精品解析：湘教版2023-2024学年八年级数学下册期中模拟考试卷（一）

2023-2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟考试卷（一） 一、单选题 1. 小嘉去电影院观看《长津湖》，如果用表示5排7座，那么小嘉坐在7排8座可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ 　　）． A. （－3，0 ） B. （－3，5 ） C. （－3，－5） D. （3，－5） 3. 如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A. （a，b） B. （﹣a，b） C. （﹣a，﹣b） D. （a，﹣b） 5. 如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为( ) A B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 8. 如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ） A. 13 B. 10 C. 12 D. 5 9. 如图，在中，，，垂足为E，F是的中点，连结 ．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 10. 如图，在正方形中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿路径运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿路径运动，当点与点重合时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C D. 二、填空题 11. 如图，正方形中，点分别在上，连接，请添加一个条件：___________，使． 12. 如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___． 13. 如图在同一平面内的两和的周长相等，且，，则_________°． 14. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 15. 如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝_____度． 16. 如图，在中，，，，将绕点A旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，，延长交于点F，则的长为________． 三、解答题 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 18. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，那么请你判断阴影部分图形的形状，并说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，，轴于点，将线段沿轴负方向平移个单位长度，平移后得到线段．在四边形中，点从点出发，沿方向移动，移动到点停止．若点的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． （1）点的坐标为_________，线段与线段的位置关系是_________； （2）当点在线段上运动时，若三角形的面积为，则此时_________； （3）当点在线段上运动时， ①直接写出点在运动过程中的坐标为_________(用含的式子表示)； ②若四边形的面积是四边形面积的，求点的横坐标． 四、实践探究题 20. 上小学时，我们已学过三角形三个内角和为．定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则________； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”________．（填“是”或“否”） ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则________． 21. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 五、综合题 22. 如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且．求证： （1）是等腰三角形； （2）点D在的角平分线上． 23. 如图，在矩形中，对角线相交于点O． （1）若，求证：矩形是正方形； （2）请添加一个异于（1）条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 24. 如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形ABCD是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年初中数学湘教版八年级下学期期中模拟考试卷（一） 一、单选题 1. 小嘉去电影院观看《长津湖》，如果用表示5排7座，那么小嘉坐在7排8座可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知“坐标的第一个数表示排，第二个数表示座”，然后用坐标表示出小嘉的位置即可． 【详解】解：∵用表示5排7座 ∴坐标的第一个数表示排，第二个数表示座 ∴小嘉坐在7排8座可表示出（7,8）． 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标的应用，根据题意得知“坐标的第一个数表示排，第二个数表示座”是解得本题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ 　　）． A. （－3，0 ） B. （－3，5 ） C. （－3，－5） D. （3，－5） 【答案】B 【解析】 【分析】按照纵坐标不变，横坐标变为相反数的要求计算即可． 【详解】∵点（3，5）关于y轴对称， ∴对称点的坐标为（－3，5 ）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标系中关于y轴的对称问题，熟练掌握对称的特点和计算的方式是解题的关键． 3. 如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 4. 如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A. （a，b） B. （﹣a，b） C. （﹣a，﹣b） D. （a，﹣b） 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】∵△AOB与△A'OB关于x轴对称， ∴点P（a，b）关于x轴的对称点为（a，-b）， ∴点P的对应点Q的坐标是（a，-b）． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 5. 如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作EH⊥CF于H，根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出，则． 【详解】如图所示，过点E作EH⊥CF于H， 由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF， ∵点E是BC中点，， ∴BE=CE=EF=， ∴△EFC为等腰三角形， ∴CF=2FH=2CH， ∴∠EFC=∠ECF，AE=， ∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF， ∴∠ECF=∠AEB， ∴==， ∴， ∴CF=2CH=， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB． 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点关于轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键．根据点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， 故选：B 7. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则说法错误，故A选项不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，则说法错误，故B选项不符合题意； C、对角线相等且平分的四边形是矩形，则说法错误，故C选项不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形，则说法正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 8. 如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ） A. 13 B. 10 C. 12 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG． 【详解】连接BD，交AC于点O， 由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点， ∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD， ∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24， ∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD， 又∵ABCD，EFBD ∴DEBG，BDEG 在四边形BDEG中， ∵DEBG，BDEG ∴四边形BDEG是平行四边形 ∴BD=EG 在△COD中， ∵OC⊥OD，CD=13，CO=12 ∴OD=OB=5 ∴BD=EG=10 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，，垂足为E，F是的中点，连结 ．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出． 利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：是的中点， ， 在中，， ， ， ∵， ， ， ，故①正确； 延长，交延长线于M． 四边形是平行四边形， ∴， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； 设，则， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿路径运动，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿路径运动，当点与点重合时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分如图1所示，当点E在上时，过点E作于G，如图2所示，当点E在上，点F在上时，两种情况分别求出y与x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当点E在上时，过点E作于G， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∴； 如图2所示，当点E在上，点F在上时， 由题意得，， ∴， ∴ ， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，正方形中，点分别在上，连接，请添加一个条件：___________，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由四边形为正方形，，，添加一个条件，证明． 【详解】添加一个条件为： ∵四边形为正方形， ∴， 在与中 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是根据相关性质定理，进行证明． 12. 如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___． 【答案】4 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2MN＝6，由平行四边形的性质可得AD＝6，由线段关系可求解． 【详解】解：∵M、N分别是BE、CE的中点， ∴BC＝2MN＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6， ∵AE＝2ED， ∴ ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的中位线定理是解题的关键． 13. 如图在同一平面内两和的周长相等，且，，则_________°． 【答案】25 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，进而求出，再根据与的周长相等，推出，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵与中，，， ∴由平行四边形的性质可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵与的周长相等， ∴， ∴， 故答案为：25． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出的度数、证明是等腰三角形是解题的关键． 14. 如图，长方形OABC放在数轴上，，，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵点A表示的数是2， ∴点P表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键． 15. 如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝_____度． 【答案】135． 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°-∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数． 【详解】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵AB＝AG，∠AGB＝70°， ∴∠BAG＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAG＝90°﹣∠BAG＝50°， ∴∠AGD＝（180°﹣∠DAG）＝65°， ∴∠BGD＝∠AGB+∠AGD＝135°． 故答案为135． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，将绕点A旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接，，延长交于点F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等．设，则，由旋转的性质及等腰三角形的性质可证，从而可得，再证，从而可得，即可求解． 【详解】解：，，， ， 由旋转得：， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 三、解答题 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是7． 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， 解得． ∴这个多边形的边数是7． 18. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，那么请你判断阴影部分图形的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】因为AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，AB共边，所以Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），则有∠BAD=∠ABC，故阴影部分图形的形状可判断． 【详解】等腰三角形, 理由为： ∵AC⊥BC,AD⊥BD, ∴∠C=∠D=90°, 又∵AD=BC,AB=BA ∴△ACB≌△ BAD, ∴∠CBA=∠DAB ∴OB=OA ∴△AOB是等腰三角形 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，题目较为简单，掌握判定定理是关键. 19. 在平面直角坐标系中，为原点，点的坐标为，，轴于点，将线段沿轴负方向平移个单位长度，平移后得到线段．在四边形中，点从点出发，沿方向移动，移动到点停止．若点的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． （1）点的坐标为_________，线段与线段的位置关系是_________； （2）当点在线段上运动时，若三角形的面积为，则此时_________； （3）当点线段上运动时， ①直接写出点在运动过程中的坐标为_________(用含的式子表示)； ②若四边形的面积是四边形面积的，求点的横坐标． 【答案】（1）；平行； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律和性质即可求解； （2）①根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程即可； ②先求出点的纵坐标，再根据点在上从点运动到点时，运动时间为，表示出横坐标，即可求解； ③根据四边形的面积是四边形面积的得到关于的方程，求出，再根据点的坐标意义即可求出点的横坐标． 【小问1详解】 解：如图，∵点沿轴方向向左平移了个单位， ∴点的坐标为，线段与线段的位置关系是平行； 故答案为：，平行； 【小问2详解】 ∵点在上， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 ①∵点在线段上运动， ∴点纵坐标为， 当点在上从点运动到点时，运动时间为， ∴点横坐标为， ∴点坐标为； 故答案为：； ②∵四边形的面积是四边形面积的， ∴， ∴， ∴此时点的横坐标为， 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，点的坐标的特点，实数的运算，一元一次方程的实际应用，理解平面直角坐标系点的坐标特点是解题关键． 四、实践探究题 20. 上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为．定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则________； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”________．（填“是”或“否”） ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则________． 【答案】（1） （2）①是；②或 【解析】 【分析】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分，掌握如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”是解题关键． （1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出即可； （2）分两种情况，当时，先求出，可得，当时，可求，根据得即可． 【小问1详解】 是“准互余三角形”，，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵AD是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 故答案为：是； ②点E是边BC上一点，是“准互余三角形”， ∴当时， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴． 故答案为或． 21. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可知； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 五、综合题 22. 如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且．求证： （1）是等腰三角形； （2）点D在的角平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点D是的边上的中点，可得，根据直角三角形全等的判定定理，可证得，可得，即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据角平分线的判定定理，即可证得． 【小问1详解】 证明：是边上的中点， ， 又，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 证明：， ， 又，， ∴点D在的角平分线上． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的判定，证得是解决本题的关键． 23. 如图，在矩形中，对角线相交于点O． （1）若，求证：矩形是正方形； （2）请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，即可证明结论； （2）根据正方形的判定添加条件即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．第2问是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加等． 24. 如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到两组角对应相等，由中点的性质以及线段的和差得到一组对边相等，利用判定． （2）由对角线互补判定四边形是平行四边形，进而由对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵O为的中点，即，， ∴，即， 在和中， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴，即， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理与性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$