2x－x=(20－3x)cm. 所以2x－1 0 =2 0 －3x，解得x=6； 满分题溯源 ③当Q 为PC 的中点时，则PC=2CQ，如图3 所示. 因为PC=AP－AC=(2x－10) cm， CQ=BCBQ=(10 －x) cm， 所以2x－1 0 =2(1 0 －x)，解得x=7 .5 . 综上所述，当x=6 s 或7.5 s 时，C，P，Q三点中，有一点恰好为另外两点所连线段的中点. 满分题溯源 角度2 线的旋转问题 例2 [期末·柳州] 【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA= ∠AOB，则我们称射线OC 是射线OA 的“友好线”. 例如，如图4，∠AOB=60°，∠AOC= ∠COD= ∠BOD=20°，则∠AOC= ∠AOB，称射线OC是射线OA 的友 好线；同时，由于∠BOD= ∠AOB，称射线 OD是射线OB 的友好线. 满分题溯源 【知识运用】 (1)如图5，∠AOB=120°，射线OM是射线OA 的友好线，则∠AOM=_______°. (2)如图6，∠AOB=180°，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒2 °的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度顺 时针旋转，当射线OD与射 线OA 重合时，运动停止. 40 满分题溯源 ①是否存在某个时刻t(s)，使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由； 解：射线OD 与射线OA 重合时，t=60 . ①存在某个时刻t(s)，使得∠COD 的度数是40°，有两种情况： 在OC，OD 相遇前，180 ° －3t ° －2 t°=4 0°，所以t=2 8 ； 在OC，OD 相遇后，3 t°＋2 t°－180°=4 0°，所以t=4 4 . 综上所述，当t 为28 或44 时，∠COD 的度数是4 0°. 满分题溯源 ②当射线OC，OD相遇后，射线OC，OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t 的值. 解：若OD是OC的友好线，则∠COD=·∠AOC， 所以3 t°＋2 t°－180°=×2 t°.所以t=； 若OC 是OD 的友好线，则∠COD= ·∠BOD， 所以3 t°＋2 t°－180°= ×3t°.所以t=45 . 综上所述，当t 为或4 5 时，射线OC，OD 中恰好有一条射线是另一条射线的友好线. 满分题溯源 类型 翻折问题 2 不论是线段翻折还是角的翻折，其最基本的关系是翻折前后的线段长度(角度)相等，然后综合题目中的其他条件求解. 满分题溯源 角度1 线段翻折问题 例3 [期末· 安顺]将一段长为60 cm 的绳子AB 拉直铺平，沿点M，N 折叠(绳子无弹性，折叠处长度忽略不计)，设点A，B分别落在点A′，B′处. 满分题溯源 (1)如图7，当点A′，B′恰好重合时，MN的长为_____cm； 30 满分题溯源 (2)如图8，若点A′落在点B′的左侧，且A′B′=20 cm，求MN的长； 解：因为A′B′=2 0 cm，AB=6 0 cm， 所以AA′＋BB′=4 0 cm. 因为MN=MA ′＋A ′B ′＋B ′N=A ′B ′＋(AA′＋BB′)， 所以MN=4 0 cm. 满分题溯源 (3)若A′B′=n cm，求MN的长(. 用含n的式子表示) 解：① 如图9，当点A ′落在点B ′的左侧时. 因为A′B′=n cm，AB=6 0 cm， 所以AA′＋BB′=(60 －n) cm. 因为MN=MA′＋A′B′＋B′N=A′B′＋(AA′＋BB′)， 所以MN=(30 ＋n )cm； 满分题溯源 ②如图10，当点A′落在点B′的右侧时. 因为AA′＋BB′=AB＋A′B′，A′B′=n cm，AB=6 0 cm， 所以AA′＋BB′=(6 0 ＋n)cm. 因为MN=MA′＋B′N－A′B′= (AA′＋BB′)－A′B′， 所以MN=(30 －n)cm. 综上，MN=(30 ＋ n)cm 或MN=(30 － n)cm. 满分题溯源 角度2 角的翻折问题 例4 [期末·漳州] O，E 分别是长方形纸片ABCD边AB，AD上的点，沿OE，OC翻折，点A 落在点A′处，点B 落在点B′处. 满分题溯源 (1)如图11，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE 的度数； 解：由折叠可得∠AOE= ∠A′OE， ∠BOC= ∠B′OC. 因为∠AOE＋ ∠A′OE＋ ∠BOC＋ ∠B′OC=180°， 所以2 ∠A′OE＋2 ∠B′OC=1 80°. 所以∠A′OE＋ ∠B′OC=9 0°，即∠COE=9 0°. 满分题溯源 (2)如图12，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠COE=80°，求∠A′OB′的度数； 解：因为∠COE=8 0°， 所以∠BOC＋ ∠AOE=1 8 0°－ ∠COE=1 0 0°. 由折叠可得∠A′OE= ∠AOE，∠B′OC=∠BOC， 所以∠A′OE＋ ∠B′OC=1 0 0°. 所以∠A′OB′= ∠A ′OE＋ ∠B ′OC－ ∠COE=100°－80°=2 0°. 满分题溯源 (3)当点A′，B′落在∠COE 的内部时，若∠AOE=α ，∠BOC=β ，求∠A′OB′的度数(用含α ，β 的代数式表示). 解：因为∠ AOE=α ，∠ BOC=β ， 所以∠COE=1 8 0°－ ∠AOE－ ∠BOC=180°－α －β . 由折叠可得∠ A ′OE= ∠ AOE=α ，∠ B′OC= ∠ BOC=β . 满分题溯源 ①如图13 ，当点B′在∠ A′OE内部时. 因为∠ A ′OB ′= ∠ A ′OE＋ ∠ B ′OC－∠ COE， 所以∠ A′OB′=α ＋β －(180°－α －β)= 2α ＋2β －1 8 0°； 满分题溯源 ②如图14 ，当点B′在∠ A′OE 外部时. 因为∠ A ′OB ′= ∠ COE－(∠ A ′OE＋∠ B′OC)， 所以∠ A′OB′=180°－α －β －(α ＋β)= 180°－2α －2β . 综上，∠ A ′OB ′=2α ＋2β －1 8 0 ° 或180°－2α －2β . 满分题溯源 类型 线段与角的整体运动 3 例5 [期末·广元]如图15，已知线段AB=20 cm，CD=4 cm，线段CD 在线段AB 上运动，E，F 分别是AC，BD 的中点. 满分题溯源 (1)若AC=6 cm，求EF 的长. 解：因为AB=2 0 cm，CD=4 cm，AC=6 cm， 所以BD=AB－AC－CD= 20－6－4 =10(cm). 因为E，F 分别是AC，BD 的中点， 所以EC= AC=×6=3(cm)，DF=BD= ×1 0 =5(cm). 所以EF=EC＋CD＋DF=3＋4＋5=12(cm). 满分题溯源 (2)当线段CD 在线段AB 上运动时，试判断线段EF 的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF 的长度；如果变化，请说明理由. 解：线段EF 的长度不变. 设A C = a cm ， 则B D = A B － A C －CD= 20 －a－4 =(1 6 －a)cm. 因为E，F 分别是AC，BD 的中点， 所以EC= AC=a cm，DF=BD=×(16 －a)= 8 －a cm. 所以EF=EC＋CD＋DF= a ＋ 4 ＋ 8 － a =1 2(cm). 满分题溯源 (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图16，已知∠ COD 在∠ AOB 内部转动，射线OE，OF 分别平分∠ AOC 和∠BOD. 满分题溯源 ①若∠AOB=130 °，∠COD=18 °，求∠ EOF 的度数； 解：设∠AOE=α ，∠BOF=β ，∠COD=θ . 因为射线OE，OF 分别平分∠ AOC 和∠ BOD， 所以∠ EOC= ∠ AOE=α ， ∠ FOD=∠ BOF=β . 所以∠ AOC=2α ，∠ BOD=2β . 所以∠AOB= ∠AOC＋ ∠BOD＋ ∠COD= 2α ＋2β ＋θ ， ∠ EOF= ∠ EOC＋ ∠ DOF＋∠ COD=α ＋β ＋θ . 满分题溯源 ①因为∠ AOB=130°，∠ COD=18°， 所以2α ＋2β ＋θ =13 0°，θ =18°. 所以α ＋β =56°.所以∠ EOF=56°＋18°=74°. 满分题溯源 ②试猜想∠ EOF，∠ AOB 和∠COD三个角之间有怎样的数量关系，并说明你的理由. ②∠EOF，∠AOB和∠COD三个角之间 的数量关系是：∠ EOF=(∠ AOB＋ ∠COD). 理由如下： 因为∠ AOB＋ ∠COD=2α ＋2β ＋θ ＋θ = 2α ＋2β ＋2θ ，所以(∠ AOB＋ ∠ COD)=α ＋β ＋θ . 又因为∠ EOF=α ＋β ＋θ ， 所以∠ EOF= (∠ AOB＋ ∠ COD). 满分题溯源 $$