第六章 几何图形初步 章末核心要点分类整合　课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

第六章 几何图形初步 章末核心要点分类整合 1. 由立体图形变成平面图形有两种方式： 一种是从不同方向看立体图形，得到平面图形； 另一种是沿某些棱剪开得到平面展开图. 2. 直线的基本事实：两点确定一条直线. 线段的基本事实：两点之间，线段最短. 3. 线段的中点：在线段上，将线段分成相等的两条线段的点. 4. 角的平分线：在角的内部，将角分成相等的两个角的射线. 5. 余角和补角： 若两个角的和等于9 0°，则这两个角互余；若两个角的和等于1 8 0°，则这两个角互补. 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等. 核心必读 专 题 立体图形与平面图形的转化 1 链接中考 >> 立体图形和平面图形的转化主要有两种：一种是从不同方向看立体图形得到平面图形；另一种是将立体图形展开得到平面展开图.中考中该考点考查的形式一般都是选择题. 知识必学 [中考·菏泽]如图6－1 所示的几何体是由5 个大小相同的小正方体组成的，从前面看到的图形是(　　) 例 1 知识必学 解题秘方：从每列正方体的个数入手分析判断. 解：从前面看有三列，从左到右每列小正方形的个数分别为2，1，1 . 答案：A 知识必学 [中考·达州] 如图6－2，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是( ) A. 热 B. 爱 C. 中 D. 国 例 2 知识必学 解题秘方：本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可. 解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”. 答案：B 知识必学 专 题 线段的计算 2 链接中考 >>线段的计算关键是把握线段的和差关系，重点掌握线段的中点的意义.该考点在中考中一般以选择题的形式出现，在单元考查时，多以解答题的形式出现. 知识必学 [期末·汕头潮南区]已知点B 在线段AC 上，点D 在线段AB 上， (1)如图6－3，若AB=6 cm，BC=4 cm，D为线段AC 的中点，求线段DB 的长度； 例 3 思路引导： 知识必学 解：因为AB=6 cm，BC=4 cm， 所以AC=AB＋BC=6＋4 =1 0(cm). 又因为D 为线段AC 的中点， 所以DC= AC=×10 =5(cm). 所以DB=DC－BC=5 －4 =1(cm). 知识必学 (2)如图6－4，若BD=AB=CD，E 为线段AB 的中点，EC=12 cm，求线段AC 的长度. 思路引导： 知识必学 解：设BD=x cm.因为BD= AB=CD， 所以AB=4BD=4x cm，CD=3BD=3x cm. 所以BC=DC－DB=3x－x=2x(cm). 所以AC=AB＋BC=4x＋2x=6x(cm). 因为E 为线段AB 的中点， 所以AE= AB= ×4x=2x(cm). 又因为EC=1 2 cm，所以6x－2x=1 2 ， 解得x=3.所以AC=6x=6×3=1 8(cm). 知识必学 方法点拨：解线段的计算题关键就是从“形” —— 线段的位置转化为“数” —— 线段的和差.“数”和“形”两者相结合，使要求的线段向已知线段转化. 知识必学 专 题 角的计算 3 链接中考 >> 角的计算关键是把握角的和差关系，重点掌握角的平分线的意义.该考点在中考中一般以选择题的形式出现，在单元考查时，多以解答题的形式出现. 知识必学 如图6－5， ∠ AOB ∶ ∠ BOC=3∶2，OD 平分∠ BOC，OE 平分∠ AOC，且∠DOE=45°，求∠ BOE 的度数. 例 4 解题秘方： 从∠ AOB ∶ ∠ BOC=3 ∶ 2 入手，设∠ AOB=3x，则∠ BOC=2x，根据∠ DOE=4 5°列方程求解. 知识必学 解：依题意，设∠ AOB=3x，则∠ BOC=2x， 所以∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=5x. 因为OE 是∠ AOC 的平分线，OD 是∠ BOC 的平分线， 所以∠ COE= ∠ AOC=x，∠ COD= ∠ BOC=x. 所以∠ DOE= ∠ COE－ ∠ COD=x－x= x. 因为∠ DOE=4 5°，所以x=4 5°，解得x=3 0°. 所以∠ BOE= ∠ COE－ ∠ COB=×3 0°－2×3 0°=1 5°. 知识必学 方法点拨：当已知两个角的度数之比时，通常引入未知数来表示这两个角的度数，然后根据已知条件列方程，通过解方程可使问题得以解决. 知识必学 专 题 余角和补角 4 链接中考 >> 余角和补角是两个角之间的一种数量关系的体现，该考点在中考中一般都是直接考查，以填空题、选择题的形式出现居多，非常简单. 知识必学 (1)[中考· 邵阳]已知∠α=13°，则∠α 的余角是______ . 例 5 思路导引：根据互余和互补的两个角之间的数量关系解决问题. 解：根据互为余角的两个角的和等于90°，得∠α 的余角=9 0°－1 3°=7 7°. 77° 知识必学 (2)[中考·武威]若∠ A=55 °，则∠ A 的补角为( ) A.35° B.45° C.115° D.125° 思路导引：根据互余和互补的两个角之间的数量关系解决问题. 解：根据补角的定义可知，若两个角互补，则这两个角的和等于180°，故∠A 的补角为180°－55°=12 5°. D 知识必学 专 题 转化思想 5 专题解读 >> 转化思想是最基本的一种数学思想，解数学题中处处充满着互相转化，其体现形式可概括为：化繁为简、化难为易、化异为同、化未知为已知的过程.在本章中出现较多的有：化实际问题为几何问题，化几何问题为代数问题等. 方法必会 在一条直线形流水线上，依次有A1，A2，A3，A4，A5 5 个机器人在工作，如图6－6所示，现需要设一个零件供应点，根据实际情况，该供应点只能设在A2 与A4 之间. 设在何处与5 个机器人的距离的和最小？ 例 6 方法必会 解：设该供应点在A3 处与5 个机器人的距离的和最小，这时距离的和为A1A5＋A2A4． 若设该供应点在A2 与A4 之间任意的X 处(非A3 处)，则此时距离的和为A1A5＋A2A4＋A3X. 因为A1A5＋A2A4＋A3X>A1A5＋A2A4， 所以该供应点设在A3 处与5 个机器人的距离的和最小. 方法必会 方法点拨：把机器人看成直线上的一个点，把实际问题转化为与线段有关的数学问题求解. 方法必会 专 题 分类讨论思想 6 专题解读 >> 解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想.需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强. 方法必会 已知线段AB=10 cm，直线AB 上有一点C，且BC= 2 cm，D 是线段AB 的中点，求线段DC的长. 例 7 思路引导 方法必会 解：当点C 在线段AB 的延长线上时， 如图6 －7 . 因为D 是线段AB 的中点， 所以BD= AB= ×10 =5(cm). 所以DC=DB＋BC=5 ＋2 =7(cm). 方法必会 当点C 在线段AB 上时，如图6 －8 . 因为D 是线段AB 的中点， 所以BD= AB= ×10 =5(cm). 所以DC=DB－BC=5 －2 =3(cm). 综上，线段DC 的长为7 cm 或 3 cm. 方法必会 方法点拨：当题目中没有明确点的位置时，应该全面考虑，防止漏解. 本题由于点C的位置不确定，所以要运用分类讨论思想进行分类讨论. 方法必会 专 题 方程思想 7 专题解读 >> 方程的应用和转化思想密不可分.设出合适的辅助未知量，将题中多个未知量用同一个未知量表示出来，即“化异为同”是列出方程的前提. 此外，要列出方程必须正确分析题中的数量关系，不仅要能灵活应用题目中直接给出的数量关系，还要善于挖掘图形中隐含的数量关系. 方法必会 [期末·吉林]若一个角的补角比它的余角的2 倍还多70°，求这个角的度数. 例 8 解题秘方：直接设未知数，然后表示出其补角和余角，根据等量关系直接列方程求解. 解：设这个角的度数为x°，则它的补角 为180°－x°，余角为90°－x°. 由题意，得(180 －x)－2(90 －x)=7 0 ，解得x=70 . 答：这个角的度数为7 0°. 方法必会 方法点拨：重点关注题目中表示数量关系的词语，将语言描述抽象为等量关系，然后列方程解决问题，注意括号的运用. 方法必会 题型 立体图形与平面图形的相互转化 1 下面给出的图形中，绕虚线旋转一周能形成圆锥的是(　　) 1 D 好题必解 [中考·苏州]今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物. 已知礼物外包装从前面看如图所示，则该礼物的外包装不可能是(　　) A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 2 D 好题必解 如图，C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB上. 3 题型 线段的计算 2 (1)图中共有_____条线段； 6 好题必解 (2)图中AD=AC＋CD，BC=AB－AC，类似地，请你再写出两个有关线段的和或差的关系式； (3)若AB=8，DB=1.5，求线段CD的长． ①BC＝CD＋DB，②AD＝AB－DB.(答案不唯一) 好题必解 [期末·北京西城区]已知点C，N 在射线AB上，M是线段AC 的中点. (1)如图，当点C 在线段AB 上时，若点N 是线段CB 的中点，AC=10，BC=14，求线段MN的长； 4 好题必解 好题必解 (2)当点C 在线段AB 的延长线上时，若CN∶BN=1∶2，AC=a，BC=b，直接写出线段MN的长(用含a，b 的式子表示). 好题必解 5 如图，数轴上A，B 两点对应的有理数分别为10 和15，点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 同时从原点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒． 好题必解 (1)当0<t<5 时， 用含t 的式子填空：BP=_____，AQ= _____； (2)当t=2 时，求PQ 的值； 5－t 10－2t 解：由题易知AB＝5，OA＝10. 当t＝2时，AP＜5，即点P在线段AB上， OQ＜10，即点Q在线段OA上，如图所示． 此时PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝(10＋t)－2t＝ 10－t＝8. 好题必解 (3)当PQ= AB 时，求t 的值． 好题必解 [期末·唐山]把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起. 6 题型 角度的计算 3 (1)如图①，当OB平分∠COD 时，求∠AOC和∠AOD度数； 好题必解 解：(因为OB平分∠COD， 所以∠BOC＝∠BOD＝45°. 所以∠AOC＝90°－45°＝45°. 所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋90°＝135°. 好题必解 (2)如图②，当OB 不平分∠COD时， ①直接写出∠ AOC 和∠ BOD 满足的数量关系； ②直接写出∠AOD和∠ BOC 的和是多少度？ 解：∠AOC＝∠BOD. ∠AOD＋∠BOC＝180°. 好题必解 (3)当∠ AOC 的余角的4 倍等于∠ AOD 时，求∠ BOC 是多少度？ 解：因为∠AOD＝4(90°－∠AOC)， 所以90°＋∠AOC＝4(90°－∠AOC)， 解得∠AOC＝54°，所以∠BOC＝36°. 好题必解 已知O 是直线AB 上的一点，∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC. (1)如图① . 7 好题必解 ①若∠ AOC=60°，求∠DOE的度数； 好题必解 ②若∠ AOC=α ，直接写出∠ DOE 的度数(用含α 的式子表示). 好题必解 (2)将图① 中的∠ DOC 绕点O 顺时针旋转至图②的位置，试探究∠DOE 和∠ AOC之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由. 好题必解 好题必解 [新考法 折叠法]阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线. (1)如图①，若∠ AOB=58 °，则∠ BOC=_______. 8 29° 好题必解 (2)折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A 落在点A′，点B 落在点B′. ①如图②，当点B′ 在OA′上时，求∠ COD的度数； 好题必解 解：由折叠知∠AOC＝∠A′OC，∠BOD＝∠B′OD， 所以∠AOA′＝2∠A′OC，∠BOB′＝2∠B′OD. 因为点B′落在OA′上， 所以∠AOA′＋∠BOB′＝180°. 所以2∠A′OC＋2∠B′OD＝180°. 所以∠A′OC＋∠B′OD＝90°，即∠COD＝90°. 好题必解 ②如图③，当点B′在∠ COA′的内部时，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠ A′OB′的度数. 解：由折叠知，∠AOA′＝2∠AOC， ∠BOB′＝2∠BOD. 因为∠AOC＝44°，∠BOD＝61°， 所以∠AOA′＝88°，∠BOB′＝122°. 所以∠A′OB′＝∠AOA′＋∠BOB′－180°＝ 88°＋122°－180°＝30°. 好题必解 解：因为C为线段AB的中点，AB＝8， 所以CB＝AB＝4. 所以CD＝CB－DB＝4－1.5＝2.5. 解：因为M为线段AC的中点， N为线段BC的中点， 所以CM＝AC＝5，CN＝BC＝7. 所以MN＝CM＋CN＝5＋7＝12. 解：线段MN的长为a－b或a＋b. 解：PQ＝|OP－OQ|＝|(OA＋AP)－OQ|＝ |(10＋t)－2t|＝|10－t|. 因为PQ＝AB，所以|10－t|＝2.5， 解得t＝7.5或t＝12.5. 解：因为∠AOC＝60°， 所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－60°＝120°. 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝∠BOC＝×120°＝60°. 又因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－60°＝30°. 解：∠DOE＝α. 解：∠DOE＝∠AOC.理由如下： 因为∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC， 所以∠COE＝∠BOC＝(180°－∠AOC)＝90°－∠AOC. 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－＝∠AOC. $$