第4章　相似三角形　单元复习试卷　2024—2025学年浙教版数学九年级上册

第4章《相似三角形》单元复习试卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1． 若 ，则 =（ ） A． B． C． D． 2． 如图，直线，直线AC和直线DF在上的交点分别为：A，B，C， D，E，F. 已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝（ ） A．5.4 B．5 C．4 D．3.6 3． 已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ） A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm 4 . 已知，直角坐标系中，点，点，以为位似中心，按比例尺把缩小， 则点的对应点的坐标为（ ） A．或 B．或 C． D． 5． 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A． B． C． D． 6． 如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（ ） A． B． C． D． 7． 如图，在中，，且，被、分成三部分， 且三部分面积分别为，，，则 A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9 8． 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置， 设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上． 已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m， 则树高AB为（ ） A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m 9． 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形， 则a，b，c满足的表达式为（ ） A． B． C． D． 10． 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF． 其中正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．① 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11． 如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为______ 12 . 如图，在中，点为上一点，连接.若再添加一个条件，使， 则需添加的一个条件是 . 13． 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， △ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1， 使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ． 14． 如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 15． 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上． 若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ． 16． 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕； 再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接． 若CF＝3，则＝ ． 3、 解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（1）若，则______． （2）若，且，求的值； 18 . 如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，点F为线段上一点，且． 求证． 19． 在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1) 以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为， 放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2) 在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标． （用含a，b的代数式表示） 20． 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发， 经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？ 21 . 如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接DE， 过点E作EF⊥ED交AB于点G．交AD延长线于点F． （1）求证：△ECD∽△GAF； （2）若AB＝4，求EF的长． 21． 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1)求证：△AEF∽△ABC； (2)如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 24． 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， 点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s； 点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ． 若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC； （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？ 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （1） 如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t， 使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 参考解答 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．【答案】C 【分析】根据合分比性质求解. 【详解】 . 故选C. 2.【答案】A 【分析】由AB＝6，BC＝4，可求AC=10，由，可得，即，可求DE即可． 【详解】解：∵AB＝6，BC＝4， ∴AC=AB+BC=6+4=10， ∵， ∴， ∵DF＝9， ∴， ∴， 故选A， 3．【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则，代入数据即可得出的长度． 【解析】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：B 4 .【答案】A 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】点，以为位似中心，按比例尺把缩小 点的对应点的坐标为或 即或 故选：A． 5．【答案】D 【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可． 【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，． A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误； C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确． 故选D． 6．【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而推得，再证明，根据相似三角形的性质，即得答案． 【解析】四边形是平行四边形， ，， E是的中点， ， ， ， ， ． 故选C． 7.【答案】C 【分析】先判断出△ADF∽△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可. 【详解】解：∵DF∥EG∥BC， ∴△ADF∽△AEG∽△ABC， 又∵AD=DE=EB， ∴三个三角形的相似比是1：2：3， ∴面积的比是1：4：9， 设△ADF的面积是a，则△AEG与△ABC的面积分别是4a，9a， ∴S2=3a，S3=5a，则Sl：S2：S3=1：3：5． 故选C. 8.【答案】D 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似, 求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB． 【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m， ∴由勾股定理求得DE=40cm， ∴， ∴BC=15米， ∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）． 故答案为16.5m． 9.【答案】B 【分析】根据在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论． 【详解】解：∵图中四个四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 10.【答案】C 【分析】由矩形ABCD和BE⊥AC，可得∠ABC＝∠AFB＝90°，进而可得△AEF∽△CAB；由E是AD边的中点，可得AE＝DE＝AD＝BC，根据AD∥BC，可得，则CF＝2AF；过D作DMBE交AC于N，则四边形BMDE是平行四边形，则BM＝DE＝BC，可得CN＝NF，进而可得DF＝CD；根据△AEF∽△CBF，得到，求得S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，即可求得S四边形CDEF＝S△ABF． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵BE⊥AC， ∴∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝AD＝BC， ∵ADBC， ∴∠FAE＝∠FCB，∠EAF＝∠BCF， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∴CF＝2AF，故②正确， 如图，过D作DMBE交AC于N， ∵DEBM，BEDM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝BC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC，DMBE， ∴DN⊥CF， ∴ DN垂直平分CF， ∴DF＝CD，故③正确； ∵△AEF∽△CBF， ∴， ∴S△AEF＝S△ABF，， ∴S△ABF＝2 S△AEF，S△CBF＝4 S△AEF， ∴ S△ABC＝6S△AEF＝3 S△ABF＝S矩形ABCD ∴ S△ABF＝S矩形ABCD， ∴S△AEF＝S矩形ABCD， ∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD， ∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④， 故选：C． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．【答案】4 【分析】根据相似三角形有对应边成比例，代入各数据可得答案. 【详解】解：由题意知: DE∥BC△ABC∽△ADE, ,即， 可得AB=4， 故答案为4 12 . 【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【解析】解：①当∠ACP=∠B，∠A=∠A， 可得△APC∽△ACB，故可添加∠ACP=∠B； ②当∠APC=∠ACB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB， 故可添加∠APC=∠ACB； ③当AP：AC=AC：AB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB， 故可添加AP：AC=AC：AB； 故答案为∠ACP=∠B 或 ∠APC=∠ACB 或 AP ：AC=AC ：AB． 13.【答案】图见解析，（4，2）或（﹣4，﹣2）． 【详解】试题分析：把A、B、C的横纵坐标分别乘以2或﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可． 试题解析：如图，如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所，点B的对应点B1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）． 14．【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 15．【答案】-4 【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝2，然后用待定系数法求解即可． 【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D， 设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵∠DBO+∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA． ∴， ∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n， 因为点A在反比例函数y＝的图象上， ∴mn＝1， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B点的坐标是(﹣2n，2m)， ∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4， 故答案为﹣4． 16.【答案】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， =． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例的性质， （1）由，得，，再代入，即可得解； 解题的关键是掌握比例的性质：比例的内项之积与外项之积相等． （2）设，然后用含的代数式表示出、、， 再代入求出的值，即可得解； 【解析】解：（1）∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴的值为； 18.【答案】见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到和， 进一步得到和，即可证明相似． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用位似变换的性质，，， 再结合，，，即可分别作出B，C的对应点，， 再连接即可作答； （2）探究坐标变化规律，可得结论． 【解析】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：因为，，且由（1）的图可知，， 所以变化后点的对应点的坐标为． 20.【答案】经过0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似． 【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑：当∠BPQ=∠C，∠B=∠B时，△PBQ∽△CBA；当∠BPQ=∠A，∠B=∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似， 由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x， 分两种情况考虑： 当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA， ∴， 即 解得：x＝0.8， 当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似； 当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC， ∴，即， 解得：x＝2， 当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似． 综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似． 21 .【答案】（1）见解析；（2）EF＝4 【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； （2）利用勾股定理求得线段DE的长度，再根据△EFD∽CDE得出比例式即可求得EF的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠BAD＝∠B＝90°． ∴∠FAG＝90°． ∴∠FAG＝∠C． ∵EF⊥ED， ∴∠BEG+∠CED＝90°． ∵∠BGE+∠BEG＝90°， ∴∠BGE＝∠CED． ∵∠BGE＝∠FGA， ∴∠FGA＝∠CED， ∴△ECD∽△GAF． （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝AB＝4． ∵点E为BC中点， ∴BE＝EC＝2． , 由（1）知：△ECD∽△GAF， ∴∠F＝∠CDE． ∵EF⊥ED， ∴∠FED＝90°． ∴∠FED＝∠C＝90°． ∴△EFD∽CDE． ∴． ∴． ∴EF＝4． 22.【答案】(1)证明见解析； (2)当时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF， 利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线， 得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】（1）解：（1）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 23．．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB， 然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD． （2） 由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半， 即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD． （3） 易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值． 【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB． ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ADC∽△ACB． ∴ 即AC2=AB•AD． （2）证明：∵E为AB的中点 ∴CE=AB=AE ∴∠EAC=∠ECA． ∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD． （3）解：∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE ∴． ∵CE=AB ∴CE=×6=3． ∵AD=4 ∴ ∴． 24.【答案】（1）； （2）y＝﹣t2+6t． （3） 不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分； （4） （4）t＝s 【分析】（1）只要证明△APQ∽△ABC，可得=，构建方程即可解决问题； （2） 过点P作PE⊥AC于E，则有△APE∽△ABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题； （3） 由题意可求Rt△ACB的周长和面积，当线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分， 可得AP+AQ＝×24＝12，可求t的值，代入y与t之间的函数关系式， 可求出y≠12，则不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分； （4） 连接P'P交AC于点O，由△APO∽△ABC，可得=，即=，可得AO＝， 由菱形的性质可得OQ＝OC，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm）， ∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s； 点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s； ∴BP＝t，AQ＝2t，则AP＝10﹣t， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴= ∴= ∴t＝ ∴当t＝s时，PQ∥BC． （2）如图，过点P作PE⊥AC于点E， ∵PE⊥AC，BC⊥AC， ∴PE∥BC， ∴△APE∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴PE＝6﹣t， ∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t． （3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm， ∴△ABC的周长为24cm，△ABC的面积为24cm2， ∵线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分， ∴AP+AQ＝×24＝12， ∴10﹣t+2t＝12， ∴t＝2， 当t＝2时，y＝﹣×4+12≠×24， ∴不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）如图，连接P'P交AC于点O， ∵四边形PQP′C为菱形 ∴PO⊥AC，OQ＝OC， ∴PO∥BC， ∴△APO∽△ABC， ∴=，， ∴=，， ∴AO＝ ， ∵OQ＝OC， ∴AO﹣AQ＝AC﹣AO， ∴2×﹣2t＝8， ∴t＝， ∴当t＝s时，四边形PQP′C为菱形． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$