6.3.2角的比较与运算 课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

6．3　角 6．3.2　角的比较与运算 第六章 几何图形初步 知识点 角的大小比较 知1－讲 1 方法 具体操作 示例 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小 如量得∠ AOB=36°，∠ ECF=60°，则∠ AOB ＜∠ ECF 感悟新知 知1－讲 方法 具体操作 示例 叠合法 把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，另一边放在叠合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 度量法是从“数”的角度比较大小，叠合法是从“形”的角度比较大小. 2.比较角的大小也可用估测法：直接通过观察，比较角的大小，此方法较为直观，但不精准，仅适用于角度差别较大的角的大小比较. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 使用叠合法比较角的大小时要注意两点： (1)重合，即顶点重合，一条边重合； (2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 感悟新知 知1－练 例 1 根据图6.3－11，完成下列操作： 解题秘方：利用角的两种比较大小的方法比较角的大小. 感悟新知 知1－练 (1)比较∠FOD与∠BOD的大小； 解：∠ FOD 与∠ BOD 有重合边和重合顶点，且射线OF 在∠ BOD 的内部，根据叠合法可知∠ FOD< ∠ BOD. 感悟新知 知1－练 (2)比较∠AOD与∠BOD的大小； 解：由图可知，∠ AOD 是钝角，∠ BOD 是锐角， 所以∠ AOD> ∠ BOD. 感悟新知 知1－练 (3)借助量角器比较∠ AOE 与∠DOF的大小. 解：用量角器量得∠ AOE=3 0°，∠ DOF=3 0°， 所以∠ AOE= ∠ DOF. 感悟新知 知1－练 方法点拨：比较角的大小的方法：用叠合法比较角的大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧．两边都不重合，或有一边重合但另—边在重合边的异侧的两角，可通过度量法比较大小. 感悟新知 知1－练 1-1. 如图，用同样大小的三角板比较∠ A 和∠ B 的大小，下列判断正确的是(　　) A．∠ A ＞∠ B B．∠ A ＜∠ B C．∠ A ＝∠ B D．没有量角器，无法确定 B 感悟新知 知2－讲 知识点 角的和、差 2 文字描述 数学语言 图示 角的和 ∠ AOC 是∠ AOB与∠ BOC 的和 ∠ AOC= ∠ AOB＋∠ BOC 角的差 ∠ AOB 是∠ AOC与∠ COB 的差 ∠AOB= ∠ AOC－∠ COB 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 2. 在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60 要进位，相减时要借1 当60. 感悟新知 知2－练 计算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″. 解题秘方：利用有理数的运算法则，结合角的单位的换算方法和进制进行计算. 例 2 解：(1)2 7°2 6′＋5 3°4 8 ′=8 0°74′=81°14′. (2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″= 10°4 1′5 4″. 感悟新知 知2－练 2－1.计算： (1)33 °16′28 ″ ＋24°46′37″． (2)180°－(35°54′＋21°33′)． 解：33°16′28″＋24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″； 180°－(35°54′＋21°33′)＝179°60′－57°27′＝122°33′. 感悟新知 知2－练 如图6.3－12，回答下列问题. 解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系. 例 3 感悟新知 知2－练 (1)∠ AOC 是哪两个角的和？ 解：∠ AOC= ∠ AOB＋ ∠ BOC. (2)∠ AOB 是哪两个角的差？ ∠ AOB= ∠ AOD－ ∠ BOD= ∠ AOC－ ∠ BOC. 感悟新知 知2－练 (3)如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠DOB相等吗？为什么？ 解：相等. 因为∠ AOB= ∠ COD， 所以∠ AOB＋ ∠ BOC= ∠ COD＋ ∠ BOC， 即∠ AOC= ∠ DOB. 感悟新知 知2－练 3-1.在所给的：① 15 °，②65°，③75°，④135°，⑤ 145°角中，可以用一副三角尺画出来的是( ) A. ②④⑤ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④ D 感悟新知 知2－练 如图6.3－13，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放 在一起. 解题秘方：此题考查角的计算问题，关键是记忆三角尺各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差. 例 4 感悟新知 知2－练 (1)若∠ DCE=35°，求∠ ACB 的度数； 解：由题意得，∠ ACD=9 0°，∠ ECB=9 0°. 因为∠ DCE=35°，∠ ACE= ∠ ACD－∠ DCE. 所以∠ ACE=55°.又因为∠ ACB= ∠ ACE＋ ∠ ECB， 所以∠ ACB=55°＋90°=145°. 感悟新知 知2－练 (2)若∠ ACB=140°，求∠ DCE 的度数. 解：因为∠ ACB= ∠ DCB＋ ∠ ACD=140°， 所以∠DCB=140°－90°=50°. 又因为∠DCE= ∠ECB－ ∠ DCB， 所以∠DCE=90°－50°=40°. 感悟新知 知2－练 4-1.如图，已知∠ AOC=∠ BOD=90°，∠ AOD=150 °，则∠ BOC 的度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° A 感悟新知 知3－讲 知识点 角平分线 3 1. 角平分线 文字语言 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线 图形语言 几何语言 ∠ AOC= ∠ BOC= ∠ AOB 或∠ AOB=2 ∠ AOC=∠ BOC 判定方法 若∠ AOC= ∠ BOC= ∠ AOB， 则OC 是∠ AOB 的平分线 感悟新知 知3－讲 2. 角的n 等分线 类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n 个角，叫作角的n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 角平分线的“三要素”： (1)是从角的顶点引出的射线； (2)在角的内部； (3)将已知角平分. 2.角的平分线只有一条，而角的n 等分线有(n－1)条. 感悟新知 知3－练 如图6.3－14，OC 是∠ AOD 的平分线，OE 是∠ BOD的平分线. 例 5 解题秘方：利用角平分线的定义及角的和差关系，将要求的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数量关系进行解答. 感悟新知 知3－练 (1)如果∠ AOB=130°，那么∠ COE 是多少度？ 解：因为OC 平分∠ AOD，所以∠ DOC=∠ AOD. 因为OE 平分∠ BOD，所以∠ DOE=∠ BOD. 所以∠ COE= ∠ DOC＋ ∠ DOE= (∠ AOD＋ ∠ BOD)=∠ AOB= ×130°=65°. 感悟新知 知3－练 (2)在(1)的条件下，如果∠DOC=20 °，那么∠ BOE 是多少度？ 解：由(1)可知∠ COE=6 5°.因为∠DOC=20°， 所以∠DOE= ∠ COE－ ∠DOC=45°. 因为OE 平分∠ BOD，所以∠ BOE= ∠ DOE=4 5°. 感悟新知 知3－练 5-1.[期末·北京东城区]如图，OC 是∠ AOB 的平分线，∠ COD=20°. 感悟新知 知3－练 (1)若∠ AOD=30 °，求∠ AOB 的度数； 解：因为∠COD＝20°，∠AOD＝30°， 所以∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝20°＋30°＝50°. 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOB＝2∠AOC＝100°. 感悟新知 知3－练 (2)若∠BOD =2 ∠ AOD，求∠AOB的度数. 感悟新知 知3－练 如图6.3－15，O 为直线AB 上一点，∠ AOC=50°，OD平分∠ AOC，∠EOD=90° 例 6 感悟新知 知3－练 (1)求∠BOD的度数； 解题秘方：利用∠ BOD= ∠ BOC＋ ∠ DOC 求解即可； 解：因为∠ AOC=5 0°，OD 平分∠ AOC， 所以∠ DOC=∠ AOC=25°， ∠ BOC=180°－ ∠ AOC=180°－50°=130°. 所以∠ BOD= ∠ BOC＋ ∠ DOC=130°＋25°=155°. 感悟新知 知3－练 (2)小明发现OE 平分∠ BOC，请你通过计算说明理由. 解题秘方：分别求出∠ COE 和∠ BOE 的度数即可. 解：因为∠ DOE=90°，∠ DOC=25°， 所以∠COE= ∠DOE－∠ DOC=90°－25°=65°. 又因为∠BOE= ∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°， 所以∠ COE= ∠ BOE，即OE 平分∠ BOC. 感悟新知 知3－练 6-1.如图，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4，则下列结论正确的有 ( ) ① AD 平分∠ BAE；② AF 平分∠ EAC； ③ AE 平分∠ DAF；④ AF 平分∠ BAC； ⑤ AE 平分∠ BAC. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 C 感悟新知 知3－练 计算： (1)62°24′17″×4； (2)107°45′÷5． 例 7 解：62°24′1 7 ″×4 =248°96′6 8 ″ =249°37′8″. 107°45′÷5=(107 °÷5)＋(45′÷5)= 21.4°＋9′=21°＋0.4×6 0′＋9′=21°33 ′． 感悟新知 知3－练 7-1.计算： (1)24 ° 31 ′×4 －62°10′； (2)64 ° 15 ′÷5＋12°25′×3. 解：原式＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′； 原式＝12°51′＋37°15′＝50°6′. 感悟新知 角的比较与运算 角的 比较 与运 算 角的比较 角的运算 度量法 叠合法 角的和差 角的平分线 课堂小结 解：设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x， 所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝3x. 因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠AOB＝x. 所以∠COD＝x－x＝20°，解得x＝40°. 所以∠AOB＝120°. $$