6.3.2角的比较与运算　课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

6．3　角 6．3.2　角的比较与运算 第六章 几何图形初步 如图6.3－16，已知∠ BOC=2 ∠ AOC，OD 平分∠ AOB 且∠ AOC=40°，求∠COD的度数. 方法 直接利用和差倍分关系计算角的度数 1 例 8 思路引导： 综合应用创新 解： 因为∠ BOC= 2 ∠ AOC，∠ AOC=40°， 所以∠ BOC=2×4 0°=8 0°. 所以∠ AOB= ∠BOC＋ ∠AOC=80°＋40°=120°. 因为OD 平分∠ AOB，所以∠ AOD= ∠ AOB=60°. 所以∠ COD= ∠ AOD－ ∠ AOC=60°－40°=20°. 综合应用创新 方法点拨 角之间的和差倍分的度数，就是它们度数的和差倍分. 综合应用创新 [期中· 烟台莱州市]下列各小题中，都有OE 平分∠ AOC，OF 平分∠ BOC． 方法 利用整体思想求角的度数 2 思路引导： 例 9 综合应用创新 (1)如图6.3－17 ①， 若点A，O，B 在一条直线上，∠ EOF=______ . 解：因为OE 平分∠ AOC，OF 平分∠ BOC， 所以∠ COE= ∠ AOC，∠ COF= ∠ COB. 又因为∠ AOB ＝ 180°，所以∠EOF=∠COB＋ ∠AOC= (∠BOC＋ ∠AOC)=∠ AOB ＝ 9 0°. 90° 综合应用创新 (4)如图6.3－17 ③，若OA 在∠ BOC 的内部，∠ AOB 和∠ EOF 还存在上述的数量关系吗？请简单说明理由. 解：存在．理由如下： 因为OF 平分∠ BOC，OE 平分∠ AOC， 所以∠ COF=∠ COB，∠ COE=∠ AOC. 所以∠ EOF= ∠ COF－ ∠ COE=∠ COB－ ∠ AOC=(∠ BOC－ ∠ AOC)= ∠ AOB． 存在 综合应用创新 解题策略 在求角度的过程中，若发现该角分成的几个角的度数无法直接求出(或直接求出非常复杂)，可考虑用整体思想，分析要求的角度整体上与已知的角度存在的数量关系. 综合应用创新 模型解读 双角平分线模型： 双角平分线和型 双角平分线差型 OC 是∠ AOB 内一条射线 OC 是∠ AOB 外一条射线 OD，OE 分别为∠ AOC， ∠ BOC 的平分线 ∠ DOE= ∠ AOB 综合应用创新 [期末· 烟台栖霞市]如图6.3－18，已知∠ AOC ∶∠BOC=1∶3，∠AOD：∠BOD=5∶7，若∠COD=15 °，求∠ AOB 的度数． 方法 利用方程思想求角的度数 3 解题秘方：根据∠ AOD－ ∠ AOC= ∠ COD=1 5 ° 设出合适未知数，列方程求解. 例 10 综合应用创新 解：设∠AOD=5x°， 则∠BOD=7x°，∠AOB= ∠AOD＋∠ BOD=12x°. 因为∠ AOC ∶ ∠ BOC=1∶3， 所以∠ AOC=3x °，∠ BOC=9x°. 又因为∠COD= ∠AOD－ ∠ AOC=15°， 所以15=5x－3x.解得x=，所以∠ AOB=12x°=90°． 综合应用创新 解题策略 当很难直接找到已知角和所求角的联系时，可以考虑逆向思维，设出其中关键角的度数，以某个已知角的度数作为“桥梁”，写出相等关系，建立方程模型来解决问题. 综合应用创新 [期末· 新乡长垣市]已知O 是直线AB 上的一点，∠COD是直角，OE 平分∠ BOC． 方法 利用代数思想探究角的规律 4 思路引导： 例 11 综合应用创新 初步尝试：(1)如图6.3－19 ①，若∠ AOC ＝ 30°，求∠DOE的度数. 解：由已知得∠BOC=180°－∠AOC=1 50°， 因为∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC， 所以∠DOE= ∠COD－∠BOC=90°－ ×150°=15°． 综合应用创新 类比探究：(2)在图6.3－19 ①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α 的代数式表示). 解：因为∠DOE=∠ COD－∠ BOC， 所以∠DOE=90 ° －(180 °－∠ AOC)= 90 ° －90°＋ ∠ AOC= ∠ AOC= α ． 综合应用创新 15 解决问题：(3)如图6.3－19 ②，O 是直线AB 上的一点， ∠ COD 是直角，OE 平分∠ BOC，探究∠ AOC 和∠ DOE 的度数之间的数量关系. 综合应用创新 解：因为OE 平分∠ BOC，所以∠ COB=2 ∠ COE，所以∠ AOC=180 ° － ∠ COB= 180 ° －2 ∠ COE=2(90°－ ∠COE).因为∠ COD 是直角，所以∠ DOE=90°－ ∠COE，所以∠ AOC= 2 ∠ DOE． 综合应用创新 方法点拨 所谓“代数思想”，如本题在探究几何问题时，运用角平分线的定义及角的和差关系直接探究较复杂，而将角的和差关系转化为代数中的整式运算去解决则变得很简单，我们把这种解题思想称为“代数思想”. 综合应用创新 易错点 忽视角的位置关系而出错 在平面内，已知∠ AOB=70 °，∠ BOC=40 °，求 ∠ AOC 的度数. 例12 错解：∠AOC= ∠AOB＋∠BOC= 70°＋40°=11 0°. 综合应用创新 正解：分两种情况进行讨论： (1)当∠ BOC 在∠ AOB 的外部时， 如图6.3－20 ①， ∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC=70°＋ 40°=110°； (2)当∠ BOC 在∠ AOB 的内部时， 如图6.3－20 ②， ∠ AOC= ∠ AOB－ ∠ BOC=7 0°－ 4 0°=3 0°. 综上，∠ AOC 的度数为110°或3 0°. 综合应用创新 诊误区： 1. 通常具有公共边的两个不相等的角的位置关系有两种： (1)较小的角在较大的角的内部； (2)较小的角在较大的角的外部. 2.在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形. 综合应用创新 考法 利用角平分线求角的度数 1 [中考·乐山]如图6.3－21，点O在直线AB 上，OD 是∠ BOC 的平分线，若∠ AOC=140 °，则∠ BOD 的度数为_______. 20° 例13 中考风向标 试题评析：本题考查角的运算，掌握平角及角平分线定义是解题关键. 解：因为∠ AOC=140°， 所以∠ BOC=180°－140°=40°. 因为OD 是∠ BOC 的平分线， 所以∠ BOD=∠ BOC=20°. 中考风向标 考法 利用方程思想求角的度数 2 [期末·厦门]如图6.3－22，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠AOD， OE在∠BOD 内， ∠ DOE= ∠BOD，∠COE=75°，求 ∠EOB的度数. 例14 中考风向标 试题评析：本题考查利用方程思想求角的度数，解题的关键是利用图形中角的关系列出方程. 解： 设∠ AOD 的度数为x °，则∠ BOD=(180 －x)°. 因为OC 平分∠ AOD，∠ DOE=∠ BOD， 所以∠ COD=∠ AOD=()°，∠ DOE=()°. 因为∠COE=∠COD＋∠DOE=75°， 所以＋ =7 5 ，解得x=90 . 所以∠ BOD=90°，∠ DOE=30 °. 所以∠ EOB= ∠ BOD－ ∠ DOE=60°. 中考风向标 1.[期末·泰安岱岳区]在∠ AOB 内取一点C，作射线OC，则下列结论一定成立的是(　　) A. ∠ AOC= ∠ BOC B. ∠ AOC ＞∠ BOC C. ∠ BOC ＞∠ AOC D. ∠ AOB ＞∠ AOC D 综合素养训练 2. [期末· 襄阳襄城区]如图，点O 在直线AB 上， 射线OC 平分∠ DOB.若∠ COB=35 °，则∠ AOD 等于(　　) A.110° B.145° C.35° D.70° A 综合素养训练 3. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于A 点处(两块三角尺看成在同一平面内)，下列结论一定成立的是(　　) A. ∠ BAE－ ∠ CAD=90° B. ∠ EAC ≠∠ BAD C. ∠ BAD= ∠ CAE D. ∠ BAE＋ ∠ CAD=90° C 综合素养训练 4.[期末·南京秦淮区]如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α ，β ，γ 三个角的数量关系为(　) A.α ＋β ＋γ =9 0° B.α ＋β －γ =9 0° C.α －β ＋γ =9 0° D.α ＋2β －γ =9 0° C 综合素养训练 5. 如图，已知M是直线AB 上一点，∠ AMC=54 °48′，∠BMD=64 °19′，则∠CMD=_______. 60°53′ 综合素养训练 6. [新考向 知识情境化]如图，把∠APB 放在量角器上，读得射线PA，PB 分别经过刻度117 和153 ，把∠APB 绕点P逆时针方向旋转到 ∠A′PB ′，当∠APB′ = ∠APA ′ 时，射线PA ′ 经过刻度________ . 45 综合素养训练 7. 计算： (1)53°39 ′38 ″＋26°28 ′17 ″； (2)53°25 ′3″×5 . 解：53°39′38″＋26°28′17″＝80°7′55″； 53°25′3″×5＝53°×5＋25′×5＋3″×5＝ 265°＋125′＋15″＝267°5′15″. 综合素养训练 8. 如图，OD，OE 分别是∠ AOC 和∠ BOC 的平分线，且∠ DOE=90 °，请问：A，O，B 三点在同一条直线上吗？为什么？ 综合素养训练 解：A，O，B三点在同一条直线上．理由如下： 因为OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠AOC＝2∠COD，∠BOC＝2∠COE. 因为∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝90°， 所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠DOC＋ 2∠EOC＝2∠DOE＝180°. 所以A，O，B三点在同一条直线上． 综合素养训练 9. 如图，已知∠ AOB=∠ BOC，∠ COD= ∠ AOD= 3 ∠ AOB， 求∠ AOB 和∠ COD 的度数. 综合素养训练 综合素养训练 10. 如图，O 为直线AB 上一点，将直角三角尺的直角顶点放在点O 处. 已知∠ AOC 的度数比∠ BOD 的度数的3倍多10°. 综合素养训练 (1)求∠ BOD 的度数； 解：设∠BOD＝x°，则∠AOC＝3x°＋10°. 因为∠BOD＋∠COD＋∠AOC＝180°， 所以x°＋90°＋3x°＋10°＝180°. 所以x＝20.所以∠BOD＝20°. 综合素养训练 (2)若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠ EOF 的度数．(写出必要的推理过程) 综合素养训练 11. 如图，∠AOB是直角，∠AOC=40 °，ON 是∠ AOC 的平分线，OM 是∠ BOC 的平分线. 综合素养训练 (1)求∠ MON 的大小； 综合素养训练 (2)当锐角∠ AOC 的大小发生改变时，∠ MON 的大小是否发生改变？为什么？ 综合素养训练 综合素养训练 解：设∠AOB的度数为x°. 因为∠AOB＝∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB， 所以∠BOC＝2x°， ∠COD＝∠AOD＝3x°. 因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝360°， 所以x＋2x＋3x＋3x＝360，解得x＝40. 所以∠AOB＝40°，∠COD＝3×40°＝120°. 解：由(1)得∠AOC＝70°，所以∠BOC＝110°. 所以易得∠BOF＝∠BOC＝55°. 易得∠BOE＝∠BOD＝10°. 所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝45°. 解：因为∠AOB是直角，∠AOC＝40°， 所以∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋40°＝130°. 因为OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，所以∠MOC＝∠BOC＝65°，∠NOC＝∠AOC＝20°， 所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝65°－20°＝45°. 解：当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．理由如下： 易得∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠BOC－∠AOC＝(∠BOC－∠AOC)＝∠AOB.因为∠AOB是直角，度数不改变，所以∠MON＝∠AOB＝45°，不发生改变． $$