第二十三章 旋转 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十三章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 文化情境·传统文化 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一, 距今已经有三千多年的历史,剪纸文化起源于人民的社会生活, 蕴含了丰富的文化历史信息,表达了广大民众的社会认识,生活 理想和审美情趣. 下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对 称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 2. 下列描述中心对称的特征的语句中,其中正确的是(　 　 ) A. 成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段不一定经过对 称中心 B. 成中心对称的两个图形中,对称中心不一定平分连接对称点 的线段 C. 成中心对称的两个图形中,对称点的连线一定经过对称中 心,但不一定被对称中心平分 D. 成中心对称的两个图形中,对称点的连线一定经过对称中 心,且被对称中心平分 3. 如图,将 Rt△ABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 到 Rt△DEC,连接 AD,若∠B= 55°,则∠ADE 等于(　 　 ) A. 5° B. 10° C. 15° D. 20° 第 3 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,将点 A(4,3)按逆时 针方向旋转 90°,得到点 A′,则点 A′的坐标为(　 　 ) A. (4,-3) B. ( -4,1) C. ( -3,4) D. (3,-4) 5. 如图,一块含 30°角的直角三角板 ABC 绕点 C 顺时针旋转到 △A′B′C,当 B,C,A′在一条直线上时,三角板 ABC 的旋转角 度为(　 　 ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 6. 已知 a<1 且 a≠0,则点(-a2,-a+1)关于原点的对称点在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图,在△ABC 中,AB = 8,AC = 6,∠BAC = 30°,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB1C1,连接 BC1,则下列结论错误的 是(　 　 ) A. AC=AC1 B. ∠CAC1 = 60° C. AB1 = 8 D. BC1 = 12 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,将△ABC 绕点 C( -1,0)旋转 180°得到△A′B′C,设点 A 的 坐标为(a,b),则点 A′的坐标为(　 　 ) A. ( -a,-b) B. ( -a-2,-b) C. ( -a-1,-b+1) D. ( -a,-b-2) 9. 如图,将 Rt △ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 Rt△ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上,若 DE= 12,∠B= 60°,则点 E 与点 C 之间的距离为(　 　 ) A. 12 B. 6 C. 6 2 D. 6 3 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD= 60°,AB= 3 ,点 A,C 在直线 y=x 上,且点 A 的坐标为( 2 2 , 2 2 ) .将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋 转,每次旋转 45°,则第 85 次旋转结束时,点 C 的坐标为(　 　 ) A. ( 2 ,0) B. (0,2) C. (0, 2 ) D. (2,0) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知,点 A(a,1)和点 B(3,b)关于原点 O 对称,则 a+b 的值为 　 　 　 　 . 12. 如图,将长方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 25°,得到长方形 AB1C1D1,B1C1 交 CD 于点 M,则∠CMC1 = 　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 13. 如图,在△ABC 中,AB= 6,将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为　 　 　 　 . 14. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 3,CB= 5,点 D 是 CB 边上 的一个动点,将线段 AD 绕着点 D 顺时针旋转 90°,得到线段 DE,连接 BE,则线段 BE 的最小值等于　 　 　 　 . 15. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠B = 30°,点 D、E 分别为 AB、AC 上的点,且 DE∥BC. △ADE 绕点 A 逆时针旋转 至点 B、A、E 在同一条直线上,连接 BD、EC. 下列结 论:①△ADE 的旋转角为 120°; ②BD =EC;③BE = AD+AC; ④ DE⊥AC,其中正确的有　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标都 在格点上,A 点坐标为( -3,1) . ( 1 ) △A1B1C1 与 △ABC 关 于 原 点 O 成 中 心 对 称, 请 画 出△A1B1C1 . (2) P(a,b)是△ABC 内一点,将△ABC 平移后点 P 的对称点 P′(a+2,b-6),请画出平移后的△A2B2C2 . (3)将△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°得到△A3B3C3, 请画出△A3B3C3 . 17. (8 分)如图,△ABC 是等边三角形,△ABP 旋转后能与△CBP′ 重合. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角度是多少度? (3)连接 PP′后,△BPP′是什么三角形? 简单说明理由. ·9· 18. (9 分)如图所示,正方形网格中,△ABC 为格点三角形(即三角 形的顶点都在格点上) . (1)把△ABC 沿 BA 方向平移后,点 A 移到点 A1,在网格中画出 平移后得到的△A1B1C1; ( 2 ) 把 △A1B1C1 绕 点 A1 按 逆 时 针 方 向 旋 转 90°, 得 到 △A1B2C2,在网格中画出旋转后的△A1B2C2 ; (3)连接 C1C2,请判断△A1C1C2 的形状,并说明理由. 19. (9 分)如图,AC⊥BC,垂足为 C,AC= 6,BC= 4 3 ,将线段 AC 绕 点 C 按顺时针方向旋转 60°,得到线段 CD,连接 AD,DB. (1)求线段 BD 的长度; (2)求四边形 ACBD 的面积. 20. (10 分)如图,将△ABC 绕其顶点 A 顺时针旋转 α( 0° <α< 360°)后得到△ADE. (1)△ABC≌　 　 　 　 ; (2)当 α= 20°时,∠BAD 的度数是　 　 　 　 ; (3)若∠C= 35°,∠B= 45°,求当 α 为多少度时,点 E、A、B 在同 一条直线上. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC = 1,∠BAC = 45°,△AEF 是 由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的,连接 BE,CF 交于 点 D. (1)求证:BE=CF; (2)当四边形 ACDE 为菱形时,求 BD 的长. 22. (10 分)如图,Rt△ABC 中,∠C = 90°,把 Rt△ABC 绕着 B 点逆 时针旋转,得到 Rt△DBE,点 E 在 AB 上. (1)若∠BDA= 70°,求∠BAC 的度数; (2)若 BC= 8,AC= 6,求△ABD 中 AD 边上的高. 23. (10 分)在△ABC 中,∠ACB= 90°,点 P 为△ABC 内一点. (1)如图 1,连接 PB,PC,将△BCP 沿射线 CA 方向平移,得到 △DAE,点 B,C,P 的对应点分别为点 D,A,E,连接 CE. 如果 BP ⊥CE,BP= 3,AB= 6,则 CE= 　 　 　 　 ; (2)如图 2,连接 PA,PB,PC,当 AC = BC = 8 时,求 PA+PB+PC 的最小值. ·01· +3),则 D(m, 3 4 m+3), (5 分) ∴ PD = - 3 8 m2 - 3 4 m+ 3 - ( 3 4 m+ 3) = - 3 8 m2 - 3 2 m = - 3 8 (m+2) 2 + 3 2 , (7 分) ∴ 当 m= -2 时,PD 最大,最大值是 3 2 . (8 分) (3)存在点 G,G 点的坐标为(1,15 8 )或(3,- 21 8 )或( -5, -21 8 ) . (11 分) 【解析】∵ y= - 3 8 x2 - 3 4 x+3,∴ y = 0 时,x = -4 或 x = 2, ∴ C(2,0) . 由(2)可知 D(-2, 3 2 ),抛物线的对称轴为 x = -1,设 G(n,- 3 8 n2 - 3 4 n+3),Q(-1,p),CD 与 y 轴交 于点 E,E 为 CD 的中点,①当 CD 为对角线时,n+(-1) = 0,∴ n= 1,此时 G(1,15 8 ) . ②当 CD 为边时,若点 G 在 点 Q 上边,则 n+4 = -1,则 n= -5,此时点 G 的坐标为(- 5,-21 8 ) . 若点 G 在点 Q 下边,则-1+4 = n,则 n= 3,此时 点 G 的坐标为(3,-21 8 ) . 综上所述,G 点的坐标为(1, 15 8 )或(3,-21 8 )或(-5,-21 8 ) . 第二十三章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B C A D D B D B 1. D　 2. D 3. B 　 【解析】由旋转得 AC = CD,∠CED = ∠B = 55°,∴ △ACD 是等腰直角三角形,∴ ∠CAD = 45°,∴ ∠ADE = ∠CED-∠CAD= 55°-45° = 10°. 故选 B. 4. C　 5. A　 6. D　 7. D　 【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 △AB1C1,∴ AC = AC1 = 6,∠CAC1 = 60°,AB = AB1 = 8,∴ ∠BAC1 = 90°,∴ BC1 = AB2 +C1A 2 = 64+36 = 10. 故选 D. 8. B　 【解析】 设 A′的坐标为 (m, n),∵ A 和 A′关于点 C(-1,0)对称. ∴ m +a 2 = - 1,n +b 2 = 0,解得 m = -a- 2,n = -b. 点 A′的坐标(-a-2,-b) . 故选 B. 9. D　 【解析】连接 EC,∵ 由旋转得 DE =BC = 12,AD = AB, AC=AE,∠DAB= ∠EAC. ∵ ∠B = 60°,∴ ∠ACB = 30°,∴ AB= 1 2 BC = 6,AC = CB2 -AB2 = 6 3 . ∵ AD = AB,∠B = 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∴ ∠DAB = 60° = ∠EAC,∴ △ACE 是等边三角形,∴ AC=AE=EC= 6 3 . 故选 D. 10. B　 【解析】 ∵ 点 A 的坐标为( 2 2 , 2 2 ),∴ OA = 1. ∵ ∠BAD= 60°,四边形 ABCD 是菱形,∴ BD⊥AC,△ABD 是等边三角形. ∵ AB = 3,∴ AC = 3,∴ OC = 2. ∵ 360°÷ 45° = 8,∴ 每旋转 8 次后,菱形回到原位置. ∵ 85÷8 = 10 ……5,∴ 菱形 ABCD 旋转 85 次后 C 点在 y 轴正半轴. ∴ C(0,2) . 故选 B. 11. -4 12. 115° 　 【解析】由旋转得,∠BAB1 = 25°,∠B = ∠B1 = 90°,∴ ∠DAB1 = ∠DAB- ∠BAB1 = 65°. ∵ ∠D+ ∠B1 + ∠DAB1 +∠DMB1 = 360°,∴ ∠DMB1 = 115°,∴ ∠CMC1 = 115°. 13. 9　 【解析】由旋转得△ABC≌△A1BC1,∴ A1B = AB = 6, ∴ △A1BA 是等腰三角形,∠A1BA = 30°,过点 A1 作 A1E ⊥AB 于点 E,∵ ∠A1BE = 30°,∴ A1E = 1 2 A1B = 3,∴ S△A1BA = 1 2 × 6× 3 = 9. 又∵ S阴影 = S△A1BA +S△A1BC1 -S△ABC, S△A1BC1 =S△ABC,∴ S阴影 =S△A1BA = 9. 14. 2 　 【解析】过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,∵ ∠C = ∠ADE = ∠EFD= 90°,∠FED+∠EDF = 90°,∠EDF+∠ADC = 90°, ∴ ∠DEF = ∠ADC. 在 △EDF 和 △DAC 中, ∠DEF= ∠ADC ∠EFD= ∠C DE=AD { ,∴ △EDF≌△DAC(AAS),∴ DF = AC = 3,EF=CD,设 CD= x,则 BE2 = x2 +(2-x) 2 = 2(x-1) 2 + 2,∴ BE2 的最小值是 2,∴ BE 的最小值是 2 . 15. ②③④　 【解析】∵ AB =AC,∴ ∠B = ∠C = 30°,∠BAC = 120°,由旋转得,△ADE 的旋转角为 180°- 120° = 60°, 故①错误;∵ DE∥BC,∴ ∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C,∴ ∠ADE= ∠AED,∴ AD = AE,∴ △ABD≌△ACE,∴ BD = EC,故 ② 正确;BE = AE + AB = AD + AC,故 ③ 正确;∵ ∠BAC= ∠DAE= 120°,∴ ∠EAC = 180°-∠BAC = 180°- 120° = 60°,∠DAC = 120° -∠EAC = 120° - 60° = 60°. ∵ AD=AE,∴ DE⊥AC,故④正确. 故答案为②③④. 16. 解:(1)(2)(3)如图所示. (9 分) 17. 解:(1)点 B 是旋转中心; (2 分) (2)旋转角度是 60°; (4 分) (3)连接 PP′后,△BPP′是等边三角形, (5 分) 理由:∵ 旋转角是 60°,∴ ∠PBP′ = 60°. 又∵ BP = BP′, ∴ △BPP′是等边三角形. (8 分) 18. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (3 分) (2)如图,△A1B2C2 为所作; (6 分) (3)△A1C1C2 为等腰直角三角形. (7 分) 理由如下:由旋转得 A1C1 = A1C2 , ∠C2A1C1 = 90°, ∴ △A1C1C2 为等腰直角三角形. (9 分) 19. 解:(1)由旋转得 AC =CD = 6,∠ACD = 60°,∴ △ACD 是 等边三角形. (2 分) 过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵ AC⊥BC,∴ ∠DCE=∠ACB -∠ACD= 90°-60° = 30°. ∴ 在 Rt△CDE 中,DE = 1 2 CD = 3,CE= CD2 -DE2 = 3 3 . (3 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 6 页 ∴ BE=BC-CE= 3 . ∴ BD= BE2 +DE2 = 2 3 . (5 分) (2)∵ S四边形ACBD =S△ACD+S△BCD,∴ S四边形ACBD = 6×3 3 × 1 2 + 1 2 ×4 3 ×3 = 15 3 . (9 分) 20. 解:(1)△ADE (2 分) (2)20° (4 分) (3)∵ ∠C= 35°,∠B= 45°,∴ ∠BAC = 180°-∠C-∠B = 100°,∴ △ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 100°时,点 E 在线 段 AB 上, (7 分) △ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 280°时,点 E 在射线 BA 上,综上所述,△ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 100°或 280° 时,点 E、A、B 在同一条直线上. (10 分) 21. (1)证明:由旋转得 AE=AB,AF=AC,∠EAF= ∠BAC,∴ ∠EAF+ ∠BAF = ∠BAC+ ∠BAF,即∠EAB = ∠FAC. ∴ △AEB≌△AFC,∴ BE=CF. (5 分) (2)解:∵ 四边形 ACDE 为菱形,AB = AC = 1,∴ DE = AE =AB = 1,AC∥DE,∴ ∠AEB = ∠ABE = ∠BAC = 45°,∴ △ABE 为等腰直角三角形,∴ BE = AE2 +AB2 = 2 ,∴ BD=BE-DE= 2 -1. (10 分) 22. 解: ( 1) 由旋转性质知 BD = BA, ∠CBA = ∠EBD, ∵ ∠BDA= 70°,∴ ∠BAD= 70°,∴ ∠ABD= ∠ABC= 40°. ∵ ∠C= 90°,∴ ∠BAC= 50°; (4 分) (2)∵ BC= 8,AC= 6,∠C= 90°,∴ AB= 10, (5 分) 由旋转性质知△ABC≌△DBE,则 BE = BC = 8,DE = AC = 6, ∴ AE = 2, 在 Rt △ADE 中, AD = DE2 +AE2 = 62 +22 = 2 10 . (7 分) 作 BF⊥AD 于点 F,∵ BA =BD,∴ AF = 1 2 AD = 10 ,则 BF= BA2 -AF2 = 102 -( 10 ) 2 = 3 10 . (10 分) 23. 解:(1)3 3 (3 分) 【解析】如图 1,连接 BD、CD,∵ △BCP 沿射线 CA 方向 平移,得到 △DAE,∴ BC∥AD 且 BC = AD. ∵ ∠ACB = 90°,∴ 四边形 BCAD 是矩形,∴ CD = AB = 6. ∵ BP = 3, ∴ DE=BP= 3. ∵ BP⊥CE,BP∥DE,∴ DE⊥CE,∴ 在 Rt △DCE 中,CE= CD2 -DE2 = 27 = 3 3 . 图 1 　 　 图 2 (2)如图 2 所示,以点 A 为旋转中心,将△ABP 顺时针 旋转 60°得到△AMN,连接 BN. 由旋转可得,△AMN≌ △APB,∴ MN=BP,PA=AM,∠PAM = 60° = ∠BAN,AB = AN,∴ △PAM、△ABN 都是等边三角形,∴ PA = PM,∴ PA+PB+PC=CP+PM+MN, (7 分) 当 AC=BC= 8 时,AB = 8 2 ,当 C、P、M、N 四点共线时, 由 CA=CB,NA=NB 可得 CN 垂直平分 AB,∴ AQ= 1 2 AB = 4 2 = CQ,NQ = AN2 -AQ2 = 4 6 ,∴ 此时 CN = CP+ PM+MN=PA+PB+PC = 4 2 + 4 6 . 即 PA+PB+PC 的最 小值为 4 2 +4 6 . (10 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B C D B C A A D 1. C　 2. B　 3. B　 4. C　 5. D　 【解析】抛物线 y = -x2 +bx+ 4 经过点(- 3,m)和(5, m)两点,可知函数的对称轴 x = 1,∴ - b 2×(-1) = 1,∴ b = 2. 故选 D. 6. B　 7. C　 8. A　 【解析】∵ 点 P(x0,y0)是抛物线的顶点,y1 >y2 ≥y0, ∴ 抛物线有最小值,函数图象开口向上,∴ a>0,36a+6b+ c>4a+2b+c,∴ 8a>-b,∴ - b 2a <8a 2a = 4,∴ x0 <4. 故选 A. 9. A　 【解析】①当 0≤x≤2 时,y = S△APQ = 1 2 AQ·AP = 1 2 x2;②当 2<x≤4 时,y = S△APQ = S正方形ABCD -S△CPQ -S△ABQ - S△APD = 2×2- 1 2 (4-x) 2 - 1 2 ×2×(x- 2) - 1 2 × 2×(x- 2)= - 1 2 x2 +2x 所以,y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次 函数图象表示,纵观各选项,只有 A 选项图象符合. 故选 A. 10. D　 【解析】连接 BE,延长 AC 至 N,使 EN = BE,连接 FN. ∵ △ABC 是等边三角形,E 是 AC 的中点,∴ AE = EC,∠ABE= ∠CBE= 30°,BE⊥AC,∴ ∠BEN = ∠DEF = 90°,BE= 3AE,∴ ∠BED= ∠CEF. ∵ BE=EN,DE=EF, ∴ △BDE≌△NFE,∴ ∠N = ∠CBE = 30°,∴ 点 F 在与 AN 成 30°的直线上运动,∴ 当 AF⊥FN 时,AF 有最小 值,∴ AF= 1 2 AN,∴ 3 +1 = 1 2 (AE+ 3AE),∴ AE = 2,∴ AB= 4. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】由旋转的性质可知旋转角相等,对应边相 等,则可根据旋转中心寻找与旋转角相等的角,通过作 辅助线构建全等三角形,从而将已知线段、角和未知线 段、角转化在一个图形中. 11. -1　 12. x1 = -3,x2 = 1 13. 4　 【解析】根据题意得 Δ = [-(3+2a)] 2 -4a2 ≥0,解得 a≥- 3 4 ,∵ x1 +x2 = 3+2a,x1x2 = a 2,而 x1x2 -5 = x1 +x2,∴ a2 -5 = 3+ 2a,整理得 a2 - 2a- 8 = 0,解得 a1 = 4,a2 = - 2 (舍去),∴ a 的值为 4. 14. 15 4 　 【解析】连接 EG,由旋转可得,△ADE≌△ABF,∴ AE=AF,DE = BF. 又∵ AG⊥EF,∴ H 为 EF 的中点,∴ AG 垂直平分 EF,∴ EG = FG. 设 CE = x,则 DE = 5 - x = BF,FG= 8-x,∴ EG = 8-x. ∵ ∠C = 90°,∴ 在 Rt△CEG 中,CE2 +CG2 =EG2,即 x2 +22 =(8-x) 2,解得 x= 15 4 ,∴ CE 的长为 15 4 . 15. 3 3或 3 　 【解析】当点 E 在线段 BC 上时,连接 BD, DF,∵ ∠ABC= 90°,∠A= 30°,AB= 6,∴ ∠ACB= 60°,BC = 2 3 . ∵ BC= 2CE,∴ CE= 3,∴ BE= 3 . ∵ 点 D 是 AC 的中点,∴ BD =CD,∴ △BDC 是等边三角形,∴ ∠BDC = 60°,由旋转得 DE = EF,∠DEF = 60°,∴ △DEF 是等 边三角形,∴ ∠EDF = 60° = ∠BDC,∴ ∠BDE = ∠CDF, ∴ △BDE≌△CDF,∴ BE = CF = 3;当点 E 在线段 BC 的延长线上时,∵ BC = 2CE,∴ CE = 3,∴ BE = 3 3,同 理可证:△BDE≌△CDF,∴ BE = CF = 3 3 . 综上所述, 线段 CF 的长为 3 3或 3 . 16. 解:(1)移项,得 x2 -4x= 1, (1 分) 配方,得 x2 -4x+4 = 5,即(x-2) 2 = 5, (2 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 7 页